在动量空间束缚态方程是非常重要的,例如薛定谔方程,狄拉克方程,克莱因-戈登方程,萨尔皮特spinless方程,二次形式的spinless Salpeter-type方程,Bethe-Salpeter方程,等等。除了最简单的情况下,这些积分方程应通过数值方法解决。当采用数值方法、可靠性分析计算结果的误差,无疑是最重要的考虑,最重要的问题。误差估计和误差范围相关正面产生的可靠性的解决方案。奇怪的现象很少提到相关可靠性相对地,通常出现在意想不到的方式。奇怪的现象(在这篇文章中,认为是奇怪的现象出现而不是内在属性的讨论系统,但不恰当的治疗动量空间的束缚态方程。)通常与计算结果的不可靠和作为一个不可靠的指标,如龙格现象( 1, 2),吉布斯现象( 3, 4],分叉现象的数值特征函数( 5- - - - - - 7),和计算特征值的异常收敛方向 8]。

不同于常见的奇异点这是明确的和已知的对我们来说,在奇异点附近( 9- - - - - - 11)或数值奇异点( 5- - - - - - 8很容易被忽视。虽然不是单一的分析讨论问题域,奇点附近将削弱数值的准确性的解决方案,有时甚至破坏了结果的可靠性。我们经常陷入的错觉产生计算结果是可靠的和预期的准确性。错觉是钢筋,当我们发现我们调整的数值解是稳定的数值和物理参数。奇怪的现象出现在计算结果提醒我们,数值结果是可疑的。

本文组织如下。节 2讨论误差估计,近奇异几乎奇异积分和动量空间束缚态方程。奇点附近的关系和数值解的可靠性进行了讨论。结论部分 3。

在本节中,我们首先介绍奇点附近的定义。然后,我们把错误的正交规则几乎奇异积分。最后,我们讨论错误引起的动量空间中的奇异点附近的束缚态方程在奇点附近的关系,数值形式的奇怪现象,得到的不可靠性的解决方案。

让<我nline-formula> f p ; β ≠ β 年代 ∈ C 一个 , b ,在那里<我nline-formula> β 是一个参数,<我nline-formula> β 年代 是关键的价值。让<我nline-formula> p 年代 , p ∈ 一个 , b 。如果 (1) lim p → p 年代 β → β 年代 f p ; β = ± ∞ , f p ; β 几乎是在附近奇异的<我nline-formula> p 年代 作为<我nline-formula> 0 < Δ β ≪ 1 在哪里<我nline-formula> Δ β = β − β 年代 。<我nline-formula> p 年代 是接近奇异点。<我nline-formula> β 是近奇异参数。如果<我nline-formula> β = β 年代 奇点附近成为常见的奇点。近奇异函数<我nline-formula> f p ; β 有一个奇点附近吗<我nline-formula> p 年代 的订单<我nline-formula> k 如果<我nline-formula> k > 0 满足 (2) lim p → p 年代 f p ; β 年代 p − p 年代 k = c , 在哪里<我nline-formula> c 是一个非零的数字。的订单几乎奇异函数类似于订单的波兰人。

我们专注于动量空间束缚态方程,但结论将一般。不失一般性,径向特征值积分方程可以写成 (3) E ϕ p = ∫ K p , 问 , β ϕ 问 问 2 d 问 , 在哪里<我nline-formula> β 代表所有其他参数。通常在奇点附近(或数值奇异点)对数奇异点附近屏蔽库仑势和代数在筛选线性奇点附近潜力和筛选潜在康奈尔( 5- - - - - - 8]: (4) K p , 问 , β ∼ ln p − 问 2 + β 2 , p − 问 2 + β 2 年代 ′ , 年代 ′ = − 1 , β 年代 = 0 。

方程的数值解( 3)的行为严重<我nline-formula> β 这是附近的吗<我nline-formula> β 年代 因为内核<我nline-formula> K p , 问 , β 不是治疗在数值积分时导致大量错误数值方法求解方程( 3)。

考虑到几乎奇异积分: (5) 我 p = ∫ − 1 1 K p , 问 , β d 问 。

直接应用Newton-Cotes正交规则<我nline-formula> 我 p 在这<我nline-formula> p 可以被看作是一个常数,我们有什么 (6) 问 n K = ∑ 我 = 0 n w 我 K p , 问 我 , 在哪里<我nline-formula> h = 2 / n ,<我nline-formula> 问 我 = − 1 + 我 h 为<我nline-formula> 我 = 0 , 1 , ⋯ , n ,<我nline-formula> w 我 权重。

虽然大<我nline-formula> n Newton-Cotes正交规则有时会遭受灾难性的龙格现象,我们想讨论的错误Newton-Cotes正交规则( 12]: (7) R n f = 我 f − 问 n f = C n 1 h n + 2 f n + 1 ζ , 为 奇怪的 n , C n 2 h n + 3 f n + 2 ζ , 为 甚至 n , 在哪里<我nline-formula> ζ ∈ 一个 , b ,<我nline-formula> h = b − 一个 / n , (8) C n 1 = 1 n + 1 ! ∫ 0 n μ μ − 1 ⋯ μ − n d μ , C n 2 = 1 n + 2 ! ∫ 0 n μ 2 μ − 1 ⋯ μ − n d μ 。

经过计算,我们 (9) C n 1 ∼ C n 2 ∼ n n + 1 ! n 2 ! 2 。

考虑到近奇异的内核 (10) K p , 问 , β = 1 p − 问 2 + β 2 。

的导数的最大标准内核( 10)[ 13)读 (11) K 2 n ∞ = K 2 n 问 , 问 = 2 n ! β 2 n + 2 。

如果近奇异内核是对数 (12) K p , 问 , β = ln p − 问 2 + β 2 , 的导数的最大标准内核( 12)读 (13) K 2 n ∞ = K 2 n 问 , 问 = 2 n ! n β 2 n 。

使用方程( 11),( 13)和( 7),我们表明,奇异点附近产生的误差(方程( 10)和( 12)将主导这个错误<我nline-formula> R n K 作为<我nline-formula> β 很小。也就是说,小<我nline-formula> β 结果不可靠的数值结果。

使用方程( 9),( 11)(( 13)),斯特林公式, (14) n ! = 2 π n n + 1 / 2 经验值 − n + θ 12 n n > 0 , 0 < θ < 1 , 有限的误差方程( 7)要求 (15) β ≥ β c , β c ≈ 1 e = 0.368 , 在哪里<我nline-formula> β c 是一个关键的价值。作为<我nline-formula> β > β c 积分( 5)成为通常的积分<我nline-formula> β < β c 积分( 5)几乎是奇异的。

采用复合梯形积分法和复合辛普森法则,几乎奇异积分的理论误差( 5)读 (16) R 2 f = − h 2 6 f 2 ζ , R 3 f = − h 4 90年 f 4 ζ , ζ ∈ − 1 , 1 , 分别。代数的奇点附近使用方程( 11)和( 16),我们有 (17) R 2 K ∼ h 2 3 1 β 4 , R 3 K ∼ h 4 45 12 β 6 。

不太小<我nline-formula> β ,常见的积分一样的精度可以通过减少步长<我nline-formula> h β 2 和<我nline-formula> h β 3 / 2 复合梯形积分法和复合辛普森法则,分别。对数奇异点附近,使用方程( 13)和( 16),我们有 (18) R 2 K ∼ h 2 3 1 β 2 , R 3 K ∼ h 4 45 6 β 4 。

常见的积分一样的精度可以通过减少步长<我nline-formula> h β 复合梯形积分法和复合辛普森法则<我nline-formula> β 不是太小了。

在Gauss-Legendre正交规则的情况下,积分( 5)可以近似 (19) 问 n K = ∑ 我 = 1 n w 我 K p , 问 我 , 在节点<我nline-formula> 问 我 的根源吗<我nline-formula> n th勒让德多项式<我nline-formula> P n 问 为<我nline-formula> 我 = 1 , 2 , ⋯ , n , (20) w 我 = 2 1 − 问 我 2 P n + 1 ′ 问 我 2 。

在上面的方程中,主要代表的导数。理论误差公式Gauss-Legendre规则间隔<我nline-formula> − 1 , 1 读( 14]。 (21) R n f ≤ 2 2 n + 1 n ! 4 2 n + 1 2 n ! 3 f 2 n ∞ 。

使用方程( 11)和( 14),方程( 21)减少 (22) R n K ≤ 2 π 2 β 2 n + 1 经验值 θ 4 n 。

显然,有限的误差要求 (23) β ≥ β c , β c = 1 2 , 作为<我nline-formula> n ⟶ ∞ 。可以获得相同的结果为对数奇异点附近。方程( 23)是不同的渐近估计错误<我nline-formula> β ≪ 1 通过围道积分( 15]: (24) R n K < ~ 2 π β 经验值 − 2 β n , n ⟶ ∞ 。

在实践中,小<我nline-formula> β 将损害准确性<我nline-formula> n 是有限的。

在近似的方法中,我们可以从方程的矩阵方程( 3): (25) E N 米 一个 = l 一个 , E N ≡ 一个 T l 一个 一个 T 米 一个 , 在哪里 (26) ψ p ≈ ψ N p = ∑ 我 = 1 N 一个 我 h 我 p , 一个 = 一个 我 , ⋯ , 一个 N , (27) l 我 j = ∫ h 我 __ p K p , p ′ h j p ′ p 2 p ′ 2 d p d p ′ , 米 我 j = ∫ h 我 __ p h j p p 2 d p 。

如果一组<我nline-formula> h 我 正交,<我nline-formula> 米 成为了身份。在Nystrom方法的情况下,我们从方程( 3) (28) F ψ N = ψ N , K ψ N ψ N , ψ N = ∑ 我 , j = 1 N c 我 c j ψ 我 N K 我 j ψ j N ∑ 我 = 1 N c 我 ψ 我 N ψ 我 N , 在哪里<我nline-formula> ψ 我 N = ψ N p 我 ,<我nline-formula> K 我 j = K p 我 , p j ,<我nline-formula> c 我 是选择正交法则的重量乘以吗<我nline-formula> p 我 2 。设置 (29) ∂ F ∂ ψ 米 N = 0 , 米 = 1 , 2 , ⋯ , N , 我们可以获得 (30) ψ 米 N ∑ 我 , j = 1 N c 我 c j ψ 我 N K 我 j ψ j N − ∑ 我 = 1 N c 我 ψ 我 N K 米 我 ∑ 我 = 1 N c 我 ψ 我 N ψ 我 N ∑ 我 = 1 N c 我 ψ 我 N ψ 我 N = 0 , 如果矩阵<我nline-formula> K 我 j 是对称的;也就是说, (31) E N ψ 米 N = ∑ 我 = 1 N c 我 K 米 我 ψ 我 N 。

上述方程只是带来的矩阵方程离散化积分方程( 3)。谱方法,矩阵方程得到方程( 28)也可以书面形式的方程( 31日)。

在方程( 25)和( 31日),常见的错误引起的数值方法不。我们专注于奇异点附近产生的错误。为简单起见,方程( 25)和( 31日)被重写为 (32) ε n ϕ n 我 = ∑ j = 1 N K 我 j ϕ n j 。

当奇点附近治疗然后积分方程特征值( 3奇点附近)变得不那么近奇异或免费的( 5- - - - - - 8, 16- - - - - - 18),相对应的矩阵方程得到方程( 32)读 (33) ε n ′ ϕ n 我 ′ = ∑ j = 1 N K 我 j ′ ϕ n j ′ , K 我 j ′ = K 我 j − 米 我 j , 在哪里<我nline-formula> 米 我 j 额外的错误产生的奇异点附近。在本节中,<我nline-formula> ϕ n 我 和<我nline-formula> ϕ n 我 ′ 非规范形式属于<我nline-formula> n th特征值<我nline-formula> ε n 和<我nline-formula> ε n ′ ,分别。我们可以假设的解决方案,<我nline-formula> ϕ n ′ 和<我nline-formula> ε n ′ ,( 33)是表现好和很好的近似实际的解决方案解决方案的同时,<我nline-formula> ϕ n 和<我nline-formula> ε n 近奇异方程( 32)是一个近似<我nline-formula> ϕ n ′ 和<我nline-formula> ε n ′ ,可能是坏事,准确率低。如果方程( 3奇点附近)是免费的,<我nline-formula> 米 我 j = 0 ,<我nline-formula> ε n = ε n ′ ,<我nline-formula> ϕ n 我 = ϕ n 我 ′ 。

让<我nline-formula> 我 = n ,<我nline-formula> ϕ n n ′ = 1 ,我们已经从方程( 33)[ 7, 19] (34) ε n ′ = ∑ j = 1 N K n j ′ ϕ n j ′ 。

让<我nline-formula> 我 ≠ n ;然后,我们获得的组件<我nline-formula> n th本征函数: (35) ϕ n n ′ = 1 , ϕ n 我 ′ = ∑ j ≠ 我 K 我 j ′ ϕ n j ′ ε n ′ − K 我 我 ′ 。

同样的程序应用于方程( 32)产生的结果: (36) ε n = ε n ′ + ∑ j = 1 N K n j ′ Δ n j + ∑ j = 1 N 米 n j Δ n j + ϕ n j ′ , Δ n j = ϕ n j − ϕ n j ′ , (37) ϕ n n = 1 , ϕ n 我 = ε n ′ ϕ n 我 ′ + ∑ j = 1 N K 我 j ′ Δ n j + ∑ 我 ≠ j 米 我 j ϕ n j ε n − 米 我 我 , 在我们使用方程( 33)。方程( 34)- ( 37)是准确的结果。随着Nystrom方法,<我nline-formula> 米 我 j 将对角线。如果元素<我nline-formula> 米 很小,我们已经从方程( 36)和( 37) (38) ε n = ε n ′ + 米 n n + ∑ j = 1 N K n j ′ Δ n j , (39) ϕ n n = 1 , ϕ n 我 = ε n ′ + ∑ j = 1 N K 我 j ′ Δ n j / ϕ n 我 ′ ε n − 米 我 我 ϕ n 我 ′ 。

从方程( 32)- ( 39),我们可以看到<我nline-formula> 米 我 j 直接与相关积分方程在奇点附近,导致错误的特征值和对应的特征函数。<我nline-formula> 米 n n 或<我nline-formula> 米 n n / E n 可以作为原油的错误估计和信号是否原始方程( 3)可以直接通过数值方法解决。如果<我nline-formula> 米 n n 很大,方程( 3)应该削弱或删除处理奇异点附近。

公式( 37)和( 39)可以应用于解释为什么分叉现象出现在获得特征函数( 5- - - - - - 7]。权重的交替摆动导致的交替摆动<我nline-formula> 米 我 我 导致产生的摆动的eigenfunction-that,树枝的分叉。方程( 36)和( 38)给的关系产生的分叉现象和错误在奇点附近获得的特征值。随着分叉现象变得更强,<我nline-formula> 米 我 我 将越来越被积函数更接近奇异;然后,错误将会增加。分叉现象的数值形式显示不仅数值结果的不可靠而且积分方程的不良行为( 3)。