外加磁场作用下等离子体在移动板上流动的解析解

摘要

我们的研究目标是主要关注等离子体气体在移动刚性平板上的行为;它的运动随时间衰减。研究了外部磁场对等离子体流体中相互收集的电子、与正离子以及与中性原子收集的电子的影响。采用BGK型玻尔兹曼动力学方程，用麦克斯韦速度分布函数研究了不同状态下的气体动力学。用矩法和行波法给出了非定常流场模型方程的解析解。说明了等离子体平均速度的变化方式与剪切应力、黏度系数、初始条件和边界条件的变化是一致的。并应用不可逆热力学原理和推广的吉布斯公式进行了热力学预测。最后，用三维图形来计算变量，证明与以往相关文献的定性一致。这项研究的意义在于它在许多领域的广泛应用，如物理、工程、商业和工业应用。

1.介绍

从等离子体科学的基础研究到制造业，这一领域的快速发展往往先于低温等离子体等新技术的革命，或等离子体医学、等离子体生物系统和微电子等新应用的革命[1]例如，Miller等人[2]已经利用非平衡血浆诱导肿瘤免疫原性细胞死亡，作为暴露于血浆的身体系统疾病的治疗方法。在过去的几十年里，等离子体-表面相互作用在全球商业产品、制造过程和最近的微电子、医疗和生物技术的前景工业应用的背景下获得了巨大的兴趣，这些在[三］.

众所周知，有两种动力学方法来对粒子布居的行为进行数学建模。这些方法处理描述相空间分布函数变化的微分方程 .在无碰撞等离子体的情况下，该模型方程为“Vlasov方程”[4]在碰撞情况下，玻尔兹曼的动力学方程描述了考虑微观效应的碰撞等离子体运动。为了解决研究玻尔兹曼动力学方程中碰撞项的困难，我们应该使用近似建模。基本的近似模型之一是Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）模型，它节省了Boltzmann动力学方程中碰撞项的计算成本[5］.

许多理论和数值贡献都对发展获得玻尔兹曼方程合理解的方法感兴趣[6,7］.此外，许多近似都建议基于矩法求解动力学方程[8–10］.对于较大的克努森数(Kn)，玻尔兹曼动力学方程和常用方法依赖于必须应用的动力学理论[8–10］.在微电子机械系统(MEMS)或纳米电子机械系统(NEMS)设备中，当平均自由路径的高值或识别长度的最小值为稀薄气体时，Kn的高量级出现[11–13］.这一性质赋予玻尔兹曼方程一个极好的优势和许多商业应用[14,15]几篇论文讨论了玻尔兹曼方程及其在许多恶劣物理环境中的应用，如温度场和微气体传感器[16,17]不可逆热力学与等离子体动力学[18–22]，振荡流[23,24]，热辐射[25–27),等离子体(28]，超相对论重离子碰撞[29，光子气体[30.，粒状液体[31和电子能量分布函数[32,33］.

在Chapman-Enskog方法中，通过在平衡分布函数周围展开参数的分布函数，在逐次逼近水平上构造输运方程，而在Grad方法中，宏观分子平均的输运方程是通过取分布函数的速度矩来实现的，该分布函数近似于标准正交多项式的展开[34,35］.

在现代技术应用中，移动等离子体和固体表面之间的相互作用在整个等离子体技术中有着丰富的历史[36研究了在外加磁场作用下不可压缩粘性情况下等离子体边界层流动的动力学问题。瓦希德(25]给出了具有4个碰撞频率项的玻尔兹曼动力学方程的精确解，并对中性原子产生的稀薄电子气的等离子体流动特性进行了识别和解释[27］.此外，他们解释了气体系统的行为，但用一个近似解和一个不准确的碰撞频率公式。Abourabia和Tolba [37]在不连续分布函数的情况下，用矩量法研究了稀有气体产生的稀薄电子气的行为，得到了剪切应力和平均流速的近似解。

此外，他们认为固定的离子被保持为均匀的中和背景。燕(38]使用三种方法（蒙特卡罗法、胞内粒子法和宏-微分解法）设计了一种具有偏差粒子的混合方法对于等离子体中的非均匀Vlasov–Poisson–Landau模型，他将分布函数分为基于网格的流体求解器生成的麦克斯韦部分和数值偏差和粗粒子建模的偏差部分。Juno等人提出了一个新模型[23利用有限元方法和龙格-库塔方法对等离子体中Vlasov-Maxwell动力学方程随时间的离散化进行了研究。他们推导出等离子体分布函数的精确解。Pan等人[19]在玻耳兹曼方程的碰撞项BGK制度下的电加速项中使用了电场对带电粒子的输运。他们发现，在离散速度空间中，一旦产生非平衡分布函数，气体的概率分布函数就用有限体积法离散。利用离散统一气体动力学方案，Liu等[39]提出了一种新的求解Vlasov-Poisson方程的方法。他们用渐近保持格式模拟了多尺度等离子体，研究了所有状态下的电势。在我们的工作中，我们得到了模型方程的精确解，并对问题进行了深入的研究，考虑了玻耳兹曼方程碰撞项中电子离子和电子原子碰撞的影响。在本研究中，我们处理玻尔兹曼动力学方程的完全碰撞频率，并引入一种特殊形式的模型解，以避免解的不连续。此外，我们处理变量的全部值，而不需要由于[中实现的小参数方法造成的任何截断。28]我们研究的最大优点是考虑了麦克斯韦方程中的位移-电流项，这在之前提到的所有论文中都被忽略了（参见[24–28,37])，他们用这种近似法求解微分方程组，而在当前的研究中，位移电流项被考虑在内，因为施加的非稳定外磁场使该项在我们的计算中非常重要。它根本不能被忽略。分析结果提供了良好的结果与Wahid和Morad在参考文献中介绍的氦等离子体在运动板上的运动一致[40］.

处理玻尔兹曼动力学方程的好处使我们能够考虑线性非平衡不可逆热力学的概念[10］.此外，吉布斯公式与分布函数的使用使研究人员有可能确定等离子体系统的熵和熵产生，并说明了非平衡热力学性质的物理解释[10,38］.

1.1.物理情况和数学公式

假设空间的上半部分位于 是由一个无限平面板在 ．在不稳定的非均匀外磁场的影响下，空间充满等离子体气体( )垂直于流动方向。等离子体气体最初处于平衡状态。考虑到外加磁场中的等离子体，我们采用常规几何结构。电场方向沿 -轴，外加磁场的方向是沿着 -轴。平板突然以阻尼速度在其平面内运动( )沿着 -轴。

此外，平面板被认为是绝缘体，不带电，不透水。系统组件(平面板+电子+正离子+中性原子)保持在恒定的温度下。我们处理了一个频率范围，使我们可以忽略离子流而忽略电子流。因此，我们可以忽略离子的运动，而把注意力放在电子的运动上。

洛伦兹力作用于每一个电子可以通过以下方式获得： 在哪里 ,作为 ．

在这里,是施加的非均匀非稳态外磁场，以及为感应磁场。它们是 而 是常数。在这里, 作为 , , ,和是函数的和 ．特别是，这种偏好满足麦克斯韦方程组。在我们的模型中，分布函数 的玻耳兹曼动力学方程，可以在BGK模型中写成[5]

主要论点 具有基本运动方程特征的粒子可以通过对分布函数取动力学方程的矩来获得。粒子在极板的全速度调节中反射，这意味着等离子体粒子以其速度从极板反射。因此，边界条件是[28] ,作为 ,和是有限的 ．

由方程代入(1)及(2)–(5)内部方程式(6),一个人 作为 , ,是电子、电子离子和电子中性弛豫时间，分别由[41,42]

在这里, 和库仑对数和电离度分别是多少 是德拜长度。

李提出的影响锥的模式[42,43为玻尔兹曼动力学方程的解。式(7)可以用该表格填写

在这里,和是两个未确定的时间函数和单个空间变量 ．利用文献中的梯度矩法[7]，乘法式(7) ,积分的整体值 ,我们得到以下形式的电子的重要转移方程:

使用以下关系式计算速度维度上的所有积分[7]： 在哪里 和 和 粒子速度分量是沿着x, ,和-轴,分别。电场和磁场也可以从麦克斯韦电子方程得到:

在这里, 以及初始和边界条件

我们给出了无量纲变量定义为

当马赫数较小时，即at时，密度和温度的变化可以忽略不计 ;因此，我们可以假设 和 ．则平均速度和剪应力为:

在这里,是由关系定义的 [42］.

利用无量纲变量，式(10), 和 就变成了

此外，初始和边界条件采用以下形式：

从今往后，为了简化符号，我们将把恒星放在无量纲变量上。因此，我们有下一个方程组，表示电子的边值问题：

行波解法[44–46，考虑到新的变量作为

这个过程将把因变量转换为新变量的函数 ．此外，转换常数和可以从边界和初始条件进行测量[45,46］.

方程的偏导数(19)–(22)可由式(23)如下:

由方程代入(23)及(24)转化为方程式(19)–(22)，经过各种微积分运算，得到的方程可以简化为一个方程：

引入了无量纲变量星落后的初始条件和边界条件:

通过对模型方程的计算，得到微分方程(25)利用方程中的条件(26)．该模型方程是一个三阶常齐次微分方程，可以用任何符号软件利用初始条件和边界条件方程(26).使用这些溶液时，可提供实验室氩等离子体流动的更详细说明。

1．2.非平衡热力学研究

不可逆过程的非平衡热力学问题是任何气体流动建模的基础，在等离子体动力学中仍然具有相当重要的意义。由于在这一领域的深入研究，科学家们发现，该理论及其在众多科学分支中的应用的理论主要是从热力学定律和热力学定律开始的 -定理要点。现在，我们可以计算单位质量的熵在以下关系中(参见，例如，参考文献。[24–26,47,48):

因此，我们可以得到系统中的熵通量分量 -方向:

根据熵平衡关系，我们可以定义局部形式的熵产生[47,48]：

考虑到电磁场能量，我们可以使用扩展的吉布斯公式来研究整个系统的内能变化[49]这包括整个能量平衡。等离子体气体磁化的主要类型是顺磁和抗磁。现在，我们可以使用1^圣热力学定律来描述两种磁化的总能量变化。这包括电磁场能量平衡，如下所示：(一)在顺磁的情况下，内能变化可以用熵来表示， ;两极分化,， ;和特定的磁化, ,这是温度的热力学坐标， ;电场， ;和磁场, ,因此，吉布斯关系中内能变化的三个参与者： ,在哪儿 是热力学能的变化，由熵的变化决定。 是根据极化变化的内能变化。此外, 内能随磁化强度的变化而变化，其中由公式[37,49]： ．使用无量纲变量 在吉布斯关系中，我们可以得到 (2)在反磁情况下:内能变化可以用广泛的热力学量来表示和感应磁场， ,哪个符号表示了由强化量引起的热力学坐标 , ,和 ,分别;因此，得到的吉布斯公式的热力学能有三个参与者 作为 是根据产生的磁场感应的变化而产生的内能变化，如 [37,49].在本例中，内能 ,以无量纲形式，以紧凑形式编写，如下所示： 和 ．

2.讨论

在本研究中，我们基于玻尔兹曼动力学理论和不可逆热力学，利用玻尔兹曼方程的精确行波解和精确的电子-电子、电子-离子、以及碰撞项BGK技术中的电子-原子碰撞频率。结果在稀氩等离子体气体图中得到澄清。结果表明，利用氩等离子体中电子气体的标准化数据，可以很好地进行求解方法的计算。分析结果与等离子实验室非常吻合[28,41在顺磁介质中，根据原子的电离势，氩气失去单个电子，而在反磁介质中，氩气失去电子对。

利用射击数值计算方法估算变换常数的思想，给出了模型方程的解 和 和板的马赫数 如中所示[15］.根据玻耳兹曼常数、初始温度、电子浓度和氩原子直径等等离子体流体性质和条件进行了计算 , , ,和 ．电子静止质量和电子电荷由 和 ,哪些是用来确定无量纲控制参数的 ．此外，还计算了电子-离子、电子-电子和电子-中性原子碰撞频率值 , ,和 ,分别。最后是等离子体的平均自由路径 ,与电子德拜长度这一最基本的性质相比，它是很大的 ．

图中显示的解决方案的行为1（a）和1（b）揭示了板块运动对电子速度分布函数的影响是非常大的。数字1（b）在马赫数为0.01时，显示了平板突然运动附近区域的微扰电子速度分布函数。如图所示1（b），当系统试图达到Le Chatelier原理所期望的平衡状态时，与平衡的偏差随时间而减小。因此，电子速度分布函数平衡速度分布函数的方法作为 ,这一结果加强了对平衡原理的解释。根据勒夏特列定理，扰动电子的速度分布函数在某一时刻的平衡位置和趋近于均衡分布函数 ,这与我们的问题有关(参见图1（b）)．

数据2–6分别给出速度、剪切应力、黏度、外加磁场和根据其产生的感应电场的图形。我们看到，在移动的平板附近，电子的平均速度在图中2具有等于马赫数的值 将平板作为 ．它随时间呈指数衰减，这与[28,37］.剪应力随时间减小，如图所示三粘度系数遵循平衡定律，通过抵消变化，使系统趋向于随着粘度的增加而平衡，如图所示4．我们在图中阐明了产生的电场和施加的磁场的行为5和6．它们说明电场和磁场的大小在逐渐减小，随着时间的推移趋于零值。这是由于我们对外加磁场的假设以及由于产生的电场与外部磁场的相关性，因为它们由麦克斯韦方程组连接起来。远离平板时，所产生的电场随时间增大(见图)5)．但磁场在开始时有最大值，然后非线性地趋于零值，如图所示6．这样，在等离子体流动模型中，电磁场的作用比动态作用占优势。

从求解数学模型得到的速度、密度和温度的结果可以看出熵的非线性行为，如图所示7.熵对氩等离子体的影响随时间的增加而增大，这与2^nd热力学定律[38］.熵产生当系统趋于平衡时减小，直到达到平衡状态，即，=0和是最大值（见图7和8)．等离子体模型的熵产符合热力学基本定律和玻尔兹曼定律 -定理as≥位置的所有值均为0时间呢 ,如图所示8．

如图所示9，由于熵的变化而引起的内能的变化随时间和空间非线性减小。对于顺磁等离子体的例子 和 ,热力学能的变化如图所示10和11．我们注意到内能极化和磁化变化是非线性增加的。

稳定性的研究需要研究内能的时间变化率（时间导数） ．右边的项可以是正的、负的或空的。正值表示内能时间的增加，而负值表示内能时间的减少。另一方面，如果项的总和等于空，则内能的变化率消失。此外，必要的和足够的系统处于平衡状态的条件是 和 ,如图所示8–11．

电子陀螺频率是带电粒子在垂直于外加磁场的平面上作圆周运动的角频率。对于氩等离子体，电子陀螺频率随时间逐渐减小，并在远离平板时增大(见图)12)，而在平板附近，电子拉莫尔半径或回转半径，即电子在垂直于施加磁场的平面上作圆周运动的半径，对氩有最大值。然后，它从平板附近消失，如图所示13．

3.结论

本文详细计算了氩等离子体中电子与正离子和中性原子碰撞的效应。此外，还考虑了麦克斯韦方程组中当前的位移项，在之前的工作中忽略了这一项(见[24–28,37])。本文阐述了一个计算外磁场作用下等离子体流动的分布函数、速度和电磁场的模型。

文中给出的所有图形在控制参数和初始及边界条件的研究范围内都显示出极好的一致性。这一事实支持以下观点：基于BGK模型，可以在Boltzmann动力学方程的框架内研究无碰撞等离子体流问题，并辅以麦克斯韦方程组。此外，我们还可以利用动力学方程的矩量法，研究由惰性气体在非均匀非定常外磁场作用下产生的电子气的行为。从热力学角度来看，等离子体成分之间的碰撞零分元素（离子、电子和原子）的特征是带电粒子（电子）能量的损失和增加部分之间的波动。

计算的分布函数被用来估计熵和熵产符合非平衡热力学定律。对这些性质进行了深入的讨论。在画出解后，发现它们与热力学定律有很好的一致性。最后，需要补充的是，在玻耳兹曼动力学方程的BGK技术基础上发现的氩等离子体中电子与离子碰撞过程的行为可能与稀薄气体动力学中移动板的速度有关。这一点在本文中已作了详细的探讨。

数据可用性

用于支持本研究结果的数据包含在文章中。

的利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

致谢

这项研究由埃及科学研究与技术院根据科学促进科学院项目的相关资助号（第6508号）支持。

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版权

版权所有©2020 Taha Zakaraia Abdel Wahid和Adel M. Morad。这是一篇发布在知识共享署名许可协议，允许在任何媒介上不受限制地使用、传播和复制，但必须正确引用原作。