文摘
我们研究的问题可以设置边界一类连续时间和离散时间非线性时变系统时变延迟。与之前的一些作品不同,涉及扰动输入和时变延迟并不认为是有界的。采用的方法不涉及传统Lyapunov-Krasovskii功能,提出新的条件,所有系统的状态轨迹渐近收敛在一个球。给出两个说明性的例子显示了结果的有效性。
1。介绍
可以设置边界在确保安全运行中起着重要的作用在实际工程综合控制器,以避免不良状态空间(或不安全)地区(1]。因此,可以设置边界具有不同的动力学问题近年来已经被许多研究者研究[2- - - - - -7),等等。
时间延迟收到了大量的关注由于其在实际工程普遍存在及其对稳定性的不利影响(8- - - - - -14系统振荡等[的]和性能15- - - - - -19]。因此,可以设置边界的系统延迟的问题变得非常重要。通过使用Lyapunov-Razumikhin方法,一个椭球与延迟绑定可及的线性系统和有界输入峰值20.]。一种改进的线性系统可以设置边界条件与延迟提出了(21)由于Lyapunov-Krasovskii类型的功能和延迟。保守的估计结果与多面体不确定性延迟系统的可及集建立了(22,23)通过选择逐点的最大李雅普诺夫函数对应于一个多面体的顶点。delay-partitioning方法应用于研究延迟系统的可及集边界问题[24),进一步减少了一些现有的保守主义的结果。利用李雅普诺夫方法,LMI条件ellipsoid-based界限的存在可及集的线性离散不确定系统的有(25]。
然而,大多数上述工作可及集边界一直主要集中在线性时滞系统常数矩阵或结合常数矩阵(多面体不确定性)。在我们看来,极少为人所知的明确的估计可及集和时变时滞非线性时变系统。注意,很难适用于通常的Lyapunov-Krasovskii时变系统功能的方法,因为它可能会导致无法解决矩阵黎卡提微分方程或不定线性矩阵不等式。
基于一个方法在积极开发系统不涉及Lyapunov-Krasovskii功能,导出判定条件,这样所有的线性时变系统的状态轨迹收敛指数在一个球(26]。最近,导致(26)是扩展到均匀程度与时变延迟的积极系统(27]。具有有界扰动的一类非线性时滞系统,一种新的方法来获得最小的盒子边界提出了所有可及集(28]。与非线性切换系统可以通过一个线性系统有界扰动,建立了全局指数稳定性的标准(29日]。
灵感来自这和工作动机的30.,31日),本文将介绍一种新方法,不同于Lyapunov-Krasovskii功能方法获得新的明确的条件,这样所有类的状态轨迹的连续时间和离散时间非线性时变系统延迟渐近收敛在一个球。本文的主要贡献有三个层面:本文以非线性项考虑更一般的形式,其中包含的系统研究26- - - - - -29日作为特殊情况);相关扰动输入和时变延迟不是假定为有界;与一些现有的工作,我们不需要改变系统定常,导致更少的保守可以设置边界条件。
本文的其余部分简要概述如下。节2通过本文,我们现在使用的符号以及预赛对我们的结果。部分3然后着重推导显式条件下系统的所有状态轨迹渐近收敛在一个球。部分4提供了两个说明性的例子显示了结果的有效性。本文的结论部分5。
2。预赛
在这篇文章中,将使用以下符号。让和表示的集合维真正的矢量和维的欧几里德空间,分别。表示 和 。矩阵 据说是麦茨勒如果所有的非对角元素是负的。为 ,我们表示的th的坐标 。两个向量 ,我们写 如果 ,如果 , 如果 , 如果 , 。让 。鉴于 ,设置 和 谁的th坐标是 。加权规范的向量 被定义为 ,在那里 是一个维向量。
我们首先考虑延迟的连续时间非线性时变系统 在哪里 状态向量,时变延迟上是连续的 和满足 与 , 是连续扰动输入, 是连续矢量值函数指定系统的初始状态向量场 连续和局部李普希茨对吗 ,保证解的存在性和唯一性的系统(1)[32]。
我们也考虑以下与延迟所描述的离散时间非线性时变系统 在哪里 状态向量,时变延迟 满足 与 ,向量场 , 是扰动输入, 是向量序列指定系统的初始状态。
我们首先扩展一些定义在[33)的时间变异情况。
定义1。一个连续向量场 ,这是连续可微的对在 ,据说如果雅可比矩阵合作 麦茨勒所有 和 。
定义2。 是保序如果 对于任何 和任何 令人满意的 。
定义3。 据说是均匀的,如果对所有 ,所有 ,所有真正的 , 。
它可以同样表现为在33]合作向量场有以下属性。
命题4。让向量场 是合作。对于任何两个向量 , 和 ,一个人 为 。
3所示。主要结果
我们首先研究可及集边界的连续时间系统(1)。假设向量场和满足以下假设。
假设A1。(我)存在一个合作和齐次向量场 这样 为 , , , 。
(2)存在一个齐次向量场和保序 这样 为 和 。
定理5。假设假设A1认为,存在一个向量 和一个微分函数 与 为 ,这样 , 如果存在一个正的常数令人满意的 然后每个解决方案的系统(1与初始条件) , ,满足 在哪里 , 和 。
证明。表示 基于定义的和 ,我们有 对所有 和 。接下来,我们将证明 对所有 和 。否则,存在一个索引 和 ,这样 为 和 , , 的定义 ,我们有 自我们是合作和均匀,从命题吗4那 注意的是, ,我们获得 自保序和均匀的,我们有什么 因此,我们可以从假设A1 (10)和(12), 通过使用(3)和(5),我们有 这在一起(4)和(13)的收益率 ,这是一个矛盾,8)。作为一个结果, 为 ;也就是说, 这意味着 为 。这就完成了定理的证明5。
注6。在定理5条件(3),(4)和(5)从假设出现A1取决于时间 。这种情况可能不太保守的某些情况下,因为他们不需要干扰和有界时变延迟。如果我们进一步假设 , , 为 和 ,在那里是一个定常、合作和齐次向量场,是一个定常、均匀和保序向量场,然后呢是常量,那么条件(3)和(5)是独立的时间,因此成为可核查的,和可以选择对于一些 在条件(4)。
续集,我们研究可及集边界的离散时间系统(2),向量场的地方和满足以下假设。
假设A2。存在均匀和保序向量场和这样 和 为 和 。
定理7。假设假设A2认为,存在一个向量 和正序与 为 ,这样 , 如果存在一个正的常数令人满意的 然后对任何序列 上定义 系统的解决方案(2)满足 在哪里 , 和 。
证明。我们第一次有 假设 也就是说, 自和是均匀和保序,我们从假设A2吗 因此, 注意,条件(16)和(18)暗示 这在一起(17)和(24)的收益率 通过感应,我们有(19)持有。这就完成了定理的证明7
注8。在定理7,虽然条件(16),(17)和(18)从假设出现A2取决于时间 ,对于某些情况下他们可能就没那么保守,因为他们不需要干扰和有界时变延迟。如果我们进一步假设 , , 为 和 ,在那里和定常、均匀和保序向量场,然后呢是常量,那么条件(16)和(18)是独立的时间和可核查的,可以选择对于一些 在条件(17)。
4所示。数值例子
我们现在两个数值例子来说明本文的主要结果。
例1。考虑的连续时间非线性时变系统(1),
可以看出和满足假设A1与 条件(3)减少 让 为 。然后,条件(4)认为如果 对于给定和令人满意的(29日)和(30.),条件(5)的收益率 集 和 。一个简单的计算收益率条件(29日)和(30.)举行, 。如果我们选择的初始条件 为 ,然后 和 。通过使用定理5,解决方案该系统的满足 对所有 。模拟结果呈现在图1。
一般来说,最小参数不变可以由以下非线性规划问题:最小化定义为(31日)主题 , ,(29日)和(30.)。
例2。考虑的离散时间非线性时变系统(2),
很容易看到和满足假设A2与 通过选择向量 和 与 我们有两个(16)和(17)举行。进一步计算收益率 。通过选择初始条件 ,我们有 和 。通过使用定理7,解决方案系统的满足 对所有 。模拟结果呈现在图2。
5。结论
本文的问题可以为一个类边界连续时间和离散时间非线性时变系统的延迟已经调查,涉及扰动输入和时变延迟可能是无限的。通过使用一种方法有别于Lyapnov-Krasovskii功能的方法,我们建立充分条件,系统的状态轨迹渐近收敛在一个球。两个说明性的例子和仿真结果显示结果的有效性。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
本文由中国国家自然科学基金支持下批准号。61473133,11671227,61374074,山东省自然科学基金批准号JQ201119。