文摘

一些充分条件,这是有效的分数阶非线性系统稳定性检查,给出。基于这些结果,两个分数阶混沌系统的同步研究。一种分数阶滑动面,由同步误差及其分数阶积分,介绍。渐近稳定的同步误差动力系统可以保证提出分数阶滑模控制器。最后,给出了两个数值例子验证了上述方法的可行性。

1。介绍

在过去的二十年里,混沌系统的同步(CSs)已经收到了越来越多的关注,和很多有趣的工作已经完成,具有潜在应用价值的秘密通信、信号处理和复杂系统(1- - - - - -9]。最近,分数阶混沌系统的同步控制(foc),它可以被视为一种泛化的integer-order CSs,已经被广泛的研究。很多控制器实现了主动控制等(10),反馈控制(11),滑模控制(12,13),自适应控制,14,15),自适应模糊控制(8,9,16]。

众所周知,滑模控制(SMC)是一种非常有效的控制方法,以应对系统的不确定性和外部干扰(17- - - - - -27]。因此,它已被用于foc同步。例如,小说foc和SMC研究[28];SMC的3 d foc使用一种分数阶切换控制器研究[29日]。使用分层模糊神经网络,30.)提出了一种新的自适应SMC foc同步方法的不确定。另一方面,众所周知,在非线性系统的稳定性分析,二次李雅普诺夫函数是最常用的。然而,(31日,32)表明,它是不现实的,使用二次李雅普诺夫函数的稳定性分析分数阶非线性系统由于产生的复杂的无穷级数与分数阶微分方李雅普诺夫函数。应该提到,在大多数提到的作品,基于分数李雅普诺夫稳定性分析给出的方法。如何建立一些稳定性分析方法根据foc模型是一个有意义的工作。

在控制理论中,稳定性分析是一个重要的方面。对分数阶线性系统的稳定性条件是首先调查(33]。然后,利用LMI给出了一些充分条件(34]。相关结果分数阶非线性系统的稳定性分析中可以看到[35- - - - - -41)和引用。应该指出,分数阶非线性系统的稳定性判据,需要进一步研究。因此,提出一些新的foc稳定性判据是必要的。在这篇文章中,我们将给出两个充分条件一类foc的稳定性。基于这些定理,将分数阶SMC。的贡献本文得出的结论如下:(1)提出了两个充分条件检查分数阶非线性系统的稳定性,(2)一个新的分数阶SMC,闭环系统的稳定性是严格证明。

2。预赛

在本节中,我们将给出一些分数阶微积分的性质。的th分数阶积分表示为(42] 卡普托分数阶导数给出 在哪里分数阶满意吗 。

卡普托的拉普拉斯变换给出分数阶导数(42] 在哪里 。在下一节中,我们将使用以下结果。

的米塔格-莱弗勒函数 在哪里 和 。的拉普拉斯变换(4)是

引理1(见[42])。让 , ,是一个任意的实数, 是一个真正的常数;然后, 在哪里 与 令人满意的 。

引理2(见[43])。让 和 在哪里 。然后,一个

引理3(见[42,44])。让 。是一个复数,是一个实数。如果 然后,对于一个任意整数 ,下面的扩张是适用的:

3所示。主要结果

3.1。分数阶系统稳定性分析的一些充分条件

考虑一类分数阶系统描述 或者同样的 在哪里 , , 状态向量; 代表一个光滑的非线性函数, , , , 两个矩阵。然后,我们有以下结果。

定理4。如果 和非线性函数是有界的,也就是说,存在一个常数 这样 然后存在两个正的常数和这样 对所有 。

证明。它遵循从(11), 使用(5),一个解决(15), 因此,根据(13),有 他指出,米塔格-莱弗勒函数的拉普拉斯变换 然后一个 在哪里 是一个积极的常数。
它遵循从引理3那 因此,对于大型足够的时间 ,一个人 在哪里 。这个定理的证明4。

应该指出,定理4只能开车小区域的零。讨论渐近稳定性,需要以下假设。

假设5。系统的平衡点(11)是原点。

假设6。 但连续函数;也就是说,下面的不平等是适用的: 在哪里 是但常数。

注7。应该提到的假设5和6是合理的。事实上,每一个平衡点的系统(11)可以移动到原点的线性变换。在许多foc,非线性函数光滑,但连续的,例如,分数阶洛伦兹系统,陈分数阶系统,分数阶系统,分数阶的金融体系和分级Volta系统(45]。

定理8。考虑系统(12)。在假设下6,如果 ,在那里 ,然后系统的渐近稳定(12)可以得到保证。

证明。假设 两个任意的解决方案(12)。表示 ;然后,一个 它遵循从(23), 在哪里 。
一些简单的机械手后,人 解决(25)的收益率 根据假设6和引理1,你可以找到一个常数 这样 利用引理2,一个 注意的是, ,在那里 ,然后根据(28)有 这就完成了证明。

3.2。同步控制器的设计

主人和奴隶foc定义,分别 在哪里 是主的状态向量foc和奴隶foc,分别 三个常数矩阵,是一个正定控制增益矩阵,然后呢 代表了控制输入。

定义同步错误 。本节的目标是设计一个适当的控制输入这样最终收敛于零。继续,让我们先给下面的假设。

假设9。 但连续函数;也就是说,下面的不平等是适用的: 在哪里 是一个常数。

为了满足同步对象,让我们构建以下分数阶滑模面: 在哪里 是两个设计矩阵。然后,它遵循从(30.),(31日)和(33), 因此,让 ;可以作为控制输入

现在,我们可以提供以下结果。

定理10。考虑主foc (30.)和奴隶foc (31日)假设9。假设滑动面是由(33)和控制输入的目的是(35)。如果设计矩阵满足 和 ,在那里是最小的特征值的 ,那么可以断定,同步误差渐近收敛于原点。

证明。它遵循从(30.)和(31日), 用(35)(36)的收益率 注意的是, 和 ,它遵循从(37),假设9和定理8那 。这就完成了定理的证明10。

4所示。仿真结果

在本节中,将两个例子显示了该方法的有效性。

4.1。同步两个二维分数阶杜芬系统

分数阶的杜芬系统描述(46]

系统的雅可比矩阵(38平衡点) 是

很容易知道系统(38)有三个平衡: , , 。的平衡 ,我们得到的特征值 和 。的平衡 ,特征值是 和 。的平衡 ,我们获得特征值 和 。根据这些特征值,我们可以得出结论,最小的为获得系统的混沌行为38)(45]

在初始条件下 和 和分数阶 foc (38)显示了一个混乱的行为,这是描绘在图1。

根据(30.)和(38),很容易知道 因为系统(38)是一个混沌系统,那么我们知道两个信号和有界(从图吗1人知道, 和 )。因此,假设9感到满意 。

在仿真中,对奴隶foc初始条件 和 。假设 。设计选择矩阵 因此,我们有 , ,两个条件 和 在定理10感到满意。

并给出了仿真结果数据2- - - - - -5。结果的状态变量从foc跟踪主系统的状态提出了数字2和3。同步的时间响应错误如图4。从这些图片中,我们可以看到同步控制器是有效的,快速和同步误差收敛于原点。从(35),我们知道同步控制的输入是一个连续函数。给出了控制输入图的平滑5,我们可以看到,该控制器具有小的波动。

4.2。同步两个3 d分数阶混沌神经网络

让我们考虑下面的分数阶混沌神经网络表达的(15]

假设 和初始条件 , , 。foc的动力学行为(43)在图给出6。

很容易知道主混沌系统(43), , , 因此,我们有 和满足但条件。但常数可以选择为1。

奴隶foc的初始条件 , , 。让 。设计选择矩阵 因此,我们知道 , ,两个条件 和 在定理10感到满意。

仿真结果给出了数据7和8。就像数据的结果2- - - - - -5我们知道,取得了良好的同步性能。

5。结论

在本文中,两个分数阶非线性系统稳定性标准。基于这些定理,两个相同的foc的同步解决。一个分数阶滑动面,其中包含一个分数阶积分的同步错误,。该控制器能保证闭环系统渐近稳定的。然而,在控制器的设计中,我们需要知道Lipchitz常数的精确值。如何减少这种情况是我们的一个未来的研究方向。

的利益冲突

作者没有直接与任何商业金融关系的身份在这篇文章中提到可能会导致利益冲突。

确认

这项工作是由中国国家自然科学基金(批准号11302184)和中青年教师教育和科学研究基金会中国福建省(批准号JAT170423)。