CIP方法解决潮汐波的特征方程

文摘

CIP-MOC(约束插值剖面/方法的特点)解决潮汐波方程,提出了大时间步长。底部地形和底部摩擦,这是非常重要的因素的潮汐波模型,包括方程的黎曼不变量作为源项。数值实验数据验证了该方法的良好性能。相比传统semi-implicit (SI)有限差分格式,广泛用于潮汐波模拟,CIP-MOC具有更好的稳定性在模拟大梯度水面变化和有能力使用更长的时间步大小的前提下保持精度。此外,数值测试反射边界条件由CIP-MOC大时间步长和取得了良好的效果。

1。介绍

潮汐波是水运动由天体的引力引起的。潮汐波模型的控制方程是最初的浅水方程包括源项(如底摩擦、海底地形和水平涡粘性项)(1]。因此,浅水方程的源项的解决方案具有重要意义。

模拟的海洋潮汐波,欧拉计划被广泛的使用,例如,Backhaus [2]和Casulli [3]semi-implicit方案(以下简称SI)用于浅水方程的解决方案;Lv和张4]semi-implicit计划用于解决潮汐波方程,其计算格式是用于研究底摩擦系数(5)和潮汐开放边界条件(6];有限体积法也是常用的(7,8]。然而,由于重力波的相速度是如此的快,时间步长由CFL条件严格限制在使用欧拉计划(9]。

在寻找方法使越来越多的利益使用大时间步长求解浅水方程。erb (9)提出了一个semi-Lagrangian特征(MOC)和二次插值的方法来解决大型节能灯的浅水方程数,但是有色散误差产生。Ogata和他10]CIP方法适用于浅水区结合商务部甚至显示低色散误差和低数值阻尼与大型节能灯数。户田拓夫et al。11)提出了一种新的方案采用保守Semi-Lagrangian (CSL)基于CIP方法显示了良好的保护。然而,在现实中应用该方法模拟海洋潮汐波将遇到一个困难治疗来源包括底部地形方面,底摩擦和边界条件。

本文应用CIP-MOC指定[9)潮波方程的解决方案是基于浅水方程,包括源海底地形和摩擦。理想的数值实验表明,CIP-MOC方法优于SI方案稳定和分散错误当使用大的时间步长。反射边界条件的问题也进行了讨论。

本文组织如下。部分2介绍了CIP-MOC方法。节3进行数值试验,比较了CIP和SI。结论部分给出4。

2。模型和方法

2.1。CIP方法

CIP方法是一个紧凑,健壮,不扩散,和高阶方案在计算流体动力学(12]。与其他传统的插值方法相比,CIP描述的内部信息网格是更好的使用空间导数在函数分布在网格细胞的描述。我们考虑以下平流的问题: 解决方法是(13]

如果和在每一个网格点,两个相邻点之间的配置文件可以用三次多项式近似 在哪里 。考虑四个约束 然后可以给出系数 在哪里 , , 。

因此,的形象和在下个时间步可以获得 在哪里 。

2.2。一维潮波方程

让底摩擦项线性形式,然后一种原始形式的一维潮波方程写成(14] 在哪里是时间,笛卡儿坐标,安静的水深度, 海面高度高于海平面原状, 流速,底摩擦系数,重力加速度。

解决(9)方法的特点和保护深度梯度和底部之间的平衡效果,表面梯度法(15这里使用)。替换的变量与水位 ,在那里代表底部地形高度(见图1),我们得到的(9),可以写成

在一个向量矩阵形式,(10)可以写成 特征值矩阵特征向量矩阵的系数矩阵是 在哪里 和 。因此,矩阵可对角化 ,在哪里 的逆 。然后(11)可以写成 在哪里代表的右手边(11)。

对黎曼不变量两个特点 可以获得(14), 利用CIP方法,我们有 在哪里和计算了 下标CIP与CIP变量意味着他们将被内插方案,和底摩擦项是离散Crank-Nicholson方法隐式。和在时间步可以通过求解线性方程组(16)(见图2):

时间集成底部地形项(18)和(19可以近似用) 如下(16]:

当应用CIP方法、空间梯度还需要在下一个时间步。把空间的导数(15) 包括的条款与空间相关的衍生品 , ,和 。考虑到的影响这个问题并不重要,我们忽视吗在这里。然后(21)可以解决 然后值,每个值在时间步的衍生品 得到了。

2.3。二维潮波方程

假设压力是流体静力学和密度是常数,深度平均的二维潮汐模型没有横向涡粘性给出如下(17]: 在哪里 和 是和流速和组件代表了科里奥利参数。

以同样的方式作为一个维度,替代变量与水位 ;我们得到的(24),可以用向量矩阵形式 在哪里

因为矩阵和不是交换;因此,没有矩阵同时对角化。分(25)为两个连续的阶段;源项分为两项添加到每个定向阶段: 在哪里

为了得到高精度的时间,我们在x和y方向上交替计算如下: 在哪里和代表的操作(27)和(28),分别。

这里我们给轴方向过程的解决方案。类似于一维情况下,左乘(27由特征向量矩阵) : 在哪里 方程(31日)会导致以下三个方程: 在哪里 黎曼不变量。这三个方程都有对流方程的形式,可以由CIP方法计算。科里奥利力、海底地形和底摩擦项添加到每个黎曼不变量特征线。因此,黎曼不变量可以离散如下: 所以我们有 在哪里 , , , 类似于一维的推导过程,忽视的影响 ,每个值在时间步的衍生品 得到了 在x方向上的操作就完成了。

操作在y方向上基本上是一样的x和y导数由线性插值计算 在哪里 。

3所示。数值结果

3.1。一个小扰动的一维稳态水

证明的CIP方法可以应用于计算海洋潮汐波与海底地形和底摩擦,我们首先考虑的似稳测试用例18]。所不同的是,我们这里添加底摩擦的影响。

地形是由底部 初始条件是 在哪里 是恒定的振幅微扰。根据波的传播机制,小扰动会分裂成两个较小的波传播双方。吉布斯现象,然而,由于小脉冲扰动是一个挑战对于许多数值方案(19]。数值实验与CIP和SI方案;表面水平 在最后一次细胞 如图3。我们一直 如果计划是严格限制的CFL条件,和 当使用CIP。

由于流速和远小于波速度 ,被定义为数量节能灯

实验结果类似(19,20.]。可以看出,非物理振荡发生在模拟使用SI计划行进波,波在旅行的过程中,和非物理振荡振幅逐渐增加时间,这也意味着该计划没有模拟大型表面梯度变化的能力。然而,模拟波的形状是光滑的,没有使用CIP直到时振荡 。图4使计算结果CIP与节能灯= 2.61 k = 0, 1, 2。可以看出,分离波高度小于一半的初始扰动,因为底部摩擦。数值实验表明,CIP方法可以成功地模拟大梯度水面与海底地形和底摩擦使用大时间步大小。

3.2。光滑的表面波传播问题

因为边界条件发挥了重要作用,浅水流动的一个实际的海洋区域,我们考虑一个光滑的表面波传播和反射边界条件问题。增加的条件

自空间梯度也需要使用CIP方法时,空间梯度条件解决了边界(48):

追踪上游岸边的出发点时,相应的实际上游水域出发点是近似使用反射边界条件(见图5)。

给出了初始条件如下: 在哪里 。让底部的摩擦系数 恒科氏参数是 。

计算域是 ,和设置为1.0。水面的等值线图在t = 20和40 t =数据所示6和7,分别。可以看出,在t = 20轮廓线并不是一个完整的圆,因为底部地形的影响(类似于一维情况下)。在 ,反射波相互叠加,最终形成图所示7。结果表明,当时间步长增加到三倍SI方法,仍然CIP-MOC方案模拟水面的变化过程很好,甚至考虑底部地形(见图8)、边界和科里奥利效应。

4所示。结论

在本文中,我们应用CIP-MOC潮波方程的解决方案使用大的时间步长。海底地形、底摩擦和科里奥利术语包括黎曼不变量的方程的源项。一维实验表明CIP-MOC方案可以保持形状很好,甚至没有振荡时间步时增加到四倍的SI方案模拟大梯度的水面。底摩擦的影响也进行了实验。在二维情况下,反射边界条件的问题。数值实验表明,CIP-MOC方案成功地模拟水面使用时间步的变化过程,如果方法的三倍。所有的结果验证了稳定性好和低色散误差CIP-MOC方法。

数据可用性

本文中提出的结果都是由模型模拟。因此,没有可用的数据。研究人员希望这项研究将复制使用本文中描述的方程和参数。这样的方程和参数,研究人员可以使用建模仿真复制这篇文章中给出的数据。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

部分支持这项研究的经费由国家重点研究和开发计划到2016年格兰特yfc1402304,山东省的关键研究和发展计划通过拨款2016 zdjs09a02 ZR2016AB16,并通过授予中国的国家自然科学基金41606006。

引用

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