非线性数学物理中对称分析与精确解的最新进展

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偏微分方程是用来描述各种各样的物理现象，如流体动力学，等离子体物理，固体力学，和量子场理论出现在物理。很多方程都是非线性的，一般来说，这些方程通常很难显式求解。研究非线性方程常用的系统方法有:广义对称法、Painlevé分析法、逆散射法、Bäcklund变换法、守恒律法、Cole-Hopf变换法、Hirota双线性法等。

构造非线性方程的精确解，特别是行波解，在孤子理论中起着重要的作用。本文提出了几种重要的求解非线性偏微分方程行波解的直接方法，如逆散射法、tanh函数法、扩展tanh函数法、G ' /G法、最简法和修正最简法。

已邀请此特别问题的作者提交原始研究文章以及以下主题中的审查文章：获得部分微分方程解决方案的方法;保护法;获取常微分方程解的一般方法;旅行波解决方案;物理学中的新应用。

但是，我们在这些研究领域获得了22篇论文。经过严谨的审查过程后，六篇文章最终被接受出版。这些文章包含一些新的和创新的技术和想法，可以刺激几个理论分支的进一步研究和转型组的应用。

在“合理解决方案和准周期性波解决方案以及相互作用中-Soliton溶液3 + 1维吉米波 - MiWa方程，“H. Yang等人。通过Hirota方法和3 + 1维jimbo-miwa方程获得的Rational Solutions，Quasi周期波溶液和三维jimbo-miwa等式的θ。这些解决方案的知识允许他们解释互动- 即溶解的解决方案，即孤子溶液可以改变为谐振溶液，当出现追踪碰撞时;也就是说，具有更快的速度的孤子将赶上孤子的速度较慢（碰撞后，两个孤子将继续作为先前的速度和方向传播）。

在“求解Schrödinger方程的有效数值方法”中，L. Zhang和T. E. Simos展示了一种新的五阶段对称两步十四代数阶方法的原始发展，该方法没有相位滞后及其一、二、三阶导数。具体地，首先介绍了新方法的发展和局部截断误差的确定，接着介绍了局部截断误差的分析和稳定性。最后，将新方法应用于若干Schrödinger方程，考虑了周期性分析的区间和有效性。

在标题为“渐近扩展的渐近扩展的时间空间分数Kuramoto-Sivashinsky方程”中，作者的注意力致力于在具有初始条件下寻找分数偏微分方程的渐近扩展。提出了用于时空分数偏微分方程的残余功率串联方法，其中分数积分和衍生物描述于瑞曼 - 刘维尔积分和Caputo衍生物的意义上。它们以初始值应用于线性和非线性时空分数Kuramoto-Sivashinsky方程的方法，并获得解决方案的渐近扩展，这证实了该方法的准确性和效率。

在“一类Zakharov方程的新周期解”一文中，C. Sun和S. Ji考虑了一类非线性Zakharov方程。他们受Angluo思想的启发，应用Jacobian椭圆函数法，得到了Klein-Gordon Zakharov方程、Zakharov方程和Zakharov- rubenchik方程的新的周期解。

S. H. Kim在论文《Cauchy Additive Functional Equation on Tangle Space的Stability and Applications》中引入了实缠结(有理缠结的一种推广)及其用连分式微积分来枚举缠结的运算。此外，他通过在不需要具有拓扑结构的真实缠结之间使用新的运算来研究缠结、结和链的解析结构。对于分析结构的应用，他证明了Cauchy加性泛函方程的广义Hyers-Ulam稳定性在缠结的空间中，这是一组具有分析结构的真正缠结，并将DNA重组描述为缠结空间上的某些酶的作用。

在他们的论文《受乘法性和周期性调制噪声影响的广义谐振子的随机共振行为》中，S. Zhong等研究了由乘法性噪声和周期性调制噪声驱动的广义朗之万线性系统的随机共振(SR)特性。他们考虑了由具有长记忆和长依赖的内部噪声(如分数高斯噪声和Mittag-Leffler噪声)驱动的广义Langevin方程。这种模型适用于表征化学和生物溶液以及一些纳米技术器件。得到了输出幅值的精确解析表达式。在此基础上，揭示了随机共振现象的一些特征。另一方面，利用精确的表达式，得到了不同系统参数下输出幅值与噪声强度的共振行为的相位图。这些结果可以为该数学模型的实际应用和今后工作中对SR现象的控制提供理论依据。

致谢

我们要感谢所有投稿的作者和所有审稿人。他们的贡献和努力对本期特刊的出版非常重要。

玛丽亚Bruzon
Chaudry m . Khalique
玛丽亚·l·Gandarias
RitaTraciná.
Mariano Torrisi.

版权

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