亮孤子在对称的二聚体

文摘

我们学习基本的生存和稳定明亮离散孤子在parity-time - (-)对称耦合器由一连串的二聚体模型的线性耦合的离散非线性薛定谔方程与得失。我们使用一个小格执行之间的耦合微扰理论分析,然后经数值计算。这样的分析是基于所谓的anticontinuum极限方法的概念。我们认为基本现场和intersite亮孤子。每个解决方案都有对称和反对称的手臂之间的配置。然后解决方案的稳定性是由解决相应的特征值问题。得到对称和反对称现场模式耦合小,可以稳定与反对称解的连续极限报道总是不稳定的。不稳定是由于内部模式穿越复杂的起源或四方的外观特征值。一般来说,增益损失项可以被认为是寄生虫,因为它减少了现场孤子的稳定区域。此外,我们分析现场的动态行为和intersite孤波不稳定时,通常在哪里旅行孤波的形式或孤子的崩盘。

1。介绍

一个方程组对称的如果是不变的对综合平价()和逆时()转换。对称是有趣的,因为它形成一个特定类non-Hermitian汉密尔顿在量子力学的1),这可能会有一个真正的频谱潜在复杂参数的临界值,上面“破系统对称”阶段(2- - - - - -4]。

最基本的配置对称是一种二聚体,一个系统的两个耦合振子的振荡阻尼损失,另一个收益能源从外部来源。大大,二聚体也最重要的系统的概念对称是第一次意识到实验二聚体组成的两个耦合光波导(5,6)(参见评审(7]对称性在光学应用程序)。实验已经迅速其次是许多其他的观察对称性在物理不同分支,从机械到电子类似物(见评审(8])。

当存在非线性系统,可能有一个重要的行为不存在在线性情况下,如出现爆破动力学参数地区连续阶段的线性对应(9- - - - - -11]。当非线性二聚体是将数组中元素与得失是线性耦合的相同类型的元素属于相邻的二聚体,也可以获得一个独特的功能解决方案的存在形式的局部空间的连续家庭能源参数(12]。系统因此两臂,每个臂所描述的离散非线性薛定谔方程与收益或损失。在这里,我们研究了非线性局部解决方案,松散,我们也称之为明亮的离散孤子,其稳定性分析和数值。

在连续的限制,研究了耦合方程没有增益损失(13- - - - - -16),它已被证明,系统承认对称的,反对称和对称孤子之间的武器。不对称不稳定的解决方案通过亚临界分叉从对称的对称分岔,然后切(saddle-center)分岔后变得稳定。当一个添加一个得失词在每个手臂,一个获得对称耦合器,被认为是在17- - - - - -22]。线性增益和损失的存在,不对称孤子不复存在,而反对称孤波总是不稳定(20.),即使那些小振幅可以长寿由于疲软的潜在不稳定17]。对称孤子可以在类似的方式稳定的系统中没有增益损失(20.]。

明亮的离散孤子的稳定性讨论了对称耦合器(12)使用变分方法,结果表明,对称可以稳定和现场解决方案有一个临界振幅上面的解决方案对称是坏了。的极性对称二聚体交错沿着链被认为是在23]。相同的方程没有得失被认为是在24]在对称孤子失去稳定通过对称破裂的分岔有限值的能量,同样的,在连续同行(13- - - - - -16]。最近,一个类似的链二聚体与一个稍微不同的非线性是派生25)来描述耦合参数化驱动链翻车机的力学模拟对称的系统(26]。明亮的离散孤子的稳定性而建立的应用哈密顿定理。能源和索引非线性离散孤子也是建立的长期稳定使用李雅普诺夫方法在渐近极限之间的弱耦合翻车机(27]。

在这项工作中,我们确定离散孤子的特征值对称耦合器利用渐近展开分析。计算是基于所谓的弱耦合或anticontinuum限制的方法。方法的应用在离散孤子的研究是制定严格的(28为保守的系统)。它被应用到对称网络(29日,30.]。但是,没有显式表达式的渐近级数特征值的离散孤子的稳定性提出了。在这里,除了渐近二聚体之间的弱耦合极限,我们也建议考虑扩张系数的增益损失条款。在这种情况下,特征值的渐近级数的显式计算成为可能。

手稿是概述如下。节2,我们提出的数学模型。节3,我们使用小型耦合微扰理论分析基本局部解的存在性。这样的分析是基于所谓的anticontinuum极限方法的概念。孤子的稳定性则被认为是部分的分析4通过求解相应的特征值问题。在本节中,除了小耦合,扩张也表现小增益损失项系数的假设下由于nonsimple使直线化的特征向量操作符的表达式。然后从分析获得的计算结果与数值的部分5。我们还生产稳定区域的所有基本孤子数值。在本节中,我们现在典型的动力学不稳定的孤子参数范围内通过直接控制方程的数值集成。我们报告的结论部分6。

2。数学模型

控制方程描述对称链二聚体的形式(12] 对进化过程变量的导数(即。,the propagation distance, if we consider their application in fiber optics) is denoted by the overdot,和复数波函数在网站吗,是水平的常系数线性耦合(两个相邻站点之间耦合常数),和在一个空间维度离散拉普拉斯算子的术语,得失作用于复杂的变量和由积极的系数;也就是说,。用非线性系数,它可以扩展不失一般性,由于聚焦非线性的情况下,我们可以考虑。明亮的离散孤子解满足本地化条件作为。

聚焦系统静态局部的解决方案,可以从替换 到(1)收益率方程 在哪里和复数和传播常数吗。

3所示。解的弱耦合方程

在非耦合极限下,即当链(1二聚体)成为方程。静态方程(3)详细分析了29日,31日),结果表明,有一个关系和上面没有长期有效的解决方案(3)(参见下面的分析)。当是零,但足够小,源自非耦合限制解决方案的存在可以显示使用隐函数定理。的存在性分析25)可以在这里采用尽管稍微不同的非线性系统的雅可比矩阵,当非耦合股票,而类似的可逆的结构(参见[29日,30.)有相同的非线性控制方程,但不同的小耦合计算)。然而,下面我们将不会定理,推导出状态渐近级数的解决方案。

利用微扰扩张,耦合器的解决方案(3对小型耦合常数)可以表达分析 用上述扩张到(3)和收集连续的权力的条款,一个获得和分别的方程

众所周知,自然有两种基本的解决方案表示明亮的离散孤子对任何可能存在的,从anticontinuum连续极限,也就是说,一个intersite (two-excited-site)和现场(one-excited-site)明亮的离散模式。在这里,我们将限制我们的研究这两种基本模式。

3.1。Intersite孤子

在非耦合极限下,模式结构和intersite孤子的形成 与(31日] 这是一个精确解(5)。请注意,(8当)将没有真正的解决方案。这是破碎的地区对称。的参数可以作为0,由于计相控制方程的不变性(1),从今以后和。前阶段对应于所谓的对称配置之间的武器,而后者称为反对称。对称矩阵和反对称矩阵,我们也参考孤子孤子I和II,分别。方程(8)告诉我们,和孤波的必要条件是I和II,分别。

的一阶修正由于弱耦合,写作和和替换成(6)将产生

方程(4),(7),(8)和(9)的渐近展开intersite孤子。一个可以继续同样的计算获得高阶修正。这里,我们限制自己只一阶修正,这是足以确定主导秩序行为的特征值。

3.2。现场孤子

现场的孤子,one-excited-site离散模式,一个人可以执行相同的计算来获取表单的模式结构 (8)。写完和的一阶校正(6)是由

4所示。稳定性分析

后我们发现离散孤子,其线性稳定然后由求解相应的线性特征值问题。为此,我们引入了线性化拟设和,把这个代入(1)获得使直线化方程): 这必须解决特征值吗和相应的特征向量。的稳定矩阵特征值问题(12)是真正的价值,和也特征值和相应的特征向量和与,分别。因此,我们可以得出结论,解决方案只有当(线性)是稳定的吗所有特征值。

4.1。连续光谱

的光谱(12)将由连续谱和离散谱(特征值)。调查前,我们认为的极限,介绍了平面波拟设,,,,,代拟设成(12)获得 在哪里。这个方程可以解决分析产生色散关系 因此,连续光谱是由和光谱的边界 获得(14)通过设置和在方程。

4.2。离散谱

摘要分析后部分3,我们将使用类似的渐近展开解决特征值问题(12)分析;也就是说,我们写 与。然后我们替代扩张到特征值问题(12)。

在订单,你将获得二聚体的稳定性方程,讨论了一般的价值在[31日]。特征值很简单的表达,但表达相应的特征向量,使的结果(31日),而不切实际的使用。因此,在这里我们限制自己小的情况下和扩大(16)进一步 。因此,我们有两个参数,即和是相互独立的。为了演示,详细计算如附录所示。在这里我们只会把最终的结果。

4.2.1。准备Intersite孤子我

我(即intersite孤子。,the symmetric intersite soliton) has three pairs of eigenvalues for small和。一对分叉的零特征值。他们是渐进的

4.2.2。Intersite孤子二世

intersite孤子II,反对称的intersite孤子之间的武器,有三双的特征值

4.2.3。现场孤立子我

现场孤立子只有一个特征值为小渐近了

4.3。现场孤子二世

至于第二种类型的现场孤子,

5。数值结果

我们已经解决了稳态方程(3)数值使用牛顿迭代法和数值解的稳定性进行了分析通过求解特征值问题(12)。这里我们将比较上述分析计算得到的数值结果。

首先,我们考虑离散intersite孤子。我们显示在图1孤波的频谱作为耦合常数的函数为和。在实轴上,可以观察到,只有一个不稳定特征值同胚从原点。随着耦合增加,分叉特征值再次进入原点。因此,在限制我(也就是我们获得一个稳定的孤子。,一个稳定的对称孤子)。非零特征值的动态耦合常数的函数显示在右面板图,可以看到,特征值的虚轴,只需输入连续光谱增加。

在图2,我们策划的特征值足够大。这里,在非耦合极限下,所有特征值的三双是在实轴上。随着耦合的增加,两双走回原点,而一对仍在实轴上(这里没有显示)。在连续极限,因此,我们得到一个不稳定的孤子我(即。,一个不稳定的对称孤子)。

在这两个数字,我们还画出近似特征值在固体(蓝色)曲线,获得小好协议。

从数值计算,我们猜想,如果限制所有的非零特征值满足(见(15),然后我们将获得稳定的孤子我连续极限。然而,当在anticontinuum极限所有的非零特征值满足,我们可以获得一个稳定或不稳定的孤子我连续极限。

接下来,我们考虑intersite孤子二世(即。反对称intersite孤子)。如图3是离散孤子的光谱的两个值吗。在这两种情况下,有一个特征值分支从原点。较小的值(数据3(一个)- - - - - -3 (c)),我们有条件,所有的非零特征值满足在anticontinuum极限。特征值和连续谱之间的碰撞增加创建复杂的耦合特征值。在第二种情况下使用更大(数据3 (d)- - - - - -3 (f)),非零特征值满足当。尽管没有看到在图中,一个非零特征值之间的碰撞和连续谱还创建了一双复杂的特征值。此外,在连续极限的值以及其他的参数值,我们为这种类型的计算离散孤子产生不稳定的解决方案。

我们也研究现场孤子。如图4和5是离散孤子的稳定类型I和II,分别。

图4(一)显示,足够小,我们将获得稳定的离散孤子。对耦合常数小,我们确实显示通过分析描绘成蓝色实线。数值,我们也获得这种孤子稳定的连续极限。然而,当相比足够大吗,尽管最初的非耦合限制非零特征值满足(比如,你可以获得一个指数不稳定。,由于不稳定的特征值)。图4 (c)显示了该离散孤子情况已经不稳定甚至在非耦合限制由于已经实值的非零特征值。

图5表明反对称孤波通常不稳定由于四重奏的复杂特征值,如图5(一个)和5 (c)。当耦合进一步增加,将会有一个特征值分支将走向的起源和后来成为一对真正的特征值。这些孤波也不稳定的连续极限。

与intersite离散孤子总是不稳定,现场离散孤子可能是稳定的。在图6,我们现在(在)稳定区域的两种离散孤子飞机的三个值增益损失参数。离散孤子不稳定高于曲线之间的面板(a)和曲线在面板(b)。正如我们之前提到的,孤波,我有一个至关重要的这取决于下面的孤子是稳定的连续极限,虽然孤子二总是不稳定的极限。另一个区别这两个数据是稳定曲线在图6(一)一般对应一个特征值穿越成为实值的起源,而曲线在其他面板将出现四方的复杂特征值。一般来说,我们获得的增益损失项可以寄生在减少离散孤子的稳定性区域。

最后,我们呈现在图7一些不稳定的解决方案的时间动态显示在前面的数字。我们得到的是,通常有两种类型的动态,也就是说,在旅行的形式离散孤子或解决方案的崩盘。第一类的典型动力学intersite孤子。第二个动力学是典型的其他类型的不稳定的离散孤子。

6。结论

我们提出了一个系统的方法来确定离散孤子的稳定性对称耦合器通过计算相应的线性特征值问题的特征值使用渐近展开。我们已经将我们得到的分析结果与数值计算,获得良好的协议。的数字,我们还建立了不稳定的机制以及离散孤子的稳定性区域。在高维的应用方法对称耦合器(见,例如,32])是解决问题的一个自然延伸为未来的工作。此外,我们也解决特征值的计算离散孤子的破碎的附近对称作为未来的调查。

附录

分析计算

就像前面提到的4.2解决特征值问题(12特征值和特征向量)分析我们扩大渐近 与。

执行扩张,在,我们获得以下方程组: 在哪里

在和,我们获得 在哪里

找到系数的步骤渐近的扩张,,如下:(我)求解特征值问题(a .),这是一个方程组,和。(2)确定通过双方的向量内积(各)与物体的厄密共轭转置矩阵的零空间,由沿着对角线,是单位矩阵。(3)解决(各)。(iv)确定通过双方的向量内积(本)与物体的厄密共轭转置矩阵的零空间,由。

重复这个过程,如果一个人想计算高阶项。

领先的秩序特征值(a .)已经解决了31日]。然而,相应的特征向量的表达式很漫长的,这使得它几乎不被用来确定高阶修正的。因此,在每一个方程获得(12),我们也扩大的变量,也就是说, 再次,,并获得方程在秩序。的步骤来确定和正如上面提到的都是相同的。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

Alhaji a Bachtiar和哈迪Susanto感谢诺丁汉大学的2013年来访奖学金方案和英国文化协会为2015年印尼第二大城市合作旅游格兰特。