我们学习基本的生存和稳定明亮离散孤子在parity-time - (<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
-)对称耦合器由一连串的二聚体模型的线性耦合的离散非线性薛定谔方程与得失。我们使用一个小格执行之间的耦合微扰理论分析,然后经数值计算。这样的分析是基于所谓的anticontinuum极限方法的概念。我们认为基本现场和intersite亮孤子。每个解决方案都有对称和反对称的手臂之间的配置。然后解决方案的稳定性是由解决相应的特征值问题。得到对称和反对称现场模式耦合小,可以稳定与反对称解的连续极限报道总是不稳定的。不稳定是由于内部模式穿越复杂的起源或四方的外观特征值。一般来说,增益损失项可以被认为是寄生虫,因为它减少了现场孤子的稳定区域。此外,我们分析现场的动态行为和intersite孤波不稳定时,通常在哪里旅行孤波的形式或孤子的崩盘。
一个bstract>
诺丁汉大学
英国文化协会1。介绍
一个方程组<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
对称的如果是不变的对综合平价(<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
)和逆时(<我nl我ne- - - - - -为mula>
T
)转换。对称是有趣的,因为它形成一个特定类non-Hermitian汉密尔顿在量子力学的
1),这可能会有一个真正的频谱潜在复杂参数的临界值,上面“破系统<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
对称”阶段(
2- - - - - -
4]。
最基本的配置<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
对称是一种二聚体,一个系统的两个耦合振子的振荡阻尼损失,另一个收益能源从外部来源。大大,二聚体也最重要的<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
系统的概念<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
对称是第一次意识到实验二聚体组成的两个耦合光波导(
5,
6)(参见评审(
7]<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
对称性在光学应用程序)。实验已经迅速其次是许多其他的观察<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
对称性在物理不同分支,从机械到电子类似物(见评审(
8])。
当存在非线性<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
系统,可能有一个重要的行为不存在在线性情况下,如出现爆破动力学参数地区连续阶段的线性对应(
9- - - - - -
11]。当非线性二聚体是将数组中元素与得失是线性耦合的相同类型的元素属于相邻的二聚体,也可以获得一个独特的功能解决方案的存在形式的局部空间的连续家庭能源参数(
12]。系统因此两臂,每个臂所描述的离散非线性薛定谔方程与收益或损失。在这里,我们研究了非线性局部解决方案,松散,我们也称之为明亮的离散孤子,其稳定性分析和数值。
明亮的离散孤子的稳定性<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
讨论了对称耦合器(
12)使用变分方法,结果表明,对称可以稳定和现场解决方案有一个临界振幅上面的解决方案<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
对称是坏了。的极性<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
对称二聚体交错沿着链被认为是在
23]。相同的方程没有得失被认为是在
24]在对称孤子失去稳定通过对称破裂的分岔有限值的能量,同样的,在连续同行(
13- - - - - -
16]。最近,一个类似的<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
链二聚体与一个稍微不同的非线性是派生
25)来描述耦合参数化驱动链翻车机的力学模拟<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
对称的系统(
26]。明亮的离散孤子的稳定性而建立的应用哈密顿定理。能源和索引非线性离散孤子也是建立的长期稳定使用李雅普诺夫方法在渐近极限之间的弱耦合翻车机(
27]。
在这项工作中,我们确定离散孤子的特征值<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
对称耦合器利用渐近展开分析。计算是基于所谓的弱耦合或anticontinuum限制的方法。方法的应用在离散孤子的研究是制定严格的(
28为保守的系统)。它被应用到<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
对称网络(
29日,
30.]。但是,没有显式表达式的渐近级数特征值的离散孤子的稳定性提出了。在这里,除了渐近二聚体之间的弱耦合极限,我们也建议考虑扩张系数的增益损失条款。在这种情况下,特征值的渐近级数的显式计算成为可能。
控制方程描述<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
对称链二聚体的形式(
12]
(1)
u
˙
n
=
我
σ
u
n
2
u
n
+
我
ϵ
Δ
2
u
n
+
γ
u
n
+
我
v
n
,
v
˙
n
=
我
σ
v
n
2
v
n
+
我
ϵ
Δ
2
v
n
- - - - - -
γ
v
n
+
我
u
n
。对进化过程变量的导数(即。,the propagation distance, if we consider their application in fiber optics) is denoted by the overdot,<我nl我ne- - - - - -为mula>
u
n
=
u
n
(
t
)
和<我nl我ne- - - - - -为mula>
v
n
=
v
n
(
t
)
复数波函数在网站吗<我nl我ne- - - - - -为mula>
n
∈
Z
,<我nl我ne- - - - - -为mula>
ϵ
>
0
是水平的常系数线性耦合(两个相邻站点之间耦合常数),<我nl我ne- - - - - -为mula>
Δ
2
u
n
=
(
u
n
+
1
- - - - - -
2
u
n
+
u
n
- - - - - -
1
)
和<我nl我ne- - - - - -为mula>
Δ
2
v
n
=
(
v
n
+
1
- - - - - -
2
v
n
+
v
n
- - - - - -
1
)
在一个空间维度离散拉普拉斯算子的术语,得失作用于复杂的变量<我nl我ne- - - - - -为mula>
u
n
和<我nl我ne- - - - - -为mula>
v
n
由积极的系数<我nl我ne- - - - - -为mula>
γ
;也就是说,<我nl我ne- - - - - -为mula>
γ
>
0
。用非线性系数<我nl我ne- - - - - -为mula>
σ
,它可以扩展<我nl我ne- - - - - -为mula>
+
1
不失一般性,由于聚焦非线性的情况下,我们可以考虑。明亮的离散孤子解满足本地化条件<我nl我ne- - - - - -为mula>
u
n
,
v
n
→
0
作为<我nl我ne- - - - - -为mula>
n
→
±
∞
。
聚焦系统静态局部的解决方案,可以从替换
(2)
u
n
=
一个
n
e
我
ω
t
,
v
n
=
B
n
e
我
ω
t到(
1)收益率方程
(3)
ω
一个
n
=
一个
n
2
一个
n
+
ϵ
一个
n
+
1
- - - - - -
2
一个
n
+
一个
n
- - - - - -
1
- - - - - -
我
γ
一个
n
+
B
n
,
ω
B
n
=
B
n
2
B
n
+
ϵ
B
n
+
1
- - - - - -
2
B
n
+
B
n
- - - - - -
1
+
我
γ
B
n
+
一个
n
,在哪里<我nl我ne- - - - - -为mula>
一个
n
和<我nl我ne- - - - - -为mula>
B
n
复数和传播常数吗<我nl我ne- - - - - -为mula>
ω
∈
R
。
现场的孤子,one-excited-site离散模式,一个人可以执行相同的计算来获取表单的模式结构
(10)
一个
n
0
=
一个
^
0
e
我
ϕ
一个
n
=
0
,
0
否则
,
B
n
0
=
b
^
0
e
我
ϕ
b
n
=
0
,
0
否则
,(
8)。写完<我nl我ne- - - - - -为mula>
一个
n
(
1
)
=
一个
~
n
,
1
e
我
ϕ
一个
和<我nl我ne- - - - - -为mula>
B
n
(
1
)
=
b
~
n
,
1
e
我
ϕ
b
的一阶校正(
6)是由
(11)
一个
~
n
,
1
=
b
~
n
,
1
=
1
一个
^
0
n
=
0
,
±
1
,
0
否则
。
4所示。稳定性分析
后我们发现离散孤子,其线性稳定然后由求解相应的线性特征值问题。为此,我们引入了线性化拟设<我nl我ne- - - - - -为mula>
u
n
=
(
一个
n
+
ϵ
~
(
K
n
+
我
l
n
)
e
λ
t
)
e
我
ω
t
和<我nl我ne- - - - - -为mula>
v
n
=
(
B
n
+
ϵ
~
(
P
n
+
我
问
n
)
e
λ
t
)
e
我
ω
t
,
|
ϵ
~
|
≪
1
,把这个代入(
1)获得使直线化方程<我nl我ne- - - - - -为mula>
O
(
ϵ
~
):
(12)
λ
K
n
=
- - - - - -
一个
n
2
- - - - - -
ω
l
n
- - - - - -
ϵ
l
n
+
1
- - - - - -
2
l
n
+
l
n
- - - - - -
1
+
γ
K
n
- - - - - -
问
n
,
λ
l
n
=
3
一个
n
2
- - - - - -
ω
K
n
+
ϵ
K
n
+
1
- - - - - -
2
K
n
+
K
n
- - - - - -
1
+
γ
l
n
+
P
n
,
λ
P
n
=
- - - - - -
R
B
n
2
+
3
我
B
n
2
- - - - - -
ω
问
n
- - - - - -
ϵ
问
n
+
1
- - - - - -
2
问
n
+
问
n
- - - - - -
1
- - - - - -
2
R
B
n
我
B
n
+
γ
P
n
- - - - - -
l
n
,
λ
问
n
=
3
R
B
n
2
+
我
B
n
2
- - - - - -
ω
P
n
+
ϵ
P
n
+
1
- - - - - -
2
P
n
+
P
n
- - - - - -
1
+
2
R
B
n
我
B
n
- - - - - -
γ
问
n
+
K
n
,这必须解决特征值吗<我nl我ne- - - - - -为mula>
λ
和相应的特征向量<我nl我ne- - - - - -为mula>
(
{
K
n
}
,
{
l
n
}
,
{
P
n
}
,
{
问
n
}
]
T
。的稳定矩阵特征值问题(
12)是真正的价值,<我nl我ne- - - - - -为mula>
λ
¯
和<我nl我ne- - - - - -为mula>
- - - - - -
λ
也特征值和相应的特征向量<我nl我ne- - - - - -为mula>
(
{
K
n
¯
}
,
{
l
n
¯
}
,
{
P
n
¯
}
,
{
问
n
¯
}
]
T
和<我nl我ne- - - - - -为mula>
(
{
K
n
}
,
{
- - - - - -
l
n
}
,
{
P
n
}
,
{
- - - - - -
问
n
}
]
T
与<我nl我ne- - - - - -为mula>
γ
→
- - - - - -
γ
,分别。因此,我们可以得出结论,解决方案<我nl我ne- - - - - -为mula>
u
n
只有当(线性)是稳定的吗<我nl我ne- - - - - -为mula>
R
(
λ
)
=
0
所有特征值<我nl我ne- - - - - -为mula>
λ
。
我们提出了一个系统的方法来确定离散孤子的稳定性<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
对称耦合器通过计算相应的线性特征值问题的特征值使用渐近展开。我们已经将我们得到的分析结果与数值计算,获得良好的协议。的数字,我们还建立了不稳定的机制以及离散孤子的稳定性区域。在高维的应用方法<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
对称耦合器(见,例如,
32])是解决问题的一个自然延伸为未来的工作。此外,我们也解决特征值的计算离散孤子的破碎的附近<我nl我ne- - - - - -为mula>
P
T
对称作为未来的调查。
附录分析计算
就像前面提到的
4.2解决特征值问题(
12特征值和特征向量)分析我们扩大渐近
(.)
□
=
□
0
+
ϵ
□
1
+
ϵ
□
2
+
⋯
,与<我nl我ne- - - - - -为mula>
□
=
λ
,
K
n
,
l
n
,
P
n
,
问
n
。
执行扩张<我nl我ne- - - - - -为mula>
ϵ
,在<我nl我ne- - - - - -为mula>
O
(
ϵ
0
)
,我们获得以下方程组:
(a)
λ
0
v
_
n
0
=
γ
ω
- - - - - -
一个
n
0
2
0
- - - - - -
1
3
一个
n
0
2
- - - - - -
ω
γ
1
0
0
- - - - - -
1
k
1
k
2
1
0
k
3
- - - - - -
k
1
︸
米
0
v
_
n
0
,在哪里
(a)
v
_
n
j
=
K
n
j
l
n
j
P
n
j
问
n
j
,
k
1
=
- - - - - -
2
R
B
n
0
我
B
n
0
+
γ
,
k
2
=
ω
- - - - - -
R
B
n
0
2
- - - - - -
3
我
B
n
0
2
,
k
3
=
3
R
B
n
0
2
+
我
B
n
0
2
- - - - - -
ω
。
在<我nl我ne- - - - - -为mula>
O
(
ϵ
1
/
2
)
和<我nl我ne- - - - - -为mula>
O
(
ϵ
1
)
,我们获得
(各)
λ
0
v
_
n
1
=
米
0
v
_
n
2
- - - - - -
λ
1
v
_
n
0
,
(本)
λ
0
米
0
=
米
0
v
_
n
2
- - - - - -
λ
1
v
_
n
1
- - - - - -
λ
2
v
_
n
0
+
0
2
1
- - - - - -
一个
n
0
一个
n
1
0
0
6
一个
n
0
一个
n
1
- - - - - -
2
0
0
0
0
0
k
4
2
+
k
5
0
0
k
6
- - - - - -
2
- - - - - -
k
4
︸
米
1
v
_
n
0
+
0
- - - - - -
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
- - - - - -
1
0
0
1
0
v
_
n
+
1
1
+
v
_
n
- - - - - -
1
1
,在哪里
(要求寄出)
k
4
=
- - - - - -
2
R
B
n
0
我
B
n
1
+
R
B
n
1
我
B
n
0
,
k
5
=
- - - - - -
2
R
B
n
0
R
B
n
1
+
3
我
B
n
0
我
B
n
1
,
k
6
=
2
3
R
B
n
0
R
B
n
1
+
我
B
n
0
我
B
n
1
。