一类Zakharov方程的新定期解决方案

抽象的

通过应用Jacobian椭圆函数方法，我们获得了一系列非线性Zakharov方程的周期性解决方案，其包含Klein-Gordon Zakharov方程，Zakharov方程和Zakharov-Rubenchik方程。

1.介绍

对于大多数非线性演化方程式，我们有许多方法可以获得它们的恰好解决方案，例如双曲函数扩展方法[1]，转化方法[2]试用方法方法[3.]中，自动化的方法[4.]，和扩展的tanh函数法[5.]。但这些方法只能获得孤波解，不能用于推断周期解。雅可比函数方法提供了一种方法找到一些非线性发展方程周期解。特别地，在等离子体物理理论，量子力学，流体力学，以及光纤通信的研究中，我们经常满足种Zakharov方程组的。

因此，在本文中，受到安格罗帕夫的作品的启发[6.]，我们担心获得一系列Zakharov方程的精确定期解决方案， 和Zakharov-Rubenchik方程式，

2. Klein-Gordon Zakharov方程的周期性解决方案

克莱因 - 戈登Zakharov方程用于显示朗缪尔波和离子波等离子体，其具有如下形式之间的相互作用： 在哪里表示电场中电子产生的最大矩刻度分量。表示在任意位置的离子之间并且在平衡位置的偏差的速度。

现在，我们假设它具有下列形式的孤立波解： 在哪里是旅行波速和是一个常数。

用（4.） 进入 （3.），我们可以得到

经过 （6.）， 我们有 在哪里那是集成常数。

在下文中，我们涉及（3.）;因此，我们需要要求。

所以， （7.） 暗示

此外，通过（8.） 和 （5.），我们有

乘法（9.） 经过并整合一次，我们得到 在哪里为非零积分常数。此外，那， 和满足以下条件：

以便 在哪里那那， 和是多项式的零点。没有失去泛，我们假设。因此，我们可以推断出;和满足

让那。因此， （12.）可以写成

此外，我们定义了一个新变量，满足那，通过关系;通过繁琐的计算，我们获得了这一点

然后我们获得

根据雅各比椭圆函数的定义，我们可以获得这一点。这里，。所以

通过返回到初始变量，我们得到的 是一种（10.）。

此外，具有基本周期;那是，， 和是第一类完全椭圆积分。所以dnoidal波解有基本时期，，给予

因此，通过应用雅可比椭圆函数的方法和安古洛帕瓦的思想的启发，我们得到（3.）具有以下形式的周期性旅行解决方案：

而且，和也可以作为以下形式重写：

此外，如果然后。因此， 以便。如果， 然后。因此， 以便。

接下来，我们将显示，对于任意但固定的那。我们可以得到，有一个独特的这样是DNOIDAL波解决方案的基本时期（18.）。

定理1。让是任意的但是固定的。考虑和独特的，这样。然后，存在一个间隔，间隔，以及独特的光滑功能这样和 在哪里那。

证明。思想的基础上在安古洛帕瓦的工作建立[6.]，我们将致以简要证明。现在，我们考虑开放式套装 我们定义经过 这里，。假设。在如下，我们将证明这一点。
从 （24.），我们可以获取 从，我们可以推断是的严格递减函数。
据雅可比椭圆函数理论[7.]， 我们有 这里，是第二种完整的椭圆形积分。
接下来，我们采取减少到荒谬的证明。现在，我们假设。所以，我们有以下不等式： 的确，取代（26.） 进入 （25.），并使用放大或缩小的方法，我们获得 从，我们很容易推断出来 因此， 让那。所以，是一种越来越多的功能。而且，那。
定义 由于那。
但是，由（27.）和一个简单的计算， 所以是减函数。此外，， 因此对于那。
它与我们的假设发生冲突。所以我们获得了我们的肯定。因此，由隐函数定理，存在唯一的平稳功能，在邻居中定义，的， 以便为了。因此，我们获得（22.）。

3. Zakharov方程的周期性解决方案

现在，我们考虑以下Zakharov方程： 其描述等离子体，其中的高频时刻表示离子数密度变化，表示的缓慢变化的幅度的电场强度，并。

我们寻求孤独的解决方案（34.）在表格中 在哪里和是真正的功能，是行驶速度，。

替代（35.） 进入 （34.），我们可以获取

经过 （36.），我们可以推断 这里，那是集成常数。

接下来，我们考虑的周期解（34.）。所以，我们需要要求。因此，由（38.）

此外，由（37.），我们可以获取

因此，通过（39.） 和 （40），（37.）可以被改写为：

乘法（41.） 经过并整合一次，我们得到 在哪里为非零积分常数。

因此， 这里，那那， 和是多项式根那， 和

让（认为） 和。因此， （43.）成为

现在，我们定义，所以我们得到了

让。根据Jacobian椭圆函数Sn的定义，我们可以获得。以便，。

所以，我们得到的溶液（41.）：

根据雅各比椭圆函数理论，有期，我们可以得到的椭圆余弦波解具有周期，其由下式给出

因此，我们可以得到的周期解（34.）：

此外，它遵循了， 我们有。

如果， 然后， 和那。此外，如果那。

接下来，我们将证明是为了任意但固定的，存在一个独特的这样是椭圆余弦波溶液的基本周期（47.）。所以，我们有以下定理。

定理2。让但固定。考虑和独特的这样。然后，存在内部大约，内部大约，以及独特的光滑功能这样和 在哪里那。

证明。证明类似于定理1。有关详细信息，请参阅定理1（也参见古洛帕瓦[6.那8.那9.]）。

4.周期解的Zakharov-Rubenchik方程

现在，我们考虑Zakharov-Rubenchik方程式： 其描述了小振幅阿尔芬波在等离子体中传播的动态。这里，表示的磁场，流体速度，和质量的密度。而且，那那那那那是真正的常数。

由oliveira激励[10.]，我们寻找的孤立波（51.）， 如下： 在哪里那， 和是真正的功能和表示旅行速度。

把（52.） 进入 （51.），从第二和第三等式（51.），我们可以推断

而且，从第一个方程（51.），我们可以获取 因此，通过（54.），它意味着

让并乘以（56.） 经过并整合一次，我们得到 在哪里那那那是多项式根源。而且，

让（认为） 和。因此， （57.）成为

现在，我们定义，所以我们得到了

让。根据Jacobin椭圆函数Sn的定义，我们可以获得。所以，。

所以，我们得到的溶液（56.）：

自从具有基本周期，我们可以获得该解决方案（61.）的基本周期，，这是

因此， （51.）有如下形式的周期解：

此外，从（58.）的定义， 它遵循

此外，如果那那。如果那那。

接下来，我们将证明对于任意但固定， 那里存在这样是椭圆余弦波溶液的基本周期（61.）。由安古洛帕瓦的结果的启发[6.，我们有以下定理。

定理3。为了任意和固定，考虑和独特的。然后，存在一个间隔大约，间隔大约，以及独特的光滑功能这样和 在哪里那。

证明。这个想法和方法类似于定理1。有关详细信息，请参阅定理1（也参见古洛帕瓦[6.那8.那9.]）。

五，结论

由安古洛帕瓦的想法启发，通过应用雅可比椭圆函数方法，我们已经得到了克莱因 - 戈登Zakharov方程，Zakharov方程和扎哈罗夫-Rubenchik方程的新周期波解。特别是（18.），（47.）， 和 （58.）没有在以前的工作中发现。该方法可以帮助寻找一类非线性方程的周期解。

利益争夺

作者宣布没有关于本条的出版物的利益冲突。

致谢

这项工作得到了吉林丛珠大学城学院的科学研究基础（2016002），NSFC授予（No.11322105，J1310022和11671071）和973个计划（No.200b821200和2013CB834102）。