爱因斯坦几何几何哲学与微分恒等式

摘要

爱因斯坦的几何化哲学，作为一种替代的最小作用原理，在构建广义相对论(GR)的重要性，被阐明。阐明了不同身份在这一哲学中的作用。给出了用比安奇恒等式写出GR场方程的方法。给出了绝对并行几何中另一个相似的恒等式。导出了参数化绝对并行几何中一个更一般的微分恒等式。讨论了上述身份及其在构建场理论中的作用之间的比较和相互关系。

1.介绍

在20世纪的第二个十年，爱因斯坦建立了一个成功的引力理论，广义相对论(GR) [1］．虽然一个动作原理后来被用来推导理论的方程，爱因斯坦已经使用几何化哲学来构建他的理论。这一哲学的其他原则之一是，自然法则只是所选几何中的不同恒等式。爱因斯坦当时使用的几何是黎曼几何，其中第二个比安奇恒等式是一个微分方程。这个等式可以用缩写形式写成 在哪里Einstein张灯，分号表示使用Christoffel符号（左侧的“点”（）的协方差（1)意味着当我们降低上下标时，它占据了“点”的位置)。爱因斯坦考虑过同一性(1)作为物质和能量守恒定律的几何表示 在哪里是描述材料能量分布的对称二阶张量。逗号中（2)表示对的偏微分．为了(2)来表示张量，爱因斯坦用分号代替了逗号，并把他理论的场方程写成 在哪里是一个转换常数。这说明了微分恒等式在GR构造中的重要性。

二十世纪第三个十年，爱因斯坦[2，3.]在试图构建统一重力和电磁的场论时，他使用了另一种类型的几何，绝对平行(AP-)几何。它的特点是一个非对称的线性连接，Weitzenböck连接，曲率消失。经过长时间的讨论和爱因斯坦和卡坦的通信[4在三年多的时间里，爱因斯坦停止使用ap几何学，声称他的尝试并不成功。这种几何结构已经被忽视了大约20年，直到McCrea和Mikhail重新考虑它来处理物质的持续创造[5和建立一个稳态世界模型[6］．

在过去的六十年代，Dolan和McCrea（1963年，1973年的第一作者私人沟通）已经开发出一种变分方法，以获得利莫曼几何形状的基本身份，而不使用行动原则。不幸的是，这种方法虽然当在黎曼人之外的几何形状中被显示为重要性时，但该方法仍未发表。

20世纪70年代，ap几何在一定方向上的发展取得了两个重要的结果[7，8］．首先是使用双连接（转置的Weitzenböck连接），其同时具有非垂直的扭转和非衰变曲率。第二结果是通过开发Dolan-McCrea方法以适应其双连接的AP空间来获得的AP几何体中的差分标识。获得的身份可以用形式写入 中风的地方“和"−"符号用来表示用对偶连接和的协变微分是在ap -几何中定义的二阶非对称张量[7］ 在哪里是拉格朗日密度的哈密顿导数吗关于构建块（BB）AP-geometry和的行列式（关于AP几何的更多细节在下一节中给出）。

值得注意的是，身份(4)是Bianchi恒等式(1AP-geometry)。爱因斯坦张量在riemannian几何中唯一定义并不是ap几何中唯一定义的。后者取决于拉格朗日密度的选择在ap几何中有很多形式。已经建立了一些场论[7，9，10.]，运用几何化哲学和同一性(4）.在这些理论中获得了许多成功的应用程序[11.- - - - - -17.］．

在二十世纪的最后十年中，由于AP几何形状的另一个发展，已经获得了另一个重要结果。已经发现AP-Geometry承认隐藏参数[18.］．这是巴赞斯基的方法[19.]当应用于AP几何体时，它导致了上述隐藏参数。此隐藏参数的泛化引起了称为参数化绝对并行性（PAP-）几何的AP几何形状的修改版本[20.，21］．

在过去的十年左右，AP几何形状在构建所谓的田间方程方面取得了很多关注理论及其应用（C.F. [22- - - - - -24])。标量是一个扭转标量，表征GR的遥理等效项。已经表明，许多其他标量可以在AP - 几何和其不同的版本中定义。这些标量已被用于构造具有GR限制的若干字段理论[7，9，10.，25- - - - - -27］．

本文的目的是找出pp -几何中的微分恒等式，并研究它们与pp -几何中的相似恒等式(4)和黎曼几何(1）.因此，我们简要介绍了下一部分的Pap-Geometry。在部分3.，我们应用pp -几何中Dolan-McCrea变分方法的一个改进版本，得到所承认的恒等式的一般形式。在部分4，我们给出了黎曼几何、ap几何和pa几何恒等式之间的相互关系。我们讨论了所得的结果，并在第一部分作了总结5．

2.pp -几何的简要回顾

在本节中，我们将给出本工作所必需的papi -几何的基本数学机制和公式。欲知详情，请参阅[20.，21]及其中的参考文献。

如部分所述1，已显示[18.传统的ap-geometry承认隐藏的跳跃参数。使用Bazanski方法时已发现此参数[19.]推导路径和路径偏差方程。该参数的重要性是，除其他外，其价值将跳跃一半的步骤，这已经诱惑在应用中使用时显示与某些量子现象的关系。此参数在传统的AP几何中没有明确的外观。这激励作者在文献中已知的Pap-Geometry中已知的AP几何形状的修改版本中提供了显式外观。

ap空间是一对,在那里是光滑的流形和是独立的全球矢量字段 上．欲知详情，请参阅[28- - - - - -32］．一个ap空间允许至少四个自然(“自然”意味着考虑的几何物体是由建筑块构建的仅)线性连接:Weitzenböck连接 它的对偶(或调换)连接 （6） 以及利维和奇维塔之间的联系 与度规相关．

需要注意的是，所有这些线性连接都有非消失的曲率，除了(6）.在这些连接中，唯一同时具有非消失的扭转和非消失的曲率的连接是双重连接(7）.为了概括这些连接并给出上述跳跃参数的显式外观，我们将这些连接线性组合为对象(，，， 和是参数）： 将线性连接的一般坐标变换强加于(10.),使用(6) - (9)，则上述4个参数减少为1个参数，这导致 在哪里是ap -几何的扭曲。连接(11.)将被称为参数化规范连接。它是非对称的，具有非消失曲率;也就是说，它属于Riemann-Cartan型。此外，它是一个度量连接[20.］．

的参数是一个无量纲参数。对于一些几何和物理原因[21]，此参数建议具有此形式 在哪里是一个自然的数量取得价值；为精细结构常数;和是被考虑系统的一个由实验或观测确定的无量纲参数。参数的显式外观在 （11.)产生了pap几何的以下优点:（1）如果是,(11.)减少到Weitzenböck连接(6)。（2）如果是， 联系 （11.)减少为Levi-Civita连接(9）.（3）之间的限制和，存在离散的空间谱（由于存在在 （12.)，每一个都同时具有不消失的曲率和扭转。

下面，我们将修饰包含参数的张量由星星。此外，这些张量将保留相同的名称，如在传统的ap-几何形状中，前面是形容词“参数化”。例如，参数化扭曲由 参数化连接的扭转(11.)由 在哪里是AP几何的扭转。此外，参数化的基本形式可以通过收缩来获得（13.)或(14.)： 需要注意的是，星状天体与常规ap -几何中定义的对应的非星状天体具有相同的对称性。

现在，既然参数化了规范连接不对称，可以定义另外两个线性连接：参数化双（转置）连接 参数对称连接 因此,使用(11.), (16.)和(17.)，则分别定义协变导数: 对于任意向量．

值得注意的是，PAP几何的BB与AP几何形状相同。换句话说，参数对几何的BB没有影响。

3. Pap-Geometry中的Dolan-Mccrea变分方法

我们将应用Dolan-McCrea变分方法来获得微分恒等式。这种方法是最小动作方法的替代方法。它最初是在1963年提出的，用于推导Bianchi和黎曼几何中的其他恒等式。它已被推广[7]到AP-geometry，用于导出恒等式(4）.在这里，我们将这种方法推广到papi -几何，给出一些细节，因为它不被广泛了解。

如上所述，pp -几何的BB与ap -几何的BB相同，我们定义拉格朗日函数 从PAP的BB构建，，以及它的一阶和二阶导数。因此，我们可以将标量密度写成: 在哪里是标量拉格朗日密度和．现在，让我们假设下面的积分，定义在任意点上维空间域， 在无限的转换下是不变的 在哪里是一个无限的参数和是1-forms上定义．让是-空格使讨论区内附．因此, 在哪里 假设和在所有点消失,然后 在哪里是价值在．现在,可以用泰勒展开式写成 使用 （26)和(27)，通过分部积分法，经过一些处理后，可以证明(26)可以写成 在哪里哈密顿导数是由什么定义的 考虑一组新的坐标与之相关由转型制定 在哪里向量场的所有点都消失了吗和独立于．我们可以写 自从一个向量，它的变换定律是什么 用(32）进入上面的等式，我们得到了 用(32)再代入上述方程得到 最后，这个方程可以写成 用(36) (30.),我们得到 因此，我们可以写 则上述矩阵的雅可比矩阵表达式为 因为两者的差异和会是秩序如（36）.

现在,我们表达而言,以两种不同的方式：(我)利用向量变换定律: （ii）利用泰勒展开: 我们在方程右边的第二项中省略了条棒因为差值是有序的．比较(40)和(41)及使用(22),我们得到 在哪里 还有双冲程算子"“由（18.）.

现在，我们用上面提到的两种不同的方法来处理拉格朗日密度。

(a)利用泰勒展开式， 同样，我们在方程右边的第二项中去掉了条棒，因为差值是有序的．

拉格朗日密度在 （44)意味着

(b)使用标量变换， 然后,使用(20.)和(39),我们得到 比较(44)和(47),我们有

由(46),我们得到 应用Gauss的定理将卷的整体转换为（-space）到曲面整体（-space)，积分消失为消失在所有的点．现在，我们可以写 在哪里单位向量是法向量吗．

所以， （50)表明, 用(42) (45),我们得到 使用 （25)， 然后，我们可以写(52） 作为 比较(26), (28)和(55)意味着 用(43) (56）， 我们写 让 积分恒等式(57然后变成了

现在，第一项的积分可以这样处理: 因此，整体的身份（59)读 自从和是一个任意矢量字段。使用变异微积分的基本引理[33]，括号中的表达式完全消失。因此,我们有 使用 （11.), (18.)和(58），经过一些操纵，身份（62)可以写成 这是表征pap几何的微分恒等式。

4.差异标识之间的关系

三个微分恒等式，(1)， (4)，以及(63）Pap-Geometry是相关的。这个想法来自一般线性连接（11.)减少到Weitzenböck连接(6）AP空间和Live-Civita连接(9的黎曼空间．注意，上面提到的三个恒等式都是使用线性连接的导数。下面两个结果将这些恒等式联系起来。

定理1。如果一个2阶张量在pa空间上吗，就有了身份 因此，如果(黎曼情况)或者是对称的吗

证明。使用参数化双连接的定义,我们有 作为在第一对索引中是歪斜对称的，最后一词右侧右侧消失。因此，我们得到了 现在，考虑上述等式右边的最后一项: 的(64）跟随。
最后，很明显，如果,然后．另一方面，如果是对称的，那么这项呢自从以来消失是反对称的和．

定理2。如果一个2阶张量在pa空间上吗，就有了身份 因此，如果(美联社案例)或是对称的吗

以上两个定理隐含了下面的结果。

推论3。（a）对于一个对称的张量，一个来自(64)和(69） （b）在riemananian案例中，张量定义为(5）（使用拉格朗日函数中的RICCI标量）与爱因斯坦张量一致;然后， 因此，对于任意对称张量(5),有 分别在AP-和pa -空间中。

5.讨论和结束言论

在本文中，我们利用Dolan-McCrea变分方法推导出了pp -几何中可能的微分恒等式。这项工作对于物理应用的重要性可以从以下几点进行讨论:（1）众所周知，可以使用以下方法之一获得GR的现场方程：（一种）在爱因斯坦方法中，几何化哲学在构建理论的场方程中起着主要作用。这一哲学的原则之一是自然法则只是一个适当几何中的微分恒等式。爱因斯坦用这个原理写出了他的场方程。换句话说，他用黎曼几何的第二个比安奇恒等式来构造他的理论的场方程。（b）希尔伯特方法，其中的标准方法的理论物理，作用原理，已被用来推导的场方程的理论。应注意，第一方法能够构建完整的理论，不仅是理论的现场方程。这将在以下几点讨论。（2）爱因斯坦的几何化哲学可以概括为如下[34]：“要了解自然，一个人必须开始几何最后讲物理。”在应用这一哲学时，我们必须考虑其主要原则:（一种）几何对象和物理量之间存在一对一的对应关系。（b）所选几何图形中的曲线(路径)是测试粒子的轨迹。(c)不同的恒等式代表自然法则。鉴于上述原理，爱因斯坦使用了Riemannian几何形状来构造一个完整的重力理论，分别是指数和曲率张量代表重力电位和强度。他还使用了测地方程来表示引力场中的运动。最后，他使用了Bianchi标识来写出GR的现场方程。上述哲学可以应用于除Riemannian之外的任何几何结构。它已成功应用于传统的AP几何体（CF. [7，9，10.])，使用微分恒等式(4）.Pap-Geometry比riemannian和传统的ap-geometry更普遍。它显示在部分2pa -geometry简化为AP-geometry到黎曼几何．换句话说，后两种几何是pa -几何的特殊情况。参数的重要性已在许多论文中进行了研究。35，36])。该参数的值是从三个不同的实验结果中提取出来的[35，37，38］．获取的值(）显示地球附近的时空既不是riemananian（）或常规AP（）.（3）为了使用Pap-Geometry作为构建田间理论的介质，应考虑以上三个原则。几何图形的曲线（路径）已派生[20.]，用来描述自旋粒子的运动[37，39］．几何物体已被用来表示物理量通过构建的场论[25，26］．目前的工作是作为一个步骤完成几何化哲学在papi -几何的使用。这一几何特征的微分恒等式的一般形式在第一部分中得到3.．这将有助于为几何物体赋予物理属性，特别是守恒。这将在下一点讨论。(4）从部分中给出的两个定理获得的结果4特别重要。从（71), (72)和(73)定义的任何对称张量5)则视乎类型的不同而定(72）.这个结果与参数的值无关．对于任意对称张量(5)在pap几何中，我们有 由于参数化连接的结构(11.),张量可以始终以表格写成 在哪里爱因斯坦张量是由(9）像往常一样是一个二阶对称张量，当时消失．因此，身份（74)可以写成 由于比安奇恒等式，第一项消失了，我们得到恒等式 这意味着由是守恒的任何场论构造在papi -几何。身份(77)是一个独立于任何这样的场论的papi几何的同一性。张在任何用PAP-geometry构造的场论中，通常用作物质-能量分布的几何表示[25，26］．(5）最后，在pap -几何环境下构建的任何场论都保证下列性质:（一种）GR的理论及其所有的结果，都可以在采取．（b）作为参数化连接(11.)为度规，沿pap -几何曲线的运动[20.保持重力势。(c)我们总是可以用几何的BB来定义一个几何物质能量张量。(d)任何这类理论都没有违反守恒定律。

利益争夺

作者们宣称他们没有相互竞争的利益。

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