AMPgydF4y2Ba 数学物理的发展gydF4y2Ba 1687 - 9139gydF4y2Ba 1687 - 9120gydF4y2Ba Hindawi出版公司gydF4y2Ba 10.1155 / 2016/1037849gydF4y2Ba 1037849gydF4y2Ba 研究文章gydF4y2Ba 爱因斯坦在PAP-Geometry哲学和微分几何化的身份gydF4y2Ba http://orcid.org/0000 - 0001 - 8423 - 352 xgydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba http://orcid.org/0000 - 0001 - 7578 - 9147gydF4y2Ba 优素福gydF4y2Ba 纳比尔·L。gydF4y2Ba 2、3gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba El HanafygydF4y2Ba W。gydF4y2Ba 2、4gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba http://orcid.org/0000 - 0002 - 4353 - 5836gydF4y2Ba 奥斯曼gydF4y2Ba s . N。gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 德莱昂gydF4y2Ba 曼努埃尔gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 天文学部门gydF4y2Ba 理学院gydF4y2Ba 开罗大学gydF4y2Ba 吉萨gydF4y2Ba 埃及gydF4y2Ba cu.edu.eggydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 埃及相对论组gydF4y2Ba 开罗大学gydF4y2Ba 吉萨12613gydF4y2Ba 埃及gydF4y2Ba cu.edu.eggydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 数学系gydF4y2Ba 理学院gydF4y2Ba 开罗大学gydF4y2Ba 吉萨gydF4y2Ba 埃及gydF4y2Ba cu.edu.eggydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 理论物理中心gydF4y2Ba 英国大学在埃及gydF4y2Ba 邮政信箱43gydF4y2Ba 11837年开罗gydF4y2Ba 埃及gydF4y2Ba bue.edu.eggydF4y2Ba 2016年gydF4y2Ba 28gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba 2016年gydF4y2Ba 2016年gydF4y2Ba 08年gydF4y2Ba 05年gydF4y2Ba 2016年gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba 2016年gydF4y2Ba 2016年gydF4y2Ba 版权©2016年麻省理工学院歌曲名等。gydF4y2Ba 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。gydF4y2Ba

爱因斯坦的几何化哲学的重要性,作为一个替代最小作用原理,在构建广义相对论(GR),是照亮。鉴别身份的角色在这个哲学是澄清。比安奇的身份写的使用GR的场方程。另一个类似的身份绝对并行几何。一个更一般的微分参数化的绝对并行几何推导出身份。上述身份之间比较和相互关系和他们的角色在建设领域的理论进行了讨论。gydF4y2Ba

 1。介绍gydF4y2Ba

在二十世纪的第二个十年,爱因斯坦建立一个成功的重力理论,广义相对论(GR) [gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba]。虽然作用原理已经使用后获得的方程理论,爱因斯坦在构建他的理论用几何化的哲学。在其他原则的哲学是自然法则只是选择几何微分恒等式。当时使用的几何爱因斯坦黎曼几何,第二个比安奇的身份是一个微分。这个身份可以用其简约的形式写的gydF4y2Ba (1)gydF4y2Ba GgydF4y2Ba ·gydF4y2Ba αgydF4y2Ba βgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba αgydF4y2Ba ≡gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba GgydF4y2Ba αgydF4y2Ba βgydF4y2Ba 是爱因斯坦张量和分号表示协变微分使用克里斯托费尔符号(左边的“点”(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba)意味着当我们降低上标,它占据了“点”的位置)。爱因斯坦被认为是身份(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba)的几何表示物质和能量守恒定律写成gydF4y2Ba (2)gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ·gydF4y2Ba αgydF4y2Ba βgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba αgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba TgydF4y2Ba αgydF4y2Ba βgydF4y2Ba 是一个对称的二阶张量描述物质能量的分布。逗号(gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba)表示偏微分法对gydF4y2Ba xgydF4y2Ba αgydF4y2Ba 。为了(gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba)来表示一个张量,爱因斯坦已经取代这个逗号,分号,写了他的理论的场方程gydF4y2Ba (3)gydF4y2Ba GgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba =gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba κgydF4y2Ba TgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba κgydF4y2Ba 是一个转换常数。这表明微分身份构建GR的重要性。gydF4y2Ba

在二十世纪的第三个十年,爱因斯坦(gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba)使用另一种类型的几何,绝对并行性(美联社)几何,在他试图构造一个统一引力和电磁力场理论。它的特点是一个非对称线性连接,Weitzenbock连接,消失的曲率。经过长时间的讨论和a .爱因斯坦和大肠嘉当之间的通信gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba三年多来,爱因斯坦停止使用AP-geometry声称他的尝试并不成功。这个几何已经被忽视了二十年,直到麦克雷博士和米哈伊尔·重新考虑它治疗连续创造的物质(gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba)和世界建立稳态模型(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

在过去的一个世纪的六十年代,多兰和麦克雷博士(1963年,私人通信1973年第一作者)已经开发出一种变分法得到基本的身份在黎曼几何,不使用一个行动的原则。不幸的是,这种方法并不是出版虽然显示的重要性当应用于其他比黎曼几何图形。gydF4y2Ba

二十世纪的年代,两个重要的结果已经通过AP-geometry在一定方向发展(gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba]。第一个是使用双重连接(转置Weitzenbock连接),同时非零的扭力和非零的曲率。第二个结果是一个微分的身份,在AP-geometry,通过发展Dolan-McCrea方法适合AP-space双重连接。获得的身份可以书面形式gydF4y2Ba (4)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∣gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ≡gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 中风”gydF4y2Ba ∣gydF4y2Ba ”和“−”标志是用来表示使用双重连接和协变微分gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ·gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 是一个二阶非对称张量定义在AP-geometry的上下文(gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba]gydF4y2Ba (5)gydF4y2Ba λgydF4y2Ba EgydF4y2Ba ·gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba δgydF4y2Ba lgydF4y2Ba δgydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba λgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba δgydF4y2Ba lgydF4y2Ba /gydF4y2Ba δgydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 的哈密顿函数导数是拉格朗日密度吗gydF4y2Ba lgydF4y2Ba 关于构建块(BB)gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba AP-geometry和gydF4y2Ba λgydF4y2Ba 的决定因素gydF4y2Ba (gydF4y2Ba λgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba μgydF4y2Ba )gydF4y2Ba (更多细节AP-geometry给出下一节)。gydF4y2Ba

是指出身份(gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba)是一个泛化的比安奇身份(gydF4y2Ba 1gydF4y2BaAP-geometry)。爱因斯坦张量gydF4y2Ba GgydF4y2Ba ·gydF4y2Ba αgydF4y2Ba βgydF4y2Ba 独特的定义在黎曼几何gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ·gydF4y2Ba αgydF4y2Ba βgydF4y2Ba 不是唯一AP-geometry中定义。后者取决于拉格朗日密度的选择gydF4y2Ba lgydF4y2Ba 这在AP-geometry有多种形式。几个领域理论构造(gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba),使用几何化哲学和身份(gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba)。取得了许多成功的应用在这些理论(gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 17gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

在20世纪的最后十年,另一个重要的结果获得了另一个AP-geometry发展的结果。它已经发现AP-geometry承认一个隐藏的参数(gydF4y2Ba 18gydF4y2Ba]。这是Bazanski方法(gydF4y2Ba 19gydF4y2Ba),当应用于AP-geometry导致上述隐藏参数。这个隐藏的参数的概括了AP-geometry称为参数化修改版本绝对并行性(PAP)几何(gydF4y2Ba 20.gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 21gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

在过去的十年左右,AP-geometry获得了很多关注构建所谓的场方程gydF4y2Ba fgydF4y2Ba (gydF4y2Ba TgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 理论及其应用(出口的。gydF4y2Ba 22gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 24gydF4y2Ba])。标量gydF4y2Ba TgydF4y2Ba 是一个扭转标量描述teleparallel相当于GR。它已被证明可以定义其他标量AP-geometry及其不同的版本。这些标量用于构造几场理论与GR的限制(gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 25gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 27gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

现在的工作的目的是找出微分恒等式PAP-geometry和研究他们的关系类似身份AP-geometry (gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba)和黎曼几何(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba)。出于这个原因,我们简要回顾PAP-geometry在下一节。节gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba,我们申请的修改版本Dolan-McCrea变分法在PAP-geometry承认身份的一般形式。节gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba之间的相互关系,我们现在的身份在黎曼几何,AP-geometry, PAP-geometry。我们讨论的结果和给出一些结论部分gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

 2。简要回顾PAP-GeometrygydF4y2Ba

在本节中,我们将提供基本的数学机械和公式PAP-geometry目前工作所必需的。更多细节,读者被称为(gydF4y2Ba 20.gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 21gydF4y2Ba)和引用。gydF4y2Ba

就像前面提到的gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba,它已被证明gydF4y2Ba 18gydF4y2Ba]传统AP-geometry承认一个隐藏的跳跃参数。这个参数被发现当使用Bazanski方法(gydF4y2Ba 19gydF4y2Ba)获得路径和路径偏差方程。这个参数的重要性在于,除此之外,它的价值一步跳跃的1/2,一直想显示其与一些量子现象,当应用程序中使用。这个参数没有显式出现在传统AP-geometry。这促使作者给的参数显式出现在修改版本AP-geometry文献中称为PAP-geometry。gydF4y2Ba

一个AP-space是一对gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,在那里gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 是一个光滑流形,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 独立的全球向量场gydF4y2Ba λgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba )gydF4y2Ba 在gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 。更多细节,请参阅[gydF4y2Ba 28gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 32gydF4y2Ba]。AP-space承认至少有四个自然(“自然”意味着考虑几何对象构造的构建块gydF4y2Ba λgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba )线性连接:Weitzenbock连接gydF4y2Ba (6)gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba λgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba αgydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 其双重(或转置)连接gydF4y2Ba (7)gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba ~gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba αgydF4y2Ba νgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (对称的部分gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)gydF4y2Ba (8)gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba αgydF4y2Ba νgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 和Levi-Civita连接gydF4y2Ba (9)gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ggydF4y2Ba αgydF4y2Ba σgydF4y2Ba ggydF4y2Ba μgydF4y2Ba σgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ggydF4y2Ba νgydF4y2Ba σgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ggydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba σgydF4y2Ba 相关的指标gydF4y2Ba ggydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba λgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

要注意,所有这些线性连接有非零的曲率除了(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)。在这些关系中,唯一的连接,同时非零的扭转和非零的曲率是双重连接(gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba)。为了推广这些连接和给一个显式的上述跳跃参数,这些连接线性组合给对象(gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 参数):gydF4y2Ba (10)gydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba ~gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 上施加一个线性连接的一般坐标变换(gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba),使用(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba),以上4参数减少到一个参数gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ,从而导致gydF4y2Ba (11)gydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba =gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba γgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba γgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 是AP-geometry的扭曲。连接(gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba)将被称为参数化规范连接。它与非零的非对称弯曲;也就是说,它是Riemann-Cartan类型。此外,它是一个度量连接(gydF4y2Ba 20.gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

的参数gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 是一个无量纲参数。对于一些几何和物理原因(gydF4y2Ba 21gydF4y2Ba),这个参数是建议的形式gydF4y2Ba (12)gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba NgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba αgydF4y2Ba γgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba NgydF4y2Ba 是一个自然数的价值gydF4y2Ba 0 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ;gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 精细结构常数;和gydF4y2Ba γgydF4y2Ba 是一个无量纲参数可通过实验或观测系统考虑。参数的显式的外观gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 在(gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba)PAP-geometry产生下列优势:gydF4y2Ba

在的情况下gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,(gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba)降低Weitzenbock连接(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba传统AP-geometry)。gydF4y2Ba

在的情况下gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 、连接(gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba)降低Levi-Civita连接(gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

之间的限制gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,有一个离散谱的空间(由于的存在gydF4y2Ba NgydF4y2Ba /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 在(gydF4y2Ba 12gydF4y2Ba同时),每一种都有非零的曲率和挠率。gydF4y2Ba

在下面,我们将装饰包含参数的张量gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 由一个明星。此外,这些张量将保持相同的名称,如传统AP-geometry,之前这个形容词“参数化。“例如,给出了参数化的扭曲gydF4y2Ba (13)gydF4y2Ba γgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba =gydF4y2Ba bgydF4y2Ba γgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 参数化的扭力连接(gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba)是由gydF4y2Ba (14)gydF4y2Ba ΛgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba =gydF4y2Ba bgydF4y2Ba γgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba γgydF4y2Ba αgydF4y2Ba νgydF4y2Ba μgydF4y2Ba =gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ΛgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba ΛgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba AP-geometry的扭力。此外,可以通过收缩参数化的基本形式(gydF4y2Ba 13gydF4y2Ba)或(gydF4y2Ba 14gydF4y2Ba):gydF4y2Ba (15)gydF4y2Ba CgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba ΛgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba =gydF4y2Ba γgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba =gydF4y2Ba bgydF4y2Ba CgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 注意,主演对象有相同的对称性相应传统AP-geometry unstarred对象中定义的。gydF4y2Ba

现在,因为参数化规范连接gydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 非对称,可以定义两个线性关系:参数化双(转置)连接gydF4y2Ba (16)gydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ~gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba αgydF4y2Ba νgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 和参数化对称连接gydF4y2Ba (17)gydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba αgydF4y2Ba νgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 因此,使用(gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 17gydF4y2Ba),我们可以定义分别协变导数:gydF4y2Ba (18)gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba αgydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ·gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba νgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba αgydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ~gydF4y2Ba ·gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba νgydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba αgydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ·gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 对任意的向量gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba μgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

重要的是要注意,BB AP-geometry PAP-geometry是相同的。换句话说,参数gydF4y2Ba bgydF4y2Ba BB的几何没有影响。gydF4y2Ba

 3所示。在PAP-Geometry Dolan-McCrea变分法gydF4y2Ba

我们要应用Dolan-McCrea PAP-geometry变分法得到微分恒等式。该方法的另一种选择最少的动作方法。它最初于1963年提出的获得比安奇和其他身份在黎曼几何的上下文中。这是广义(gydF4y2Ba 7gydF4y2BaAP-geometry,用于获得身份(gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba)。这里,我们推广这个方法来PAP-geometry,给一些细节,因为它并不广为人知。gydF4y2Ba

如上所述,PAP-geometry的BB AP-geometry相同,让我们定义了拉格朗日函数gydF4y2Ba (19)gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba =gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba σgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 用PAP的BB,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,其第一和第二衍生品。因此,我们可以把标量密度如下:gydF4y2Ba (20)gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba σgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba λgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 是一个标量拉格朗日密度和gydF4y2Ba λgydF4y2Ba ≔gydF4y2Ba dgydF4y2Ba egydF4y2Ba tgydF4y2Ba (gydF4y2Ba λgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba μgydF4y2Ba )gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。现在,让我们假定下面的积分,在任意定义gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 维空间域gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (21)gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba xgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 无限小变换下是不变的吗gydF4y2Ba (22)gydF4y2Ba λgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ⟶gydF4y2Ba λgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba hgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 是无穷小参数和gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 1-forms上定义gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 。让gydF4y2Ba ΣgydF4y2Ba 是gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ngydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 讨论,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 讨论区gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba 内附gydF4y2Ba ΣgydF4y2Ba 。因此,gydF4y2Ba (23)gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba (24)gydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba dgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba dgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba dgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (25)gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba =gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba σgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba σgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 假设gydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 消失点gydF4y2Ba ΣgydF4y2Ba ,然后gydF4y2Ba (26)gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 的值是gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 在gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。现在,gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 可以编写,利用泰勒展开式,形式gydF4y2Ba (27)gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba =gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba σgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba σgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 使用(gydF4y2Ba 26gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 27gydF4y2Ba),通过分部积分,它可以显示,经过一些处理,(gydF4y2Ba 26gydF4y2Ba)可以写成gydF4y2Ba (28)gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba λgydF4y2Ba δgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba δgydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba δgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba /gydF4y2Ba δgydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 哈密顿导数定义的吗gydF4y2Ba (29)gydF4y2Ba δgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba δgydF4y2Ba λgydF4y2Ba βgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba λgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba λgydF4y2Ba βgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba γgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba λgydF4y2Ba βgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba γgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba γgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba σgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba λgydF4y2Ba βgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba γgydF4y2Ba σgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 考虑一个新的坐标gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba 有关gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 坐标系统的转换gydF4y2Ba (30)gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba μgydF4y2Ba =gydF4y2Ba xgydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba zgydF4y2Ba μgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba zgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 是一个向量场消失点的吗gydF4y2Ba ΣgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 是独立于gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 。我们可以写gydF4y2Ba (31)gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba νgydF4y2Ba =gydF4y2Ba δgydF4y2Ba νgydF4y2Ba μgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba νgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba zgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba σgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba σgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (32)gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba νgydF4y2Ba =gydF4y2Ba δgydF4y2Ba νgydF4y2Ba μgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba zgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba σgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba σgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 自gydF4y2Ba zgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 是一个向量,其转换法是什么gydF4y2Ba (33)gydF4y2Ba zgydF4y2Ba μgydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba νgydF4y2Ba zgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba νgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 用(gydF4y2Ba 32gydF4y2Ba)上面的方程,我们得到的gydF4y2Ba (34)gydF4y2Ba zgydF4y2Ba μgydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba δgydF4y2Ba νgydF4y2Ba μgydF4y2Ba zgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba νgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba zgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba νgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba zgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba σgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba σgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 用(gydF4y2Ba 32gydF4y2Ba)再到上面的方程gydF4y2Ba (35)gydF4y2Ba zgydF4y2Ba μgydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba μgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba zgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba νgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba zgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba σgydF4y2Ba δgydF4y2Ba νgydF4y2Ba σgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba zgydF4y2Ba σgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba αgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 最后,这个方程可以写成gydF4y2Ba (36)gydF4y2Ba zgydF4y2Ba μgydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba μgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba zgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba νgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba zgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 用(gydF4y2Ba 36gydF4y2Ba)(gydF4y2Ba 30.gydF4y2Ba),我们得到gydF4y2Ba (37)gydF4y2Ba xgydF4y2Ba μgydF4y2Ba =gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba μgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba zgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba μgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 因此,我们可以写gydF4y2Ba (38)gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba νgydF4y2Ba =gydF4y2Ba δgydF4y2Ba νgydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba zgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba νgydF4y2Ba =gydF4y2Ba δgydF4y2Ba νgydF4y2Ba μgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba zgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 然后,雅可比矩阵表达式可以作为上述矩阵gydF4y2Ba (39)gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba zgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba αgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba zgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba αgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 因为之间的区别gydF4y2Ba zgydF4y2Ba μgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba zgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba μgydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 将订单gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 如图所示(gydF4y2Ba 36gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

现在,我们表达gydF4y2Ba λgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 而言,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 在两种不同的方式:gydF4y2Ba

使用向量变换法:gydF4y2Ba (40)gydF4y2Ba λgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba μgydF4y2Ba λgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba δgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba λgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba λgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba zgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba μgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba λgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba μgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba

利用泰勒展开:gydF4y2Ba (41)gydF4y2Ba λgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba =gydF4y2Ba λgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba zgydF4y2Ba =gydF4y2Ba λgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba λgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba λgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba

我们已经把酒吧里第二项方程右边是将订单的差异gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。比较(gydF4y2Ba 40gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 41gydF4y2Ba)和使用(gydF4y2Ba 22gydF4y2Ba),我们得到gydF4y2Ba (42)gydF4y2Ba λgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba (43)gydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba λgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba μgydF4y2Ba +gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba =gydF4y2Ba λgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba +gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 和双中风运营商”gydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba ”被定义为(gydF4y2Ba 18gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

现在,我们将拉格朗日密度在上面提到的两种不同的方式。gydF4y2Ba

(一)利用泰勒展开式,gydF4y2Ba (44)gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba =gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba xgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba zgydF4y2Ba =gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba xgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba αgydF4y2Ba zgydF4y2Ba αgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ;gydF4y2Ba 我们也放弃了酒吧里第二项方程右边是将订单的差异gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

拉格朗日密度gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba (gydF4y2Ba xgydF4y2Ba )gydF4y2Ba 在(gydF4y2Ba 44gydF4y2Ba)意味着gydF4y2Ba (45)gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ≡gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba λgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba σgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

(b)使用标量变换,gydF4y2Ba (46)gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba =gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba =gydF4y2Ba λgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba λgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba ;gydF4y2Ba 然后,使用(gydF4y2Ba 20.gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 39gydF4y2Ba),我们得到gydF4y2Ba (47)gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba =gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba xgydF4y2Ba zgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba αgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 比较(gydF4y2Ba 44gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 47gydF4y2Ba),我们有gydF4y2Ba (48)gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba xgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba xgydF4y2Ba zgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba αgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

由(gydF4y2Ba 46gydF4y2Ba),我们得到gydF4y2Ba (49)gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (50)gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba xgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba xgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba xgydF4y2Ba zgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba αgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 应用高斯定理将体积积分gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba (gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 讨论)表面积分gydF4y2Ba ΣgydF4y2Ba (gydF4y2Ba (gydF4y2Ba ngydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba )gydF4y2Ba 讨论),积分就消失了gydF4y2Ba zgydF4y2Ba αgydF4y2Ba 消失点gydF4y2Ba ΣgydF4y2Ba 。现在,我们可以写gydF4y2Ba (51)gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba xgydF4y2Ba zgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba αgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΣgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba xgydF4y2Ba zgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ngydF4y2Ba αgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∮gydF4y2Ba ΣgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba xgydF4y2Ba zgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ngydF4y2Ba αgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ΣgydF4y2Ba ≡gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba ngydF4y2Ba αgydF4y2Ba 是一个单位向量正常吗gydF4y2Ba ΣgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

所以,(gydF4y2Ba 50gydF4y2Ba)表明,gydF4y2Ba (52)gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba xgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba xgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 用(gydF4y2Ba 42gydF4y2Ba)(gydF4y2Ba 45gydF4y2Ba),我们得到gydF4y2Ba (53)gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba σgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba νgydF4y2Ba σgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 使用(gydF4y2Ba 25gydF4y2Ba),gydF4y2Ba (54)gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ¯gydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ;gydF4y2Ba 然后,我们可以写(gydF4y2Ba 52gydF4y2Ba),gydF4y2Ba (55)gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba xgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba xgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba OgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 比较(gydF4y2Ba 26gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba 28gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 55gydF4y2Ba)意味着gydF4y2Ba (56)gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba λgydF4y2Ba δgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba δgydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba ≡gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 用(gydF4y2Ba 43gydF4y2Ba)(gydF4y2Ba 56gydF4y2Ba),我们写gydF4y2Ba (57)gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba λgydF4y2Ba δgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba δgydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba λgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba +gydF4y2Ba δgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba δgydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba ≡gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 让gydF4y2Ba (58)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba δgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba δgydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba λgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba λgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ≝gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba δgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba δgydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 积分身份(gydF4y2Ba 57gydF4y2Ba),那么就gydF4y2Ba (59)gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba λgydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba ≡gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

现在,第一项的积分可以治疗如下:gydF4y2Ba (60)gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba λgydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba λgydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba λgydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba λgydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba μgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba λgydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∮gydF4y2Ba ΣgydF4y2Ba λgydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ngydF4y2Ba μgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ΣgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba λgydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba λgydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 因此,积分身份(gydF4y2Ba 59gydF4y2Ba)读gydF4y2Ba (61)gydF4y2Ba ∫gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba λgydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba +gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba dgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba ≡gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 自gydF4y2Ba λgydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba zgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 是一个任意的向量场。利用微积分的基本引理的变异(gydF4y2Ba 33gydF4y2Ba),括号中的表达式消失相同。因此,我们有gydF4y2Ba (62)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba +gydF4y2Ba λgydF4y2Ba μgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ≡gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 使用(gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba 18gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 58gydF4y2Ba),经过一些处理,身份(gydF4y2Ba 62年gydF4y2Ba)可以写成gydF4y2Ba (63)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba =gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba bgydF4y2Ba EgydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba γgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 这是微分描述PAP-geometry身份。gydF4y2Ba

 4所示。微分身份之间的关系gydF4y2Ba

三个微分恒等式,(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba黎曼几何),(gydF4y2Ba 4gydF4y2BaAP-geometry), (gydF4y2Ba 63年gydF4y2BaPAP-geometry),将相关。这个想法来自这样一个事实:一般线性连接(gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba)降低Weitzenbock连接(gydF4y2Ba 6gydF4y2BaAP-space的)gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 和Live-Civita连接(gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba黎曼空间)gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。注意提到的三个身份是衍生品使用线性连接的。以下两个结果把这些身份联系起来。gydF4y2Ba

定理1。gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 是在PAP-space二阶张量的gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,然后一个身份gydF4y2Ba (64)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba =gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba μgydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba γgydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 因此,如果gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba (黎曼的情况下)或gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 是对称的,一个人吗gydF4y2Ba (65)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba =gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba μgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba

使用参数化的双重连接的定义gydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba ~gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,我们有gydF4y2Ba (66)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba =gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba αgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∇gydF4y2Ba μgydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba =gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba bgydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba γgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba αgydF4y2Ba νgydF4y2Ba μgydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba αgydF4y2Ba νgydF4y2Ba γgydF4y2Ba μgydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 作为gydF4y2Ba γgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba σgydF4y2Ba 是第一双斜对称的指标,右边的上学期就消失了。因此,我们得到gydF4y2Ba (67)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba =gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba bgydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba γgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 现在,考虑上面的最后一项右边的身份:gydF4y2Ba (68)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba γgydF4y2Ba αgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba =gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba δgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba αgydF4y2Ba γgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba =gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ggydF4y2Ba αgydF4y2Ba βgydF4y2Ba ggydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba βgydF4y2Ba γgydF4y2Ba ϵgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba =gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba βgydF4y2Ba γgydF4y2Ba βgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba =gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba βgydF4y2Ba γgydF4y2Ba μgydF4y2Ba βgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 的(gydF4y2Ba 64年gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

最后,显然,如果gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,然后gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba =gydF4y2Ba EgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba μgydF4y2Ba 。另一方面,如果gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 是对称的,那么这个词gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba γgydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 消失以来gydF4y2Ba γgydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 是反对称的gydF4y2Ba μgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

 定理2。gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 是在PAP-space二阶张量的gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba )gydF4y2Ba ,然后一个身份gydF4y2Ba (69)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba =gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∣gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba γgydF4y2Ba μgydF4y2Ba αgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 因此,如果gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba (美联社)或gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 是对称的,一个人吗gydF4y2Ba (70)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba =gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∣gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

上面的两个定理意味着下面的结果。gydF4y2Ba

推论3。gydF4y2Ba

(一)对称张量gydF4y2Ba EgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,(gydF4y2Ba 64年gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 69年gydF4y2Ba)gydF4y2Ba (71)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba =gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∣gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba =gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba μgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 黎曼(b)的情况下,张量gydF4y2Ba EgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 定义为(gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba)(使用拉格朗日函数的里奇标量)伴随着爱因斯坦张量;然后,gydF4y2Ba (72)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ≡gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 因此,对于任何对称张量定义为(gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba),有gydF4y2Ba (73)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∣gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ≡gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ∥gydF4y2Ba μgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba ≡gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 分别在美联社和PAP-spaces。gydF4y2Ba

 5。讨论和结论gydF4y2Ba

在目前的工作中,我们使用Dolan-McCrea变分方法推导可能在PAP-geometry微分恒等式。这对于物理应用程序工作的重要性可以讨论以下几点:gydF4y2Ba

众所周知,GR的场方程可以获得使用下列方法之一:gydF4y2Ba

爱因斯坦方法,几何化的哲学在构建中扮演主要角色的场方程理论。这种哲学的原则之一是“gydF4y2Ba 自然法则是微分的身份在一个适当的几何形状。gydF4y2Ba“爱因斯坦已经利用这一原则写他的场方程。换句话说,他已经使用第二个比安奇身份场方程的黎曼几何构造他的理论。gydF4y2Ba

希尔伯特的方法,在理论物理的标准方法,作用原理,被用来推导理论的场方程。gydF4y2Ba

要注意,第一种方法可以构建一个完整的理论,不仅是理论的场方程。这将在下面讨论。gydF4y2Ba

爱因斯坦几何化哲学可以概括如下(gydF4y2Ba 34gydF4y2Ba]:gydF4y2Ba

“理解gydF4y2Ba 自然gydF4y2Ba,人们就开始了gydF4y2Ba 几何gydF4y2Ba与物理和结束。”gydF4y2Ba

在应用这种哲学,必须考虑其主要原则:gydF4y2Ba

有一个几何对象和物理量之间的一一对应。gydF4y2Ba

选择几何中曲线(路径)测试粒子的轨迹。gydF4y2Ba

微分的身份代表自然法则。gydF4y2Ba

鉴于上述原则,爱因斯坦黎曼几何构造一个完整的理论用于重力,GR,度量和曲率张量表示引力势和力量,分别。他还使用了测地线在引力场方程来表示运动。最后,他用比安奇的身份写GR的场方程。gydF4y2Ba

上述哲学可以应用于任何其他比黎曼几何结构。它已经成功应用在常规AP-geometry (cf的背景下。gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba]),使用微分身份(gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

PAP-geometry比黎曼和传统AP-geometry更普遍。这是部分所示gydF4y2Ba 2gydF4y2BaAP-geometry PAP-geometry降低gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 和黎曼几何gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。换句话说,后两个几何图形是PAP-geometry的特殊情况。参数的重要性gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 已经在许多研究论文(cf。gydF4y2Ba 35gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 36gydF4y2Ba])。该参数的值提取从三个不同的实验的结果gydF4y2Ba 35gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 37gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 38gydF4y2Ba]。获得的价值(gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba )显示地球附近的时空不是黎曼(gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 据美联社()和常规gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba )。gydF4y2Ba

使用PAP-geometry作为建设领域的媒介理论,上述三个原则是要考虑。曲线(路径)的几何派生(gydF4y2Ba 20.gydF4y2Ba),用来描述旋转的粒子的运动gydF4y2Ba 37gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 39gydF4y2Ba]。几何对象被用来表示物理量通过构造场理论(gydF4y2Ba 25gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 26gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

目前的工作是作为一个步骤完成在PAP-geometry使用几何化的哲学。一般形式的微分身份得到该几何描述部分gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba。这将有助于将几何对象的物理特性,特别是保护。这将是讨论的下一个点。gydF4y2Ba

给出的两个定理的结果部分gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba是特别重要的。很明显(gydF4y2Ba 71年gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba 72年gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 73年gydF4y2Ba),任何对称张量定义为(gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba微分的身份类型()是主题gydF4y2Ba 72年gydF4y2Ba)。这个结果是独立的参数的值gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

现在,对于任何对称张量定义为(gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba我们在PAP-geometry),gydF4y2Ba (74)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ≡gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

由于参数化结构的连接(gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba),张量gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 总是可以书面形式gydF4y2Ba (75)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba =gydF4y2Ba GgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba +gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba GgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 是爱因斯坦张量定义的(gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba像往常一样),gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 是一种二阶对称张量的消逝时gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。因此,标识(gydF4y2Ba 74年gydF4y2Ba)可以写成gydF4y2Ba (76)gydF4y2Ba GgydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba μgydF4y2Ba +gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ≡gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

作为第一项消失,由于比安奇的身份,那么我们的身份gydF4y2Ba (77)gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba ;gydF4y2Ba μgydF4y2Ba ≡gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

这意味着所代表的物理实体gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 在任何场理论建于PAP-geometry是守恒的。身份(gydF4y2Ba 77年gydF4y2BaPAP-geometry)是这样一个身份,独立于任何这样的场理论。张gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ∗gydF4y2Ba μgydF4y2Ba νgydF4y2Ba 通常是作为一个物质能量分布的几何表示在任何领域理论构造PAP-geometry [gydF4y2Ba 25gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 26gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

最后,以下属性是保证在任何领域理论构建的上下文中PAP-geometry:gydF4y2Ba

GR的理论,所有的后果,可以获得gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

参数化的连接(gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba)是度量,PAP-geometry的沿着曲线运动gydF4y2Ba 20.gydF4y2Ba保留了引力势。gydF4y2Ba

人们总是可以定义一个几何物质能量张量的BB的几何学。gydF4y2Ba

保护不被侵犯,在任何这样的理论。gydF4y2Ba

相互竞争的利益gydF4y2Ba

作者宣称没有利益冲突。gydF4y2Ba

 爱因斯坦gydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba 广义相对论的场方程gydF4y2Ba Sitzungsberichte der Preussischen发育der Wissenschaften-Physikalisch-mathematische KlassegydF4y2Ba 1915年gydF4y2Ba 844年gydF4y2Ba 847年gydF4y2Ba 爱因斯坦gydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba 黎曼几何与保持遥远的并行性的概念gydF4y2Ba Sitzungsberichte der Preussischen发育der Wissenschaften -报道mathematische KlassegydF4y2Ba 1928年gydF4y2Ba 217年gydF4y2Ba 221年gydF4y2Ba 爱因斯坦gydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba 新的可能性的统一场论万有引力和电gydF4y2Ba Sitzungsberichte der Preussischen发育der Wissenschaften -报道mathematische KlassegydF4y2Ba 1928年gydF4y2Ba 224年gydF4y2Ba 227年gydF4y2Ba DebevergydF4y2Ba R。gydF4y2Ba Elie嘉当和阿尔伯特。爱因斯坦字母绝对并行,1929 - 1932gydF4y2Ba 1979年gydF4y2Ba 普林斯顿大学出版社gydF4y2Ba 米哈伊尔•gydF4y2Ba f . I。gydF4y2Ba 相对论宇宙学和一些相关问题在广义相对论中[博士。论文)gydF4y2Ba 1952年gydF4y2Ba 伦敦大学gydF4y2Ba 麦克雷博士gydF4y2Ba w·H。gydF4y2Ba 米哈伊尔•gydF4y2Ba f . I。gydF4y2Ba Vector-tetrads和物质的创造gydF4y2Ba 英国伦敦皇家学会学报》上:数学,物理和工程科学gydF4y2Ba 1956年gydF4y2Ba 235年gydF4y2Ba 1200年gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba 22gydF4y2Ba 10.1098 / rspa.1956.0061gydF4y2Ba 米哈伊尔•gydF4y2Ba f . I。gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 一个广义场论我:场方程gydF4y2Ba 伦敦英国皇家学会学报》系列一:数学、物理和工程科学gydF4y2Ba 1977年gydF4y2Ba 356年gydF4y2Ba 1687年gydF4y2Ba 471年gydF4y2Ba 481年gydF4y2Ba 10.1098 / rspa.1977.0146gydF4y2Ba MR0469114gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 在宇宙学广义场理论及其应用[博士。论文)gydF4y2Ba 1975年gydF4y2Ba 开罗,埃及gydF4y2Ba 开罗大学gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 阿玛gydF4y2Ba 美国一个。gydF4y2Ba 时空结构和电磁gydF4y2Ba 现代物理快报gydF4y2Ba 2010年gydF4y2Ba 25gydF4y2Ba 20.gydF4y2Ba 1705年gydF4y2Ba 1721年gydF4y2Ba 10.1142 / s0217732310032883gydF4y2Ba MR2659486gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 77954189271gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 奥斯曼gydF4y2Ba s . N。gydF4y2Ba El-KholygydF4y2Ba r . I。gydF4y2Ba 统一原理和几何场论gydF4y2Ba 开放的物理gydF4y2Ba 2015年gydF4y2Ba 13gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 247年gydF4y2Ba 262年gydF4y2Ba 10.1515 / phy - 2015 - 0030gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84942943787gydF4y2Ba de SouzagydF4y2Ba r S。gydF4y2Ba OphergydF4y2Ba R。gydF4y2Ba 10的起源gydF4y2Ba15gydF4y2Ba-10年gydF4y2Ba16gydF4y2BaG磁场在中央引擎的伽马射线爆发gydF4y2Ba 宇宙论与天体粒子物理学杂志》上gydF4y2Ba 2010年gydF4y2Ba 2010年gydF4y2Ba 2、第二十二条gydF4y2Ba 10.1088 / 1475 - 7516/2010/02/022gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84856392099gydF4y2Ba de SouzagydF4y2Ba r S。gydF4y2Ba OphergydF4y2Ba R。gydF4y2Ba 强烈的磁场的起源在黑洞附近由于non-minimal gravitational-electromagnetic耦合gydF4y2Ba B物理快报gydF4y2Ba 2011年gydF4y2Ba 705年gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 292年gydF4y2Ba 293年gydF4y2Ba 10.1016 / j.physletb.2011.10.045gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 82555187789gydF4y2Ba MazumdergydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba 雷gydF4y2Ba D。gydF4y2Ba 控球对称解Mikhail-Wanas领域的理论gydF4y2Ba 国际理论物理学杂志》上gydF4y2Ba 1990年gydF4y2Ba 29日gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 431年gydF4y2Ba 434年gydF4y2Ba 10.1007 / BF00674443gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0005107831gydF4y2Ba 米哈伊尔•gydF4y2Ba f . I。gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 开斋节gydF4y2Ba a . M。gydF4y2Ba 宇宙磁场的理论解释gydF4y2Ba 天体物理学和空间科学gydF4y2Ba 1995年gydF4y2Ba 228年gydF4y2Ba 1 - 2gydF4y2Ba 221年gydF4y2Ba 237年gydF4y2Ba 10.1007 / BF00984977gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 34249758130gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 一个广义场论:带电球面对称的解决方案gydF4y2Ba 国际理论物理学杂志》上gydF4y2Ba 1985年gydF4y2Ba 24gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba 639年gydF4y2Ba 651年gydF4y2Ba 10.1007 / bf00670469gydF4y2Ba MR802379gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0141511822gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 在质量和电荷之间的关系:一个纯粹的几何方法gydF4y2Ba 国际几何方法在现代物理学杂志》上gydF4y2Ba 2007年gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 373年gydF4y2Ba 388年gydF4y2Ba 10.1142 / S0219887807002144gydF4y2Ba MR2343353gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 34447097270gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 阿玛gydF4y2Ba 美国一个。gydF4y2Ba 纯粹的几何方法的结构gydF4y2Ba 中部欧洲物理学杂志》上gydF4y2Ba 2013年gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 936年gydF4y2Ba 948年gydF4y2Ba 10.2478 / s11534 - 013 - 0278 - 1gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84885711157gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 梅gydF4y2Ba M。gydF4y2Ba KahilgydF4y2Ba m E。gydF4y2Ba 新路径绝对并行几何方程gydF4y2Ba 天体物理学和空间科学gydF4y2Ba 1995年gydF4y2Ba 228年gydF4y2Ba 1 - 2gydF4y2Ba 273年gydF4y2Ba 276年gydF4y2Ba 10.1007 / BF00984980gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 21844485136gydF4y2Ba BazanskigydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba 哈密顿雅可比测地线和测地线偏差的形式主义gydF4y2Ba 数学物理学报gydF4y2Ba 1989年gydF4y2Ba 30.gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 1018年gydF4y2Ba 1029年gydF4y2Ba 10.1063/1.528370gydF4y2Ba MR992573gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0000871698gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 引力场中旋转的粒子的运动gydF4y2Ba 天体物理学和空间科学gydF4y2Ba 1997/98gydF4y2Ba 258年gydF4y2Ba 1 - 2gydF4y2Ba 237年gydF4y2Ba 248年gydF4y2Ba 10.1023 /:1001747710135gydF4y2Ba MR1674062gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 参数化的绝对并行性:几何物理应用gydF4y2Ba 土耳其物理学杂志gydF4y2Ba 2000年gydF4y2Ba 24gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 473年gydF4y2Ba 488年gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0011901571gydF4y2Ba 纳什gydF4y2Ba g . g . L。gydF4y2Ba Kerr-NUT黑洞热力学在f (T)重力理论gydF4y2Ba 欧洲物理杂志》+gydF4y2Ba 2015年gydF4y2Ba 130年gydF4y2Ba 7日,第124条gydF4y2Ba 10.1140 / epjp i2015 - 15124 - 3gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84934289920gydF4y2Ba 纳什gydF4y2Ba g . g . L。gydF4y2Ba 一个球对称零四联球菌non-minimal torsion-matter耦合的延伸gydF4y2Ba fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba TgydF4y2Ba)重力gydF4y2Ba 天体物理学和空间科学gydF4y2Ba 2015年gydF4y2Ba 357年gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba 10.1007 / s10509 - 015 - 2385 - 5gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84929309111gydF4y2Ba 纳什gydF4y2Ba g . g . L。gydF4y2Ba El HanafygydF4y2Ba W。gydF4y2Ba 一个内置的通货膨胀gydF4y2Ba fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba TgydF4y2Ba)宇宙学gydF4y2Ba 欧洲物理期刊CgydF4y2Ba 2014年gydF4y2Ba 74年gydF4y2Ba 10日,第3099条gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 13gydF4y2Ba 10.1140 / epjc s10052 - 014 - 3099 - 5gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84919928000gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 卡迈勒gydF4y2Ba M . M。gydF4y2Ba 与曲率和anticurvature场理论gydF4y2Ba 高能物理的发展gydF4y2Ba 2014年gydF4y2Ba 2014年gydF4y2Ba 15gydF4y2Ba 687103年gydF4y2Ba 10.1155 / 2014/687103gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84935030372gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 优素福gydF4y2Ba n . L。gydF4y2Ba El-HanafygydF4y2Ba w·S。gydF4y2Ba 纯几何场论:描述重力和材料分布gydF4y2Ba https://arxiv.org/abs/1404.2485gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 优素福gydF4y2Ba n . L。gydF4y2Ba Sid-AhmedgydF4y2Ba a . M。gydF4y2Ba Teleparallel拉格朗日几何和统一场论gydF4y2Ba 经典和量子重力gydF4y2Ba 2010年gydF4y2Ba 27gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 045005年gydF4y2Ba 10.1088 / 0264 - 9381/27/4/045005gydF4y2Ba 米哈伊尔•gydF4y2Ba f . I。gydF4y2Ba 四分体向量场和通用化的相对论gydF4y2Ba Ain Shams科学通报gydF4y2Ba 1962年gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba 87年gydF4y2Ba 111年gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 绝对并行几何:发展、应用和存在的问题gydF4y2Ba 巴克乌Studii si Cercetari Stiintifice: Matematica大学gydF4y2Ba 2001年gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba 297年gydF4y2Ba 309年gydF4y2Ba 优素福gydF4y2Ba n . L。gydF4y2Ba 曾gydF4y2Ba w·A。gydF4y2Ba 一个全球绝对并行几何方法gydF4y2Ba 报告数学物理gydF4y2Ba 2013年gydF4y2Ba 72年gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 23gydF4y2Ba 10.1016 / s0034 - 4877 (13) 00016 - 5gydF4y2Ba MR3162651gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84893467104gydF4y2Ba 优素福gydF4y2Ba n . L。gydF4y2Ba Sid-AhmedgydF4y2Ba a . M。gydF4y2Ba 线性关系和曲率张量的几何可平行的集合管gydF4y2Ba 报告数学物理gydF4y2Ba 2007年gydF4y2Ba 60gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 39gydF4y2Ba 53gydF4y2Ba 10.1016 / s0034 - 4877 (07) 00020 - 1gydF4y2Ba MR2355464gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 35648976490gydF4y2Ba 优素福gydF4y2Ba n . L。gydF4y2Ba Sid-AhmedgydF4y2Ba a . M。gydF4y2Ba 扩展绝对并行几何gydF4y2Ba 国际几何方法在现代物理学杂志》上gydF4y2Ba 2008年gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 1109年gydF4y2Ba 1135年gydF4y2Ba 10.1142 / s0219887808003235gydF4y2Ba MR2469291gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 57349083079gydF4y2Ba 范冲击gydF4y2Ba B。gydF4y2Ba 微积分的变异gydF4y2Ba 2004年gydF4y2Ba 纽约,纽约,美国gydF4y2Ba 施普林格gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 宇宙的加速膨胀,扭转能量gydF4y2Ba 国际现代物理学杂志》上gydF4y2Ba 2007年gydF4y2Ba 22gydF4y2Ba 31日gydF4y2Ba 5709年gydF4y2Ba 5716年gydF4y2Ba 10.1142 / s0217751x07038943gydF4y2Ba MR2381652gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 38649123339gydF4y2Ba 苏萨gydF4y2Ba 答:一个。gydF4y2Ba •马卢夫gydF4y2Ba j . M。gydF4y2Ba Gravitomagnetic效应和spin-torsion耦合gydF4y2Ba 广义相对论和引力gydF4y2Ba 2004年gydF4y2Ba 36gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 967年gydF4y2Ba 982年gydF4y2Ba 10.1023 / B: GERG.0000018084.58267.b9gydF4y2Ba MR2042004gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 3543070589gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 重力和几何的另一边:反重力和anticurvaturegydF4y2Ba 高能物理的发展gydF4y2Ba 2012年gydF4y2Ba 2012年gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba 752613年gydF4y2Ba 10.1155 / 2012/752613gydF4y2Ba MR2989941gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 梅gydF4y2Ba M。gydF4y2Ba KahilgydF4y2Ba m E。gydF4y2Ba 量子干涉的热能中子和spin-torsion交互gydF4y2Ba 引力和宇宙学gydF4y2Ba 2000年gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba 319年gydF4y2Ba 322年gydF4y2Ba Zbl1009.83520gydF4y2Ba 毛gydF4y2Ba Y。gydF4y2Ba 铁马克gydF4y2Ba M。gydF4y2Ba 古思gydF4y2Ba a . H。gydF4y2Ba CabigydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba 重力探测器B的约束扭转gydF4y2Ba 物理评论DgydF4y2Ba 2007年gydF4y2Ba 76年gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba 104029年gydF4y2Ba 10.1103 / physrevd.76.104029gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 36248936494gydF4y2Ba 歌曲名gydF4y2Ba m . I。gydF4y2Ba 梅gydF4y2Ba M。gydF4y2Ba KahilgydF4y2Ba m E。gydF4y2Ba 早期:时序模型gydF4y2Ba 205年gydF4y2Ba 国际天文学联合会研讨会学报》上gydF4y2Ba 2001年gydF4y2Ba 396年gydF4y2Ba 397年gydF4y2Ba