聚焦表面和距离表面回归边缘恒定距离的表面之间的关系

摘要

我们研究焦点表面和表面之间的关系在一个表面上的回归边缘在一个恒定的距离。我们展示了焦点表面F₁和F₂表面的米可以通过一些特殊表面在距离表面上的回归边缘的恒定距离处获得米．

1.介绍

Tarakci在2002年首次定义了距离曲面回归边缘恒定距离的曲面[1]．这些曲面是在Hans Vogler于1963年提出的研究中通过取曲面而不是曲线得到的。在上述研究中，Hans Vogler提出了曲线到回归边缘的恒定距离的概念。此外，Tarakci和Hacisalihoglu计算了一些已知的平行曲面的性质和定理，即距离曲面回归边缘恒定距离的曲面[2]．后来，许多作者开始对离曲面回归边缘恒定距离的曲面感兴趣，并研究了欧拉定理、Dupin指标、共轭切向量和该曲面的渐近方向[3.]并在距离表面上的回归边缘的恒定距离处检查表面闵可夫斯基空间(4]．

我们将在本文中使用的另一个问题是焦面。焦点在线同时领域是已知的。Hagen等人的可视化领域已经引入了线路一致。1991年[5]．它们可以用来可视化飞机上的压力和热量分布、温度、降雨、地球表面的臭氧等。焦点表面也被用作表面询问工具，在进一步加工表面之前分析表面的“质量”，例如，在数控铣削操作中[6]．广义焦面与hedgehog图有关。不是绘制与一个表面值成比例的表面法线，而是绘制与函数成比例的表面法线上的点。所有这些点的轨迹都是广义焦面。这个方法是由Hagen和Hahmann提出的[6，7它是基于线几何中已知的焦点曲面的概念。焦点曲面是所有特殊同余的焦点的轨迹，即正规同余。近年来，不同领域的作者对焦点表面进行了研究。

在本文中，我们发现了一种通过距离表面上的回归边缘的恒定距离构成焦点表面的新方法。焦点表面和表面的在与从回归边缘的恒定距离的表面相关联沿着方向形成的躺在飞机和,分别。

2.距离曲面回归边缘恒定距离的曲面

定义1。让和是两个面欧几里得空间和让是单位法向量，设是点处的切线空间表面,让是的正交基取一个单位向量,在那里是常数,如果有一个函数定义为 在哪里，然后是曲面是否称曲面为离边缘恒定距离的回归曲面

在这里，如果,然后所以和是平行表面。现在，我们代表距离回归边缘的距离处的参数化．让是参数化的我们可以这样写 以防是一个基础，然后我们可以写出来,在那里分别是的偏导数根据和．自的参数表示是 因此，获得了 如果我们得到，然后我们有

计算和给我们, 在这里,计算如[1]．用曲率线代替参数曲线,让和是这些曲率线的弧长。由此得到: 从(6)和(7),我们发现 和是一个基础．如果我们用的单位法向量,然后是 在哪里是表面的主要曲率吗如果 我们可以写 在这里，在此情况下和自从和不是线性独立的，不是一个正则曲面。我们不会考虑这种情况[1]．

3.焦的表面

光滑的三维表面的差分几何形状可以从两个视角中的一个解释：就位于表面上的定向框架或一对相关的焦点表面而言。这些焦点表面被主曲线半径的基因座扫过。考虑到差异几何的基本事实，很明显，正常截面曲率的中心在表面上的特定点处的曲线填充在该点上的一定段。这些细分的四肢是两个主要方向的曲率中心。这两点称为这一特别正常的焦点[8]．这个术语是由这样一个事实证明的:一条线的一致性可以被认为是接触两个表面的线的集合，即线的一致性的焦点表面。一条全等线与两个焦点表面之间的接触点就是这条线的焦点。结果表明，一个正相等的焦点是两个主要方向的曲率中心[9，10]．

我们参数表示曲面作为矢量值函数．给定一组单位向量，定义线同余: 在哪里叫做带符号的距离和［8]．让是曲面的单位法向量。如果,然后是一个正常的同余。焦面是一种特殊的法向同余。的焦点曲面的参数表示是由 在哪里是主要的曲率。除了一个或两个主曲率为零的抛物线点和平面点外，基面上的每一个点都有两个焦点。因此，一般来说，一个光滑的基面有两个焦点表面，和［11]．

对这一经典概念的推广得到了广义焦点曲面: 其中标量函数这取决于主曲率和表面的真实的数量用作比例因子。如果曲率很小，你需要一个很大的数来区分这两个表面和在屏幕上。该因子的变化还可以提高焦面几个特性的可见性;例如，一个人可以得到更清晰的十字路口[6]．

4.聚焦表面和距离表面回归边缘恒定距离的表面之间的关系

定理2。让表面由参数给出我们考虑所有表面在一个恒定的距离从边缘回归上沿着方向形成的躺在飞机这些曲面在点处的法线对应点生成以第一主曲率为中心的线的空间族在

证明。距离回归边缘的恒定距离的表面沿着方向形成的躺在飞机是由 这些表面和它们的单位正常向量分别表示由和我们将演示从这个点经过的直线的交点并且是有方向的是
曲面的法向量在点是 这里，很明显在平面上假设这条线从这一点经过朝着方向是和代表性的是;然后，方程是 此外，假设这条线从这一点经过朝着方向是和代表性的是;然后，方程式是 求出这两条直线的交点。因为它是在向量平面上研究的,重点可以作为起点。如果我们把线排列好和，然后我们发现 从这里看，很清楚那个交点和是直线的交点和是点在飞机

推论3。距离回归边缘恒定距离的所有表面的法线方向沿着方向形成的躺在飞机在一点相交。这一点这是在定理中提到的2是在焦点面上吗

我们知道 从焦点面的定义。此外，我们可以从图中很容易地看到以下方程1： 或者 这些方程表明了焦面表面的从回归的边缘有恒定距离的曲面能表述出来吗沿着方向形成的躺在飞机如果或者，然后是焦点表面的表面上， 和会是一样的。这种情况已用下列定理表示。

定理4。焦点表面表面的和距离回归边缘恒定距离的曲面沿着方向形成的躺在飞机当且仅当第一主曲率时相同吗表面的是恒定的。

证明。假设焦点表面的表面上和沿方向形成躺在飞机相交;然后,中提到的(21)必须 第一个主曲率的沿方向形成躺在飞机，即，对于，由Tarakci计算为[1］ 此外,从图1,因为是点之间的距离和躺在飞机，我们可以写 如果我们替代（24)和(25) (23)，并作出必要的安排 因此,我们有匡威声明是微不足道的。因此，我们的定理被证明。

定理5。让表面由参数给出我们考虑所有表面在一个恒定的距离从边缘回归上沿着方向形成的躺在飞机这些曲面在点处的法线对应点生成一个以顶为次主曲率中心的线的空间族在

证明。距离回归边缘的恒定距离的表面沿着方向形成的躺在飞机是由 这些表面和它们的单位正常向量分别表示由和我们将演示从这个点经过的直线的交点并且是有方向的是
曲面的法向量在点是 这里，很明显在平面上假设这条线从这一点经过朝着方向是和代表性的是;然后，方程式是 此外，假设这条线从这一点经过表面的朝着方向是和代表性的是;然后，方程式是 求出这两条直线的交点。因为它是在向量平面上研究的,重点可以作为起点。如果我们把线排列好和，然后我们发现 从这里看，很清楚那个交点和是直线的交点和是点在飞机

推论6。这一点这是在定理中提到的5是在焦点面上吗

类似于图1，我们可以写方程式 或者 这些方程表明了焦面表面的从回归的边缘有恒定距离的曲面能表述出来吗沿着方向形成的躺在飞机如果或者，然后是焦点表面的表面上， 和会是一样的。这种情况已用下列定理表示。

定理7。焦点表面表面的和距离回归边缘恒定距离的曲面沿着方向形成的躺在飞机当且仅当第二主曲率时相同吗表面的是恒定的。

证明。假设焦点表面的表面上和沿方向形成躺在飞机相交;然后,中提到的(32)必须 第二个主曲率的沿方向形成躺在飞机，即，对于，由Tarakci计算为[1］ 此外，类似于图1,因为是点之间的距离和躺在飞机，我们可以写 如果我们替代（35)和(36) (34)，并作出必要的安排 因此,我们有匡威声明是微不足道的。因此，我们的定理被证明。

表面上的点在所有方向上都有相同的曲率。这些点对应着脐带，脐带周围的局部表面是球形的。由于脐点的正常光线通过一个点，脐点周围的顶点形成的焦点网格会收缩成一个点[11]．

利益冲突

作者声明本论文的发表不存在利益冲突。

参考

1. O。Tarakci,距离某一表面回归边缘恒定距离的表面。论文)，安卡拉大学科学研究所，安卡拉，土耳其，2002。
2. O。Tarakci和H.H.Hacisalihoğlu，“距离表面上的回归边缘恒定距离的表面，”应用数学与计算(第155卷第1期)1, 81-93页，2004。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
3. N. Aktan, a . Görgülü， E. Özüsaglam, and C. Ekici，“从曲面回归边缘恒定距离的曲面的共轭切向量和渐近方向”，国际纯粹和应用数学杂志第33卷，第2期。1，页127-133,2006。视图:谷歌学者|MathSciNet
4. D.Saïlam和Ö。kalkan，“距离表面上的回归边缘的恒定距离的表面$E_1^{3.}$”,微分Geometry-Dynamical系统，第12卷，第187-200页，2010。视图:谷歌学者|MathSciNet
5. H. Hagen, H. Pottmann和a . Divivier，“曲面上的可视化函数”，可视化与动画杂志，第52-58页，1991。视图:谷歌学者
6. 哈根(H. Hagen)和哈曼(S. Hahmann)，《广义焦点曲面:曲面询问的新方法》，载于IEEE会议上的可视化会议（可视化'92），第70-76页，波士顿，马萨诸塞州，美国，1992年10月。视图:出版商的网站|谷歌学者
7. H. Hagen和S. Hahmann，“自由曲面和曲线曲率行为的可视化”，计算机辅助设计，第27卷，第2期。7, 545-552页，1995。视图:出版商的网站|谷歌学者
8. H. Hagen, S. Hahmann, T. Schreiber, Y. Nakajima, B. Wordenweber, P. Hollemann-Grundstedt，“表面审讯算法”IEEE计算机图形与应用，卷。12，不。5，pp。53-60,1992。视图:谷歌学者
9. j . HoschekLinien-GeometrieWissensehaffs，苏黎世，瑞士，1971年。视图:MathSciNet
10. k . StrubeckerSuperialialGeometrie III，德·格鲁伊特，德国柏林，1959年。视图:MathSciNet
11. 于建军，尹旭东，顾旭东，“离散几何的焦点曲面”，载于欧洲图形学几何处理研讨会, 2007年。视图:谷歌学者

版权

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