AMP 数学物理的发展 1687 - 9139 1687 - 9120 Hindawi出版公司 10.1155 / 2015/397126 397126年 研究文章 焦表面和表面之间的关系以恒定距离回归在一个表面上的边缘 Yurttancikmaz Semra Tarakci 俄梅珥 克莱顿 约翰。D。 理学院数学系 阿塔土尔克大学 25240年埃尔祖鲁姆 土耳其 atauni.edu.tr 2015年 1 9 2015年 2015年 07年 07年 2014年 08年 09年 2014年 1 9 2015年 2015年 版权©2015 Semra Yurttancikmaz和俄梅珥Tarakci。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

我们研究焦表面和表面之间的关系以恒定距离回归在一个表面上的边缘。我们表明,焦的表面 F1和 F2表面的 米可以通过一些特殊的表面以恒定距离回归表面的边缘 米。

 1。介绍

表面以恒定距离回归的边缘在一个表面上在2002年首先由Tarakci [ 1]。这些表面获得通过曲线的表面而不是在1963年汉斯Vogler建议的研究。在上述研究中,汉斯Vogler断言的概念以恒定的距离的边缘曲线回归曲线。Tarakci和Hacisalihoglu计算的一些性质和定理,以平行表面的表面以恒定距离回归的边缘在一个表面上( 2]。后,不同作者感兴趣的表面以恒定距离回归表面和边缘的欧拉定理和杜宾指标,调查共轭切向量,和渐近方向表面( 3),检查表面以恒定距离回归表面上的边缘 E 1 3 闵可夫斯基空间( 4]。

本文,我们将使用另一个问题是焦面。焦表面已知领域的一致性。行一致引入了可视化领域的哈根等人于1991年( 5]。他们可以使用可视化的压力和热分布在飞机上,温度,降雨量,臭氧在地球表面,等等。焦表面也用作表面审讯工具来分析表面的“质量”进一步处理之前的表面,例如,在一个NC-milling操作( 6]。广义焦表面刺猬相关图。而不是绘图表面法线成正比的表面价值,只有表面的点正常的函数绘制成比例。所有这些点的轨迹是广义焦面。该方法引入了哈根和Hahmann 6, 7),是基于概念的焦面几何的线。焦表面特殊的同余的位点的焦点,正常的一致性。在接下来的几年里,焦表面已经研究了各种作者在不同的领域。

在这篇文章中,我们已经发现了一种新方法构成焦表面的表面以恒定距离回归在一个表面上的边缘。焦的表面 F 1 和 F 2 表面的 米 在 E 3 以恒定的距离与表面的边缘回归 米 形成的方向 Z P 躺在飞机 年代 p ϕ u , N 和 年代 p ϕ v , N ,分别。

 2。表面以恒定距离回归在一个表面上的边缘 定义1。

让 米 和 米 f 在两个表面 E 3 欧几里得空间,让 N P 是一个单位法向量,让 T P 米 在点切线空间 P 的表面 米 ,让 X P , Y P 是标准正交基 T P 米 。 把一个单位向量 Z P = d 1 X P + d 2 Y P + d 3 N P ,在那里 d 1 , d 2 , d 3 ∈ R 是常数, d 1 2 + d 2 2 + d 3 2 = 1 。 如果有一个函数 f 定义为 (1) f : 米 ⟶ 米 f , f P = P + r Z P , 在哪里 r ∈ R 表面,然后 米 f 以恒定的距离称为表面表面的边缘回归 米 。

这里,如果 d 1 = d 2 = 0 ,然后 Z P = N P 所以 米 和 米 f 是平行的表面。现在,我们以恒定的距离表示参数化的表面边缘的回归 米 。让 ( ϕ , U ) 是一个参数化的 米 ,所以我们可以写下来 (2) ϕ : U ⊂ E 2 ⟶ 米 l l l l l u , v ϕ u , v 。 以防 ϕ u , ϕ v 是一个基础 T P 米 ,我们就可以写下来 Z P = d 1 ϕ u + d 2 ϕ v + d 3 N P ,在那里 ϕ u , ϕ v 分别是,偏导数的 ϕ 根据 u 和 v 。自 米 f = f ( P ) : f ( P ) = P + r Z P 的参数表示 米 f 是 (3) ψ u , v = ϕ u , v + r Z u , v 。 因此,它得到了 (4) 米 f = ψ u , v : ψ u , v l l l l l l l l l l l l l l l l l l = ϕ u , v l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l + r d 1 ϕ u u , v l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l + d 2 ϕ v u , v l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l + d 3 N u , v 如果我们得到 r d 1 = λ 1 , r d 2 = λ 2 , r d 3 = λ 3 ,那么我们就有 (5) 米 f = λ 3 2 ψ u , v : ψ u , v l l l l l l l l l l l l l l l l l l = ϕ u , v + λ 1 ϕ u u , v l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l + λ 2 ϕ v u , v + λ 3 N u , v , l l l l l l l l l l l l l l l l l l λ 1 2 + λ 2 2 + λ 3 2 = r 2 。

计算 ψ u 和 ψ v 给我们, (6) ψ u = ϕ u + λ 1 ϕ u u + λ 2 ϕ v u + λ 3 N u , ψ v = ϕ v + λ 1 ϕ u v + λ 2 ϕ v v + λ 3 N v 。 在这里, ϕ u u , ϕ v u , ϕ u v , ϕ v v , N u , N v 在计算( 1]。我们选择直线而不是参数曲线的曲率 米 ,让 u 和 v 是这些曲率线的弧长。因此,下列方程得到: (7) ϕ u u = - - - - - - κ 1 N , ϕ v v = - - - - - - κ 2 N , ϕ u v = ϕ v u = 0 , N u = κ 1 ϕ u , N v = κ 2 ϕ v 。 从( 6)和( 7),我们发现 (8) ψ u = 1 + λ 3 κ 1 ϕ u - - - - - - λ 1 κ 1 N , ψ v = 1 + λ 3 κ 2 ϕ v - - - - - - λ 2 κ 2 N 和 ψ u , ψ v 是一个基础 χ ( 米 f ) 。如果我们表示 N f 单位法向量 米 f ,然后 N f 是 (9) N f = ψ u , ψ v ψ u , ψ v = λ 1 κ 1 1 + λ 3 κ 2 ϕ u + λ 2 κ 2 1 + λ 3 κ 1 ϕ v l l l l l + 1 + λ 3 κ 1 1 + λ 3 κ 2 N × λ 1 2 κ 1 2 1 + λ 3 κ 2 2 + λ 2 2 κ 2 2 1 + λ 3 κ 1 2 l l l l l l l l l + 1 + λ 3 κ 1 2 1 + λ 3 κ 2 2 - - - - - - 1 / 2 , 在哪里 κ 1 , κ 2 主曲率的表面 米 。 如果 (10) 一个 = λ 1 2 κ 1 2 1 + λ 3 κ 2 2 + λ 2 2 κ 2 2 1 + λ 3 κ 1 2 + 1 + λ 3 κ 1 2 1 + λ 3 κ 2 2 1 / 2 我们可以写 (11) N f = λ 1 κ 1 1 + λ 3 κ 2 一个 ϕ u + λ 2 κ 2 1 + λ 3 κ 1 一个 ϕ v + 1 + λ 3 κ 1 1 + λ 3 κ 2 一个 N 。 在的情况下 κ 1 = κ 2 和 λ 3 = - - - - - - 1 / κ 1 = - - - - - - 1 / κ 2 自 ψ u 和 ψ v 不是线性无关, 米 f 不是一个普通的表面。我们不会考虑这种情况下( 1]。

 3所示。焦的表面

光滑的微分几何三维表面可以从两个角度解释:在面向帧位于表面或焦表面相关的一对。这些焦表面被主曲率半径的位点。考虑从微分几何基本事实,很明显,正截面曲线的曲率中心在特定点表面上填写一定的法向量。这些片段的四肢的曲率中心是两个主要的方向。这两个点被称为这个正常的焦点 8]。这个术语是合理的,可以视为一组线同余线接触的两个表面,焦表面一致。接触的点线之间的一致性和两个焦表面是这条线的焦点。事实证明,一个正常的同余的焦点是曲率中心的两个主要方向 9, 10]。

我们代表向量值函数参数化的表面 ϕ ( u , v ) 。给定一组单位向量 Z ( u , v ) 线一致的定义: (12) C u , v = ϕ u , v + D u , v Z u , v , 在哪里 D ( u , v ) 被称为签署了距离 ϕ ( u , v ) 和 Z ( u , v ) ( 8]。让 N ( u , v ) 是表面的单位法向量。如果 Z ( u , v ) = N ( u , v ) ,然后 C = C N 是一个正常的一致性。焦面是一种特殊正常的一致性。焦的表面的参数表示 C N 是由 (13) F 我 u , v = ϕ u , v - - - - - - 1 κ 我 u , v N u , v ; 我 = 1、2 , 在哪里 κ 1 , κ 2 主曲率。除了抛物线分平面点一个或两个主曲率为零,每一个点固定在底座上表面与两个焦点。因此,一般来说,一个平滑的基础表面有两个焦面表, F 1 ( u , v ) 和 F 2 ( u , v ) ( 11]。

这个经典概念的泛化导致广义焦表面: (14) F u , v = ϕ u , v + 一个 f κ 1 , κ 2 N u , v w 我 t h 一个 ∈ R , 的标量函数 f 取决于主曲率 κ 1 = κ 1 ( u , v ) 和 κ 2 = κ 2 ( u , v ) 表面的 米 。 真实的数量 一个 作为比例因子。如果曲率很小的你需要一个非常大的数字 一个 区分这两个表面 ϕ ( u , v ) 和 F ( u , v ) 在屏幕上。这个因素的变化也可以提高几个属性的可见性的焦面;例如,一个可以得到路口清晰( 6]。

 4所示。焦表面和表面之间的关系以恒定距离回归在一个表面上的边缘 定理2。

让表面 米 是由参量的 ϕ ( u , v ) 。 考虑所有表面以恒定距离边缘的回归 米 形成的方向 Z P 躺在飞机 年代 p ϕ u , N 。 这些表面的法线点 f ( P ) 对应点 P ∈ 米 生成一个空间家人的线是第一个主曲率中心 C 1 = P - - - - - - 1 / κ 1 ( P ) N P 在 P 。

证明。

表面以恒定距离边缘的回归 米 形成的方向 Z P 躺在飞机 年代 p ϕ u , N 是由 (15) f 我 : 米 ⟶ 米 f 我 , 我 = 1、2 , … , f 我 P = P + λ 1 我 ϕ u P + λ 3 我 N P 。 这些表面及其单位法向量,分别用 米 f 我 和 N f 我 。 我们将证明,通过从线的交点 f 我 ( P ) 和方向 N f 我 ( P ) f 我 是 C 1 = P - - - - - - 1 / κ 1 ( P ) N P 。

表面的法向量 米 f 我 在点 f 我 ( P ) 是 (16) N f 我 = λ 1 我 κ 1 P ϕ u P + 1 + λ 3 我 κ 1 P N P 。 在这里,很明显, N f 我 在平面上 年代 p ϕ u , N 。 假设这条线从这一点 f 我 ( P ) 和方向 N f 我 ( P ) f 我 是 d 我 和一个代表点 d 我 是 问 = x , y = x ϕ u P + y N P ;然后,方程 d 我 是 (17) d 我 ⋯ P 问 → = P f 我 P → + μ 1 N f 我 P f 我 。 此外,假设线从点 f j ( P ) 和方向 N f j ( P ) f j 是 d j 和一个代表点 d j 是 R = x , y ;然后,方程 d j 是 (18) d j ⋯ P R → = P f j P → + μ 2 N f j P f j , j = 1、2 , … 。 我们发现这些线的交点。因为它是在平面向量的学习 ϕ u P , N P ,重点 P 可以作为起点。如果我们安排行 d 我 和 d j ,然后我们发现 (19) d 我 ⋯ x , y = λ 1 我 , λ 3 我 + μ 1 λ 1 我 κ 1 , 1 + λ 3 我 κ 1 , d 我 ⋯ y = 1 + λ 3 我 κ 1 λ 1 我 κ 1 x - - - - - - 1 κ 1 , d j ⋯ x , y = λ 1 j , λ 3 j + μ 2 λ 1 j κ 1 , 1 + λ 3 j κ 1 , d j ⋯ y = 1 + λ 3 j κ 1 λ 1 j κ 1 x - - - - - - 1 κ 1 。 从这里开始,很明显,交点 d 我 和 d j 是 x , y = 0 , - - - - - - 1 / κ 1 。 因此,线的交点 d 我 和 d j 是点 C 1 = P - - - - - - 1 / κ 1 ( P ) N P 在飞机 年代 p ϕ u ( P ) , N P 。

推论3。

的所有表面的法线方向恒定距离边缘的回归 米 形成的方向 Z P 躺在飞机 年代 p ϕ u , N 单点相交。这一点 C 1 = P - - - - - - 1 / κ 1 ( P ) N P 这被称为定理呢 2在焦面吗 F 1 。

我们知道 (20) F 1 P = P - - - - - - 1 κ 1 N P 从焦表面的定义。此外,我们可以看到很容易从图下面的方程 1: (21) F 1 P = f 我 P - - - - - - μ 我 N f 我 P f 我 或 (22) F 1 P = f j P - - - - - - μ j N f j P f j 。 这些方程告诉我们,焦面 F 1 表面的 米 以恒定的距离可以被表面所回归的边缘 米 形成的方向 Z P 躺在飞机 年代 p ϕ u , N 。 如果 μ 我 = 1 / κ 1 f 我 或 μ j = 1 / κ 1 f j ,那么焦表面 F 1 的表面上 米 , 米 f 我 , 米 f j 将是相同的。本例中已经表达了以下定理。

的所有表面的法线方向恒定距离边缘的回归 米 形成的方向 Z P 躺在飞机 年代 p ϕ u , N 和他们的交点(焦点)。

 定理4。

焦的表面 F 1 表面的 米 以恒定的距离和表面边缘的回归 米 形成的方向 Z P 躺在飞机 年代 p ϕ u , N 相同当且仅当第一个主曲率 κ 1 表面的 米 是恒定的。

 证明。

假设焦表面 F 1 的表面上 米 和 米 f 沿着方向形成的 Z P 躺在飞机 年代 p ϕ u , N 相交;然后, μ 我 中提到的( 21)必须 (23) μ 我 = 1 κ 1 f 我 。 第一个主曲率 κ 1 f 的 米 f 沿着方向形成的 Z P 躺在飞机 年代 p ϕ u , N ,也就是 λ 2 = 0 ,计算Tarakci ( 1] (24) κ 1 f = 1 λ 1 2 κ 1 2 + 1 + λ 3 κ 1 2 λ 1 ∂ κ 1 / ∂ u λ 1 2 κ 1 2 + 1 + λ 3 κ 1 2 + κ 1 。 此外,从图 1,因为 μ 我 = C 1 f 我 ( P ) → 点之间的距离吗 C 1 = 0 , - - - - - - 1 / κ 1 和 f 我 ( P ) = λ 1 , λ 3 躺在飞机 年代 p ϕ u , N ,我们可以写 (25) μ 我 = C 1 f 我 P → = λ 1 2 + λ 3 + 1 κ 1 2 。 如果我们用( 24)和( 25)( 23),并进行必要的安排,我们获得 (26) ∂ κ 1 ∂ u = 0 。 因此,我们有 κ 1 = c o n 年代 t 。 相反的声明是微不足道的。因此,我们的定理证明。

 定理5。

让表面 米 是由参量的 ϕ ( u , v ) 。 我们认为所有表面以恒定距离边缘的回归 米 形成的方向 Z P 躺在飞机 年代 p ϕ v , N 。 这些表面的法线点 f ( P ) 对应点 P ∈ 米 生成一个空间的家庭线顶部的第二主曲率中心 C 2 = P - - - - - - 1 / κ 2 ( P ) N P 在 P 。

证明。

表面以恒定距离边缘的回归 米 形成的方向 Z P 躺在飞机 年代 p ϕ v , N 是由 (27) f 我 : 米 ⟶ 米 f 我 , 我 = 1、2 , … , f 我 P = P + λ 2 我 ϕ v P + λ 3 我 N P 。 这些表面及其单位法向量,分别用 米 f 我 和 N f 我 。 我们将证明,通过从线的交点 f 我 ( P ) 和方向 N f 我 ( P ) f 我 是 C 2 = P - - - - - - 1 / κ 2 ( P ) N P 。

表面的法向量 米 f 我 在点 f 我 ( P ) 是 (28) N f 我 = λ 2 我 κ 2 P ϕ v P + 1 + λ 3 我 κ 2 P N P 。 在这里,很明显, N f 我 在平面上 年代 p ϕ v , N 。 假设这条线从这一点 f 我 ( P ) 和方向 N f 我 ( P ) f 我 是 d 我 和一个代表点 d 我 是 问 = x , y = x ϕ v P + y N P ;然后,方程 d 我 是 (29) d 我 ⋯ P 问 → = P f 我 P → + μ 1 N f 我 P f 我 。 此外,假设线从点 f j ( P ) 表面的 米 f j 和方向 N f j ( P ) f j 是 d j 和一个代表点 d j 是 R = x , y ;然后,方程 d j 是 (30) d j ⋯ P R → = P f j P → + μ 2 N f j P f j , j = 1、2 , … 。 我们发现这两条线的交点。因为它是在平面向量的学习 ϕ v P , N P ,重点 P 可以作为起点。如果我们安排行 d 我 和 d j ,然后我们发现 (31) d 我 ⋯ x , y = λ 2 我 , λ 3 我 + μ 1 λ 2 我 κ 1 , 1 + λ 3 我 κ 2 , d 我 ⋯ y = 1 + λ 3 我 κ 2 λ 2 我 κ 2 x - - - - - - 1 κ 2 , d j ⋯ x , y = λ 2 j , λ 3 j + μ 2 λ 2 j κ 2 , 1 + λ 3 j κ 2 , d j ⋯ y = 1 + λ 3 j κ 2 λ 2 j κ 2 x - - - - - - 1 κ 2 。 从这里开始,很明显,交点 d 我 和 d j 是 x , y = 0 , - - - - - - 1 / κ 2 。 因此,线的交点 d 我 和 d j 是点 C 2 = P - - - - - - 1 / κ 2 ( P ) N P 在飞机 年代 p ϕ v ( P ) , N P 。

推论6。

这一点 C 2 = P - - - - - - 1 / κ 2 ( P ) N P 这被称为定理呢 5在焦面吗 F 2 。

类似于图 1,我们可以把方程 (32) F 2 P = f 我 P - - - - - - μ 我 N f 我 P f 我 或 (33) F 2 P = f j P - - - - - - μ j N f j P f j 。 这些方程告诉我们,焦面 F 2 表面的 米 以恒定的距离可以被表面所回归的边缘 米 形成的方向 Z P 躺在飞机 年代 p ϕ v , N 。 如果 μ 我 = 1 / κ 2 f 我 或 μ j = 1 / κ 2 f j ,那么焦表面 F 2 的表面上 米 , 米 f 我 , 米 f j 将是相同的。本例中已经表达了以下定理。

定理7。

焦的表面 F 2 表面的 米 以恒定的距离和表面边缘的回归 米 形成的方向 Z P 躺在飞机 年代 p ϕ v , N 相同当且仅当第二主曲率 κ 2 表面的 米 是恒定的。

 证明。

假设焦表面 F 2 的表面上 米 和 米 f 沿着方向形成的 Z P 躺在飞机 年代 p ϕ v , N 相交;然后, μ 我 中提到的( 32)必须 (34) μ 我 = 1 κ 2 f 我 。 第二个主曲率 κ 2 f 的 米 f 沿着方向形成的 Z P 躺在飞机 年代 p ϕ v , N ,也就是 λ 1 = 0 ,计算Tarakci ( 1] (35) κ 2 f = 1 λ 2 2 κ 2 2 + 1 + λ 3 κ 2 2 λ 2 ∂ κ 2 / ∂ v λ 2 2 κ 2 2 + 1 + λ 3 κ 2 2 + κ 2 。 此外,类似于图 1,因为 μ 我 = C 2 f 我 ( P ) → 点之间的距离吗 C 2 = 0 , - - - - - - 1 / κ 2 和 f 我 ( P ) = λ 2 , λ 3 躺在飞机 年代 p ϕ v , N ,我们可以写 (36) μ 我 = C 2 f 我 P → = λ 2 2 + λ 3 + 1 κ 2 2 。 如果我们用( 35)和( 36)( 34),并进行必要的安排,我们获得 (37) ∂ κ 2 ∂ v = 0 。 因此,我们有 κ 2 = c o n 年代 t 。 相反的声明是微不足道的。因此,我们的定理证明。

点在表面上 米 可以在各个方向有相同的曲率。围绕这些点对应于脐带的局部表面sphere-like。自正常光线脐带的点通过一个单点,形成的局部网格顶点在脐带的点可以缩小到一个点( 11]。

 利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

 Tarakci O。 表面以恒定距离回归的边缘在一个表面上(博士。论文) 2002年 安卡拉,土耳其 安卡拉大学科学研究所的 Tarakci O。 Hacisalihoğlu H . H。 表面以恒定距离回归在一个表面上的边缘 应用数学和计算 2004年 155年 1 81年 93年 10.1016 / s0096 - 3003 (03) 00761 - 6 MR2078096 2 - s2.0 - 3142563102 凡阿克坦 N。 Gorgulu 一个。 Ozusaglam E。 Ekici C。 共轭切矢量和渐近方向表面以恒定距离回归在一个表面上的边缘 国际纯粹和应用数学杂志》上 2006年 33 1 127年 133年 MR2279620 Sağlam D。 Kalkan就“同名同姓 O。 表面以恒定距离回归表面上的边缘 E 1 3 微分Geometry-Dynamical系统 2010年 12 187年 200年 MR2606559 哈根 H。 Pottmann H。 Divivier 一个。 可视化功能在一个表面上 《可视化和动画 1991年 2 52 58 哈根 H。 Hahmann 年代。 广义焦表面:表面审讯的新方法 IEEE会议程序可视化(可视化的92) 1992年10月 波士顿,美国质量 70年 76年 10.1109 / VISUAL.1992.235224 哈根 H。 Hahmann 年代。 自由曲线和曲面的曲率可视化行为 计算机辅助设计 1995年 27 7 545年 552年 10.1016 / 0010 - 4485 (95)93587 - p 哈根 H。 Hahmann 年代。 以下两 T。 只是 Y。 Wordenweber B。 Hollemann-Grundstedt P。 表面审讯算法 IEEE计算机图形学和应用程序 1992年 12 5 53 60 Hoschek J。 Linien-Geometrie 1971年 瑞士苏黎世 BI, Wissensehaffs MR0322706 Strubecker K。 Differentialgeometrie三世 1959年 柏林,德国 De Gruyter MR0102083 余 J。 阴 X。 顾 X。 麦克米伦 l Gortler 年代。 焦表面离散几何 Eurographics研讨会上几何处理 2007年