罗森公式的对称减少和精确解决方案

抽象的

在罗森式方程上进行了LIE对称性分析，其出现在建模许多物理现象中。提出了相似性缩减和精确解决方案。然后通过Power系列方法考虑确切的分析解决方案。

1.介绍

在许多物理领域中产生的非线性局部微分方程（PDE），例如冷凝物理，流体力学和等离子体物理学和光学元件具有丰富的非线性现象。众所周知，为了找到PDE的精确解决方案始终是数学和物理学中的中心主题之一。已经开发了丰富的方法，以便在相当困难的情况下找到PDE的这些确切的物理上有很大的解决方案。一些最重要的方法是逆散射方法[1]，hirota bilinear方法[2]，Darboux和Bäcklund变换[3.]，Lie对称分析[4.-6.[CK方法[7.那8.“等等。众所周知，Lie Group方法是一种强大而直接的方法来构建非线性微分方程的精确解。此外，基于Lie Group方法，可以获得许多类型的PDE精确解，例如行波解决方案，相似性解决方案，孤子波解决方案和基本解决方案[9.那10.]。

Lie Group方法的主要思想是将微分方程系统的解转换为其他解决方案。一旦确定了微分方程系统的对称组，就可以使用许多应用程序。然后，可以直接使用这样一个组的定义属性，并从已知的系统构建新的解决方案。

在本文中，基于Lie Group方法，我们将考虑一个重要的等式，即Rosenau方程[11.那12.]带着表格在哪里是未知的真实功能。

等式（1）出现在各种各样的物理应用中。它可以研究在利用众所周知的KDV方程不能描述的波波和波壁相互作用的情况下探讨密集的离散系统的动态。因此，Lucubrate对该方程式的确切显式解决方案和相似性缩短非常重要。已经致力于研究Rosenau方程，例如小幅度解决方案的诸如衰减和散射的作品[13.[后验误差估计[14.]和保守差分计划[15.]。然而，随着作者知道的，谎言对称分析（1）留下了打开问题。

本文的大纲如下：在部分2，我们对Rosenau方程进行Lie对称性分析;在部分3.，我们讨论谎言对称组（1）;在部分4.，我们处理相似性的减少（1）使用Lie Group方法并基于Lie Grous方法提供等式的精确解;在部分5.，通过使用电力序列方法获得降低方程的精确解;和部分6.，我们总结了我们的结果并予以结束言论。

2. Rosenau方程的对称分析

在本节中，我们对（1）并获得其无穷大的发电机和换页表的谎言代数。

首先，让我们考虑一名参数谎称无限转型：有一个小参数。与上述转换组相关联的矢量字段可以写入

对称组（1）将由形式的矢量字段生成（3.）。应用第四次延长至（1），我们发现系数函数那，和必须满足对称条件在哪里那，和是系数。此外，我们有在哪里那是总衍生品和，分别。

替代（5.）进入（4.），在第一，第二和其他阶数衍生物和各种功率中等同于各种单项的系数，我们可以找到Rosenau公式的对称组的以下方程式：解决（6.），我们获得在哪里那，和是任意常量。

因此，无限的对称性的谎言代数（1）由以下传染媒介字段跨越然后，所有无限的发生器（1）可以表示为很容易验证在谎言括号下关闭。事实上，我们有

3. Rosenau方程的对称组

在本节中，为了从已知的解决方案获得精确的解决方案（1），我们应该找到一个参数对称组：相应的无限发电机。要获得谎言对称组，我们应该解决普通微分方程的以下初始问题：在哪里那那，和是一个组参数。

对于无限的发电机，我们将采用以下不同的值来获取相应的无限发生器。

情况1。考虑那，无限的发电机是。

案例2。考虑那，无限的发电机是。

案例3。考虑那，无限的发电机是。

案例4。考虑那，无限的发电机是。

案例5。考虑那，无限的发电机是。

案例6。考虑那那，无限的发电机是。

一个参数组上述相应的无限发电机如下：：那：那：那：那：那：那在哪里是任何实数。我们观察到这一点是一个太空翻译，是一个时间的翻译，是一个空间时间翻译，以及团体是真正的当地转型组。他们的出现远非从基本物理原则明显，但他们对我们来研究PDE的确切解决方案非常重要。

自从各自是一个对称组，它意味着如果是（1），然后那那那那，和如下：（1）也：在哪里是任何实数。

4. Rosenau方程的对称减少和精确解决方案

在上一节中，我们获得了无限的发电机。在本节中，我们将获得相似变量及其减小方程，并通过求解降低方程来获得相似性解决方案。

情况1。对于无限的发电机，我们有以下相似变量：和群体不变的解决方案是;那是，替代（14.）进入（1），我们获得以下还原等式：在哪里。所以，（1）有一个解决方案，在哪里是任意的常数。显然，解决方案并不有意义。

案例2。对于无限的发电机，我们有以下相似变量：和群体不变的解决方案是;那是，替代（17.）进入（1），我们获得以下还原等式：在哪里。

案例3。对于无限的发电机，我们有以下相似变量：和群体不变的解决方案是;那是，替代（20.）进入（1），我们获得以下还原等式：在哪里。所以，（1）有一个解决方案，在哪里是任意的常数。

案例4。对于无限的发电机，我们有以下相似变量：和群体不变的解决方案是;那是，替代（23.）进入（1），我们获得以下还原等式：在哪里。

案例5。对于无限的发电机，我们有以下相似变量：和群体不变的解决方案是;那是，替代（26.）进入（1），我们获得以下还原等式：在哪里。

案例6。对于无限的发电机，我们有以下相似变量：和群体不变的解决方案是;那是，替代（29.）进入（1），我们获得以下还原等式：在哪里。

备注1。注意，缩小方程式（如）（18.）和（24.）全部高阶非线性或非自然杂志;我们将处理下一节中的等方面。

5.确切的电源系列解决方案

在本节中，我们希望在四态等方面检测以数学物理学的基本或已知功能表达的显式解决方案。但是这种情况并非总是如此，即使是简单的半线性PDE。然而，我们知道功率系列可用于解决微分方程，包括许多具有非合作系数的复杂微分方程[16.]。在本节中，我们将通过使用Power Series方法考虑降低方程式的精确分析解决方案。一旦我们获得了减少方程式（odes）的确切分析解决方案，就获得了原始PDE的确切电源串联解决方案。在本节中，我们将考虑（18.），（24.），（27.），和（30.）。

5.1。精确的分析解决方案（18.）

现在，我们寻求一种解决方案（18.）在表格的权力系列中替代（31.）进入（18.），我们有从（32.），比较系数，用于，我们获得一般来说，对于，我们有从（33.）和（34.），我们可以获得所有系数电力系列（31.）;例如，

因此，对于任意选择的常数那，和，序列的其他条款可以连续确定（33.）和（34.）以独特的方式。这意味着，for（18.），存在电源系列解决方案（31.）与（33.）和（34.）。此外，很容易证明功率系列的收敛（31.）与（33.）和（34.）（参见，例如，[17.那18.]）。因此，这个功率系列解决方案（31.）至（18.）是一个精确的分析解决方案。

因此，电力系列解决方案（18.）可以写如下：因此，确切的功率串联解决方案（1）是在哪里那，和是任意常数;其他系数可以连续确定（33.）和（34.）。

在物理应用中，写出（1）以近似的形式就上述计算而言。

5.2。精确的分析解决方案（24.）

同样，我们寻求一个解决方案（24.）在表格的权力系列中（31.）。将它替换为（24.）和比较系数，我们获得一般来说，对于，我们有鉴于（39.） - （42.），我们可以获得所有系数电力系列（31.）;例如，因此，对于任意选择的常数，序列的其他条款可以连续确定（39.） - （42.）以独特的方式。这意味着，for（24.），存在电源系列解决方案（31.）与（39.） - （42.）。

因此，电力系列解决方案（24.）可以写如下：因此，我们有精确的解决方案（1）存在在哪里是任意的常数;其他条款由（39.） - （42.）连续。

5.3。精确的分析解决方案（27.）

现在，我们寻求一种解决方案（27.）在表格的权力系列中（31.）。替代（31.）进入（27.）和比较系数，我们获得

为了，我们有从（46.）和（47.），我们可以获得所有系数电力系列（31.）如因此，对于任意选择的常数那，和，序列的其他条款可以连续确定（46.）和（47.）以独特的方式。这意味着，for（27.），存在电源系列解决方案（31.）与（46.）和（47.）。

（1）和近似形式的解决方案可以根据上述计算编写。这里省略了细节。

5.4。精确的分析解决方案（30.）

同样，我们寻求一个解决方案（30.）在表格的权力系列中（31.）。将它替换为（30.）和比较系数，我们获得鉴于（49.），我们可以获得所有系数电力系列（31.）如因此，对于任意选择的常数那那，和，序列的其他条款可以连续确定（49.）以独特的方式。因此，电力系列解决方案（30.）可以写如下：因此，我们将确切的行驶波解决方案（1）如下：在哪里是任意常数;其他条款由（49.）连续。

备注2。通过使用普通微分方程（ODES）的集成，我们知道如果我们获得一个ode的一个参数对称组，那么我们可以减少一个方程的顺序。但我们注意到除了一些特殊情况之外，这种降低的杂散比原始方程更复杂。鉴于此，我们可以看到Power Series方法是解决如此高阶非线性或非自治杂物的有用工具。

6。结论

在本文中，我们使用经典Lie Group方法研究了Rosenau方程的对称性降低和精确解。首先，我们对Rosenau方程进行Lie对称性分析，并获得其无穷大的发电机和换页表的谎言代数。然后，我们讨论罗森公式的谎言对称组。此外，使用相似变量来获得降低方程并解决降低方程，我们获得了等式的所有组不变解决方案。然后通过使用Power Series方法来研究精确的分析解决方案。特别是，本文第一次给出了相似性降低和精确解决方案。从转换组的观点考虑了解决方案的物理意义。这些相似性解决方案具有工作的非线性力学方面具有重要特征。

利益冲突

提交人声明没有关于本文的出版物的利益冲突。

承认

本文得到了山西自然科学基金的支持（2014021010-1）的支持。

参考

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