首先,让我们考虑一个单参数李群无穷小变换:
(2)
x
⟶
x
+
ϵ
ξ
(
x
,
t
,
u
)
,
t
⟶
t
+
ϵ
τ
(
x
,
t
,
u
)
,
u
⟶
u
+
ϵ
ϕ
(
x
,
t
,
u
)
,用一个小的参数
ϵ
≪
1。与上述相关的向量场的转换可以写成
(3)
V
=
ξ
(
x
,
t
,
u
)
∂
∂
x
+
τ
(
x
,
t
,
u
)
∂
∂
t
+
ϕ
(
x
,
t
,
u
)
∂
∂
u
。
对称群(
1)将生成的向量场的形式(
3)。应用第四延长
p
r
(
4
)
V(
1),我们发现系数函数
ξ
(
x
,
t
,
u
),
τ
(
x
,
t
,
u
),
ϕ
(
x
,
t
,
u
)必须满足对称条件
(4)
u
x
ϕ
+
(
1
+
u
)
ϕ
x
+
ϕ
t
+
ϕ
x
x
x
t
=
0
,在哪里
ϕ
x,
ϕ
t,
ϕ
x
x
x
t的系数
p
r
(
4
)
V。此外,我们有
(5)
ϕ
t
=
D
t
ϕ
- - - - - -
u
x
D
t
ξ
- - - - - -
u
t
D
t
τ
,
ϕ
x
=
D
x
ϕ
- - - - - -
u
x
D
x
ξ
- - - - - -
u
t
D
x
τ
,
ϕ
x
x
x
t
=
D
t
D
x
3
(
ϕ
- - - - - -
ξ
u
x
- - - - - -
τ
u
t
)
+
ξ
u
x
x
x
x
t
+
τ
u
x
x
x
t
t
,在哪里
D
x,
D
t总衍生品对吗
x和
t,分别。
用(
5)(
4的系数),将各单项第一,第二,另一阶偏导数和各种权力的
u,我们可以找到以下方程的对称群罗西瑙方程:
(6)
ξ
x
=
ξ
t
=
ξ
u
=
0
,
τ
x
=
τ
u
=
0
,
τ
t
t
=
0
,
ϕ
=
- - - - - -
τ
t
(
1
+
u
)
。解决(
6),我们得到
(7)
ξ
=
c
1
,
τ
=
c
2
t
+
c
3
,
ϕ
=
- - - - - -
c
2
(
1
+
u
)
,在哪里
c
1,
c
2,
c
3任意常数。
因此,无穷小的李代数的对称性(
1)是由下列向量张成的字段
(8)
V
1
=
∂
∂
x
,
V
2
=
t
∂
∂
t
- - - - - -
(
1
+
u
)
∂
∂
u
,
V
3
=
∂
∂
t
。然后,所有的无穷小的发电机(
1)可以表示为
(9)
V
=
c
1
V
1
+
c
2
V
2
+
c
3
V
3
。很容易验证
{
V
1
,
V
2
,
V
3
}是李氏括号下封闭。事实上,我们有
(10)
(
V
1
,
V
1
]
=
(
V
2
,
V
2
]
=
(
V
3
,
V
3
]
=
0
,
(
V
1
,
V
2
]
=
- - - - - -
(
V
2
,
V
1
]
=
(
V
1
,
V
3
]
=
- - - - - -
(
V
3
,
V
1
]
=
0
,
(
V
2
,
V
3
]
=
- - - - - -
(
V
3
,
V
2
]
=
- - - - - -
V
3
。
3所示。罗西瑙方程的对称群
在本节中,为了得到准确的解决方案从一个已知的解决方案(
1),我们应该找到单参数对称组
G
我:
(
x
,
t
,
u
)
→
(
x
~
,
t
~
,
u
~
)相应的无限小的发电机。谎言对称组,我们应该解决以下初始问题常微分方程:
(11)
d
(
x
~
,
t
~
,
u
~
)
d
ϵ
=
(
ξ
,
τ
,
ϕ
)
,
(
x
~
,
t
~
,
u
~
)
ϵ
=
0
=
(
x
,
t
,
u
)
,在哪里
ξ
=
ξ
(
x
~
,
t
~
,
u
~
),
τ
=
τ
(
x
~
,
t
~
,
u
~
),
ϕ
=
ϕ
(
x
~
,
t
~
,
u
~
),
ϵ是一组参数。
无穷小的发电机
V
=
c
1
V
1
+
c
2
V
2
+
c
3
V
3,我们将采取以下不同的值来获得相应的无限小的发电机。
案例1。
考虑
c
1
=
1,
c
2
=
c
3
=
0,无穷小生成器
V
1
=
∂
/
∂
x。
例2。
考虑
c
2
=
1,
c
1
=
c
3
=
0,无穷小生成器
V
2
=
t
(
∂
/
∂
t
)
- - - - - -
(
1
+
u
)
(
∂
/
∂
u
)。
例3。
考虑
c
3
=
1,
c
1
=
c
2
=
0,无穷小生成器
V
3
=
∂
/
∂
t。
例4。
考虑
c
1
=
c
2
=
1,
c
3
=
0,无穷小生成器
V
1
+
V
2
=
(
∂
/
∂
x
)
+
t
(
∂
/
∂
t
)
- - - - - -
(
1
+
u
)
(
∂
/
∂
u
)。
例5。
考虑
c
2
=
c
3
=
1,
c
1
=
0,无穷小生成器
V
2
+
V
3
=
(
1
+
t
)
(
∂
/
∂
t
)
- - - - - -
(
1
+
u
)
(
∂
/
∂
u
)。
例6。
考虑
c
2
=
0,
c
1
=
c
≠
0,
c
3
=
1,无穷小生成器
c
V
1
+
V
3
=
c
(
∂
/
∂
x
)
+
(
∂
/
∂
t
)。
单参数组
G
我上述相应无穷小生成器给出如下:
:
(
x
,
t
,
u
)
→
(
x
+
ϵ
,
t
,
u
),
G
2:
(
x
,
t
,
u
)
→
(
x
,
e
ϵ
t
,
(
1
+
u
)
e
- - - - - -
ϵ
- - - - - -
1
),
G
3:
(
x
,
t
,
u
)
→
(
x
,
t
+
ϵ
,
u
),
G
4:
(
x
,
t
,
u
)
→
(
x
+
ϵ
,
e
ϵ
t
,
(
1
+
u
)
e
- - - - - -
ϵ
- - - - - -
1
),
G
5:
(
x
,
t
,
u
)
→
(
x
,
(
1
+
t
)
e
ϵ
- - - - - -
1
,
(
1
+
u
)
e
- - - - - -
ϵ
- - - - - -
1
),
G
6:
(
x
,
t
,
u
)
→
(
x
+
c
ϵ
,
t
+
ϵ
,
u
),
在哪里
ϵ是任意的实数。我们观察到
G
1翻译是一个空间,
G
3是一个翻译,
G
6是一个时空的翻译,组织吗
G
我
(
我
=
2、4
,
5
)真正当地组织的转变。外表还远远没有明显的从基本物理原则,但他们是非常重要的对于我们研究pde的精确解。
因为每一
G
我
(
我
=
1、2
,
3、4
,
5、6
)是一个对称群,它意味着如果
u
=
f
(
x
,
t
)是一个解决方案(
1),然后
u
(
1
),
u
(
2
),
u
(
3
),
u
(
4
),
u
(
5
),
u
(
6
)如下的解决方案(
1):
(12)
u
(
1
)
=
f
(
x
- - - - - -
ϵ
,
t
)
,
u
(
2
)
=
e
- - - - - -
ϵ
f
(
x
,
e
- - - - - -
ϵ
t
)
+
e
- - - - - -
ϵ
- - - - - -
1
,
u
(
3
)
=
f
(
x
,
t
- - - - - -
ϵ
)
,
u
(
4
)
=
e
- - - - - -
ϵ
f
(
x
- - - - - -
ϵ
,
e
- - - - - -
ϵ
t
)
+
e
- - - - - -
ϵ
- - - - - -
1
,
u
(
5
)
=
e
- - - - - -
ϵ
f
(
x
,
(
1
+
t
)
e
- - - - - -
ϵ
- - - - - -
1
)
+
e
- - - - - -
ϵ
- - - - - -
1
,
u
(
6
)
=
f
(
x
- - - - - -
c
ϵ
,
t
- - - - - -
ϵ
)
,在哪里
ϵ是任意的实数。
无穷小的发电机
V
1
=
∂
/
∂
x相似,我们有以下变量:
(13)
ξ
=
t
,
ω
=
u
,和group-invariant解决方案
ω
=
f
(
ξ
);也就是说,
(14)
u
=
f
(
t
)
。用(
14)(
1减少),我们得到以下方程:
(15)
f
′
=
0
,在哪里
f
′
=
d
f
/
d
ξ。因此,(
1)有一个解决方案
u
=
c,在那里
c是任意常数。显然,解决方法是没有意义的。
例2。
无穷小的发电机
V
2
=
t
(
∂
/
∂
t
)
- - - - - -
(
1
+
u
)
(
∂
/
∂
u
)相似,我们有以下变量:
(16)
ξ
=
x
,
ω
=
(
1
+
u
)
t
,和group-invariant解决方案
ω
=
f
(
ξ
);也就是说,
(17)
u
=
t
- - - - - -
1
f
(
x
)
- - - - - -
1
。用(
17)(
1减少),我们得到以下方程:
(18)
- - - - - -
f
+
f
f
′
- - - - - -
f
(
3
)
=
0
,在哪里
f
′
=
d
f
/
d
ξ。
例3。
无穷小的发电机
V
3
=
∂
/
∂
t相似,我们有以下变量:
(19)
ξ
=
x
,
ω
=
u
,和group-invariant解决方案
ω
=
f
(
ξ
);也就是说,
(20)
u
=
f
(
x
)
。用(
20.)(
1减少),我们得到以下方程:
(21)
f
′
+
f
f
′
=
0
,在哪里
f
′
=
d
f
/
d
ξ。因此,(
1)有一个解决方案
u
=
c,在那里
c是任意常数。
例4。
无穷小的发电机
V
1
+
V
2
=
(
∂
/
∂
x
)
+
t
(
∂
/
∂
t
)
- - - - - -
(
1
+
u
)
(
∂
/
∂
u
)相似,我们有以下变量:
(22)
ξ
=
t
e
- - - - - -
x
,
ω
=
(
1
+
u
)
e
x
,和group-invariant解决方案
ω
=
f
(
ξ
);也就是说,
(23)
u
=
e
- - - - - -
x
f
(
t
e
- - - - - -
x
)
- - - - - -
1
。用(
23)(
1减少),我们得到以下方程:
(24)
f
2
+
7
f
′
+
ξ
f
f
′
+
19
ξ
f
′′
+
9
ξ
2
f
(
3
)
+
ξ
3
f
(
4
)
=
0
,在哪里
f
′
=
d
f
/
d
ξ。
例5。
无穷小的发电机
V
2
+
V
3
=
(
1
+
t
)
(
∂
/
∂
t
)
- - - - - -
(
1
+
u
)
(
∂
/
∂
u
)相似,我们有以下变量:
(25)
ξ
=
x
,
ω
=
t
+
(
1
+
t
)
u
,和group-invariant解决方案
ω
=
f
(
ξ
);也就是说,
(26)
u
=
f
(
x
)
- - - - - -
t
1
+
t
。用(
26)(
1减少),我们得到以下方程:
(27)
- - - - - -
f
+
f
′
+
f
f
′
- - - - - -
f
(
3
)
- - - - - -
1
=
0
,在哪里
f
′
=
d
f
/
d
ξ。
例6。
无穷小的发电机
c
V
1
+
V
3
=
c
(
∂
/
∂
x
)
+
(
∂
/
∂
t
)相似,我们有以下变量:
(28)
ξ
=
x
- - - - - -
c
t
,
ω
=
u
,和group-invariant解决方案
ω
=
f
(
ξ
);也就是说,
(29)
u
=
f
(
x
- - - - - -
c
t
)
。用(
29日)(
1减少),我们得到以下方程:
(30)
1
- - - - - -
c
f
′
+
f
f
′
- - - - - -
c
f
(
4
)
=
0
,在哪里
f
′
=
d
f
/
d
ξ。
现在,我们寻求一个解决方案(
18幂级数的形式)
(31)
f
(
ξ
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
ξ
n
。用(
31日)(
18),我们有
(32)
- - - - - -
c
0
- - - - - -
∑
n
=
1
∞
c
n
ξ
n
+
c
0
c
1
+
∑
n
=
1
∞
∑
k
=
0
n
n
+
1
- - - - - -
k
c
k
c
n
+
1
- - - - - -
k
ξ
n
- - - - - -
6
c
3
- - - - - -
∑
n
=
1
∞
n
+
1
n
+
2
n
+
3
c
n
+
3
ξ
n
=
0
。从(
32),比较系数,
n
=
0,我们获得
(33)
c
3
=
1
6
c
0
(
c
1
- - - - - -
1
)
。一般来说,对
n
≥
1,我们有
(34)
c
n
+
3
=
1
n
+
1
n
+
2
n
+
3
×
- - - - - -
c
n
+
∑
k
=
0
n
n
+
1
- - - - - -
k
c
k
c
n
+
1
- - - - - -
k
。从(
33)和(
34),我们可以得到所有的系数
c
n
(
n
≥
3
)幂级数(
31日);例如,
(35)
c
4
=
1
24
(
c
1
(
c
1
- - - - - -
1
)
+
2
c
0
c
2
]
,
c
5
=
1
60
(
3
(
c
0
c
3
+
c
1
c
2
)
- - - - - -
c
2
]
。
因此,对于任意选择常量
c
0,
c
1,
c
2序列的其他条款
{
c
n
}
n
=
0
∞可以确定先后从(
33)和(
34以一个独特的方式)。这意味着,(
18),存在一个幂级数解决方案(
31日)的系数(
33)和(
34)。此外,它很容易证明幂级数的收敛性(
31日)的系数(
33)和(
34)(见,例如,(
17,
18])。因此,该幂级数解决方案(
31日)(
18)是一个精确的解析解。
因此,的幂级数解(
18)可以写成:
(36)
f
ξ
=
c
0
+
c
1
ξ
+
c
2
ξ
2
+
c
3
ξ
3
+
∑
n
=
1
∞
c
n
+
3
ξ
n
+
3
=
c
0
+
c
1
ξ
+
c
2
ξ
2
+
1
6
c
0
(
c
1
- - - - - -
1
)
ξ
3
+
∑
n
=
1
∞
1
n
+
1
n
+
2
n
+
3
×
- - - - - -
c
n
+
∑
k
=
0
n
n
+
1
- - - - - -
k
c
k
c
n
+
1
- - - - - -
k
ξ
n
+
3
。因此,幂级数解(
1)是
(37)
u
x
,
t
=
t
- - - - - -
1
(
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
c
3
x
3
+
∑
n
=
1
∞
c
n
+
3
x
n
+
3
)
- - - - - -
1
=
c
0
t
- - - - - -
1
+
c
1
t
- - - - - -
1
x
+
c
2
t
- - - - - -
1
x
2
+
1
6
c
0
(
c
1
- - - - - -
1
)
t
- - - - - -
1
x
3
+
∑
n
=
1
∞
1
n
+
1
n
+
2
n
+
3
×
(
- - - - - -
c
n
+
∑
k
=
0
n
(
n
+
1
- - - - - -
k
)
c
k
c
n
+
1
- - - - - -
k
)
×
t
- - - - - -
1
x
n
+
3
- - - - - -
1
,在哪里
c
0,
c
1,
c
2任意常数;另一个系数
c
n
(
n
≥
3
)可以确定先后从(
33)和(
34)。
在物理应用程序中,这将是方便写的解决方案(
1)的近似形式
(38)
u
x
,
t
=
- - - - - -
1
+
c
0
t
- - - - - -
1
+
c
1
t
- - - - - -
1
x
+
c
2
t
- - - - - -
1
x
2
+
1
6
c
0
(
c
1
- - - - - -
1
)
t
- - - - - -
1
x
3
+
1
24
c
1
c
1
- - - - - -
1
+
2
c
0
c
2
t
- - - - - -
1
x
4
+
1
60
(
3
(
c
0
c
3
+
c
1
c
2
)
- - - - - -
c
2
]
t
- - - - - -
1
x
5
+
⋯
,上面的计算。
同样,我们寻求一个解决方案(
24)在一个幂级数的形式(
31日)。替换成(
24)和比较系数,得到
(39)
c
1
=
- - - - - -
1
7
c
0
2
,
(40)
c
2
=
- - - - - -
3
52
c
0
c
1
,
(41)
c
3
=
- - - - - -
2
189年
(
2
c
0
c
2
+
c
1
2
)
。一般来说,对
n
≥
0,我们有
(42)
c
n
+
4
=
- - - - - -
∑
k
=
0
n
+
2
(
n
+
4
- - - - - -
k
)
c
k
c
n
+
3
- - - - - -
k
+
c
0
c
n
+
3
n
+
4
7
+
n
+
3
n
2
+
12
n
+
39
。鉴于(
39)- (
42),我们可以得到所有的系数
c
n
(
n
≥
1
)幂级数(
31日);例如,
(43)
c
4
=
- - - - - -
5
496年
(
c
1
c
2
+
c
0
c
3
)
。因此,对于任意选择常数
c
0序列的其他条款
{
c
n
}
n
=
0
∞可以确定先后从(
39)- (
42以一个独特的方式)。这意味着,(
24),存在一个幂级数解决方案(
31日)的系数(
39)- (
42)。
因此,幂级数解决方案(
24)可以写成:
(44)
f
ξ
=
c
0
- - - - - -
1
7
c
0
2
ξ
- - - - - -
3
52
c
0
c
1
ξ
2
- - - - - -
2
189年
(
2
c
0
c
2
+
c
1
2
)
ξ
3
- - - - - -
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
0
n
+
2
(
n
+
4
- - - - - -
k
)
c
k
c
n
+
3
- - - - - -
k
+
c
0
c
n
+
3
n
+
4
7
+
n
+
3
n
2
+
12
n
+
39
ξ
n
+
4
。因此我们有精确解(
1)
(45)
u
x
,
t
=
c
0
e
- - - - - -
x
- - - - - -
1
7
c
0
2
t
e
- - - - - -
2
x
- - - - - -
3
52
c
0
c
1
t
2
e
- - - - - -
3
x
- - - - - -
2
189年
(
2
c
0
c
2
+
c
1
2
)
t
3
e
- - - - - -
4
x
- - - - - -
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
0
n
+
2
n
+
4
- - - - - -
k
c
k
c
n
+
3
- - - - - -
k
+
c
0
c
n
+
3
n
+
4
7
+
n
+
3
n
2
+
12
n
+
39
×
t
n
+
4
e
- - - - - -
(
n
+
5
)
x
- - - - - -
1
,在哪里
c
0是任意常数;其他条款
c
n
(
1、2
,
3
,
…
)是由(
39)- (
42)先后。
现在,我们寻求一个解决方案(
27)在一个幂级数的形式(
31日)。用(
31日)(
27)和比较系数,得到
(46)
c
3
=
1
6
(
c
0
+
1
)
(
c
1
- - - - - -
1
)
。
为
n
≥
1,我们有
(47)
c
n
+
3
=
1
n
+
1
n
+
2
n
+
3
×
- - - - - -
c
n
+
n
+
1
c
n
+
1
+
∑
k
=
0
n
n
+
1
- - - - - -
k
c
k
c
n
+
1
- - - - - -
k
。从(
46)和(
47),我们可以得到所有的系数
c
n
(
n
≥
3
)幂级数(
31日),如
(48)
c
4
=
1
24
(
c
1
(
c
1
- - - - - -
1
)
+
2
c
2
(
c
0
+
1
)
]
,
c
5
=
1
60
(
c
2
(
3
c
1
- - - - - -
1
)
+
3
c
3
(
c
0
+
1
)
]
。因此,对于任意选择常量
c
0,
c
1,
c
2序列的其他条款
{
c
n
}
n
=
0
∞可以确定先后从(
46)和(
47以一个独特的方式)。这意味着,(
27),存在一个幂级数解决方案(
31日)的系数(
46)和(
47)。
同样,我们寻求一个解决方案(
30.)在一个幂级数的形式(
31日)。替换成(
30.)和比较系数,得到
(49)
c
n
+
4
=
∑
k
=
0
n
(
n
+
1
- - - - - -
k
)
c
k
c
n
+
1
- - - - - -
k
+
(
1
- - - - - -
c
)
(
n
+
1
)
c
n
+
1
c
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
,
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
n
=
0 1
,
2
,
…
。鉴于(
49),我们可以得到所有的系数
c
n
(
n
≥
4
)幂级数(
31日),如
(50)
c
4
=
c
1
(
c
0
- - - - - -
c
+
1
)
24
c
,
c
5
=
c
1
2
+
2
c
2
(
c
0
- - - - - -
c
+
1
)
120年
c
,
c
6
=
c
1
c
2
+
c
3
(
c
0
- - - - - -
c
+
1
)
120年
c
,
c
7
=
2
c
1
c
3
+
c
2
2
+
2
c
4
(
c
0
- - - - - -
c
+
1
)
420年
c
。因此,对于任意选择常量
c
0,
c
1,
c
2,
c
3序列的其他条款
{
c
n
}
n
=
0
∞可以确定先后从(
49以一个独特的方式)。因此,幂级数解决方案(
30.)可以写成:
(51)
f
ξ
=
c
0
+
c
1
ξ
+
c
2
ξ
2
+
c
3
ξ
3
+
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
0
n
n
+
1
- - - - - -
k
c
k
c
n
+
1
- - - - - -
k
+
1
- - - - - -
c
n
+
1
c
n
+
1
c
n
+
1
n
+
2
n
+
3
n
+
4
×
ξ
n
+
4
。因此,我们有精确行波解(
1)如下:
(52)
u
x
,
t
=
c
0
+
c
1
(
x
- - - - - -
c
t
)
+
c
2
x
- - - - - -
c
t
2
+
c
3
x
- - - - - -
c
t
3
+
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
0
n
n
+
1
- - - - - -
k
c
k
c
n
+
1
- - - - - -
k
+
1
- - - - - -
c
n
+
1
c
n
+
1
c
n
+
1
n
+
2
n
+
3
n
+
4
×
x
- - - - - -
c
t
n
+
4
,在哪里
c
我
(
我
=
0 1
,
2、3
)任意常数;其他条款
c
n
+
4
(
n
=
0 1
,
2
,
…
)是由(
49)先后。