克尔时空的变形收缩及其折叠

摘要

利用拉格朗日方程引入克尔时空的变形收缩。讨论了克尔空间的赤道测地线。这个空间向自身和向测地线的收缩已经提出。在等距折叠之后，这个空间的变形缩回到自身。推导了有关这些关系的定理。

1.介绍

20世纪下半叶数学物理(以及纯数学本身)真正的革命是代数拓扑学和代数几何[1］．在19世纪，数学物理本质上是常微分方程和偏微分方程的经典理论。变分演算作为理论力学中物理学家的基本工具，一直被数学家们所保留，直到希尔伯特通过推动泛函分析建立了它的严格基础。这标志着进入20世纪上半叶的转变，在量子力学和相对论的影响下，数学物理主要变成了泛函分析，辅以李群理论和张量分析。20世纪下半叶代数拓扑学和代数几何学前所未有的丰富成果的使用仍将对理论物理的所有分支产生最强烈的影响[1］．

今天，拓扑和几何的概念和方法已经成为理论物理学不可缺少的一部分。它们使我们对凝聚态物理、宇宙学、引力和粒子物理学的许多关键方面有了更深的理解。此外，在这些数学工具的基础上，已经揭示了一些看似不相关的现象之间的有趣联系[2，3.］．

拓扑学通过时空存在并以流形组织的基本假设进入广义相对论。这意味着时空有一个定义明确的维度，但它也带有全局连通性的修正模式的内在可能性，例如将球面与平面或环面与更高属的表面区分开来。这种修改可以在不影响时间方向的情况下出现在空间拓扑中，但它们也可以具有真正的时空特征，在这种情况下，空间拓扑会随着时间而变化[4］．经典广义相对论中的拓扑变化已在[5］．参见[6为广义相对论中微分拓扑学的某些应用。

在广义相对论中，边界是在引力热力学中出现一些紧致流形上的束[7］．简单的包是一个经典的例子。具有完全ricci -平坦度量的流形允许这样的边界是已知的;它们是欧几里德史瓦西度规和具有周期识别的平坦度规。纽约(8表明一般存在两个或没有史瓦西解取决于是否压缩(半径的比值)-纤维到-base)低于或高于临界值。约克的四维结果很容易推广到高维。

非平凡束最简单的例子出现在量子宇宙学中，其中边界是紧实的，即非平凡包在．在宇宙常数为零的情况下，规则4度量允许这样一个边界是陶博坚果[9]和陶博-博尔特[10的零和二维(规则)不动点集的度量行动,分别7，11- - - - - -13］．

克尔度规描述了围绕旋转不带电轴对称黑洞的空时空几何。克尔度规对应于线元

的参数，称为克尔参数，具有几何化的长度单位。的参数会被解释为角动量和参数将被解释为黑洞的质量。克尔度规是爱因斯坦方程的真空解，在没有物质的情况下有效。如果黑洞不旋转，克尔线元素简化为史瓦西线元素。克尔度规变得渐近平坦和．与史瓦西度规不同，克尔度规只有轴对称。

2.变形收缩

2．1．变形收缩的定义

变形缩回理论是欧几里得空间和非欧几里得空间中一个非常有趣的课题。在拓扑和微分几何的许多分支中，从不同的角度对它进行了研究。缩回是一个从整个空间到子空间的连续映射，它保留了子空间中所有点的位置[14］．

(我)让和是两个光滑的维度流形和,分别。一幅地图是一个等距折叠成对于每条分段测地线，当且仅当，诱导路径这条分段测地线的长度是否相等［15］．如果不保持其长度，称为拓扑折叠。许多类型的褶皱在[16- - - - - -21］．某些应用在[22，23］．

(2)的一个子集拓扑空间的叫收回吗如果存在连续映射这样,24］(一)是开放的;(b)，．

(3)的一个子集拓扑空间的如果存在缩回，则称为变形缩回和同伦这样,24］

变形收缩是同伦等价的一种特殊情况，两个空间是同伦等价的当且仅当它们都是一个更大空间的变形收缩。

Stein空间的变形收缩已在[25］．4D史瓦西度规的变形收缩已在[26发现史瓦西空间的收缩是时空测地线。5维情况已在[27］．

3.赤道测地线

我们将对赤道测地线感兴趣，也就是．在克尔度规的情况下，很容易证明这种测地线的存在满足与克尔度规相关的拉格朗日方程的欧拉拉格朗日方程的分量(1)．考虑

的给出了欧拉拉格朗日方程的-分量

比较克尔线元， 以及四维平面度规

四维克尔空间的坐标(6)可以写成

在广义相对论中，测地线方程等价于欧拉拉格朗日方程 与拉格朗日相关

为了找到克尔空间的一个子集的测地线，拉格朗日可以写成

没有明确的依赖或；因此和为运动常数;也就是说,

我们得到了下面的一组方程

如果不变是零，我们有吗

自哪个是大圆在克尔空间，这条测地线是克尔空间的缩回;．这是一个撤回。

为， (12)成为 如果,然后．如果常数是零，那么

自哪个是大圆在克尔空间，这条测地线是克尔空间的缩回;．

如果,然后如果常数是零，那么

自哪个是大圆在克尔空间，这条测地线是克尔空间的缩回;．

通过以上讨论，我们证明了下面的定理。

定理1。克尔空间的缩回是克尔空间中的测地线。

4.克尔空间的变形收缩

克尔空间的变形收缩被定义为 在哪里为闭区间．克尔空间的收缩被定义为

然后，克尔空间的变形收缩成一个地线被定义为 在哪里

克尔空间的形变收缩成测地线被定义为

克尔空间的形变收缩成测地线被定义为

现在我们要讨论克尔空间的折叠： 在哪里

克尔空间的等距折叠可以定义为

折叠克尔空间的变形收缩到折叠是 与

折叠克尔空间的变形收缩到折叠是

折叠克尔空间的变形收缩到折叠是

因此，证明了以下定理。

定理2。克尔空间的等距折叠及其任何同胚折叠的形变收缩与克尔空间的形变收缩是不同的。

5.结论

利用拉格朗日方程，研究了克尔空间的变形收缩。讨论了克尔空间的赤道测地线。这个空间向自身和向测地线的收缩已经提出。Eguchi-Hanson空间的变形缩回是一条测地线，它是一个大圆。克尔空间的等距折叠及其任何同胚折叠的形变收缩与克尔空间的形变收缩是不同的。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

承认

作者非常感谢Taibah大学数学系的Nasr Ahmed在这项工作中给予的有益讨论和帮助。