李群扩散方程的方法

文摘

扩散方程在空间方向离散,转化为常微分方程。常微分方程是解决李群方法和显式龙格-库塔方法。数值结果表明,李群方法比相应的显式龙格-库塔方法更稳定。

1。介绍

解决僵硬的系统深入研究的主题的文献,包括线性隐式方法,semi-implicit方法,time-splitting方法,投影方法,多尺度方法,积分因子的方法,指数时差(等)方法,和李群方法(1- - - - - -12]。李群方法已经由Munthe-Kaas, Iserles Nørsett,他们的合作者。一般来说,如果一个谎言行为自由和轨迹上多方面的,然后一个微分方程唯一地确定一个微分方程。因此,替换原有的微分由李代数的等价的微分方程允许一个应用适当的李群集成商。李群方法有很多,比如一下mangu方法,RKMK方法,带的方法。李群方法可以保存数值微分方程的解决方案相同的集合管,也有很好的稳定性和准确性的经典数值方法(1,2,11,13,14]。摘要一般非线性微分方程的指数积分器的方法提出了基于李群复写的方法和应用于扩散方程。

本文的组织结构如下:在部分2李群方法和指数时间差分法。一般非线性微分方程的指数积分器的方法。节3明确拟线性扩散方程是解决指数积分器的方法和显式龙格-库塔方法。节4,Allen-Cahn方程指数积分器由明确的解决方法和显式龙格-库塔方法。最后,得到了一些结论。

2。指数积分器

假设是多方面的。存在一个李代数用一个谎言支架(左)李代数的行动,一个函数这样的方程可以写成 在哪里 是一个同态。左边的代数操作分配给的参数和的解决方案 在时间与初始条件和一些边界条件。有自由选择功能李代数,相应的微分方程 李代数是选择相应功能简单的向量场这很容易取幂。李代数之间的通信和向量场将一个对一个。龙格-库塔方法应用于解决(4)。它是著名的RKMK方法(1]。

让和的系数阶段,经典龙格-库塔法,让。该算法集成(1)来

集。

为 结束 在哪里 ,和。数量表示潜在的顺序和龙格-库塔方法是th伯努利数(2]。

一个常微分方程组通常是获得 在哪里。描述的要领设计方法可以解决(8)。积分方程在一个时间步来,我们可以得到 方程(9)是准确的,各种要领设计方案来自近似积分。假设是近似的,并给出一阶等方法 高阶要领设计方案也可以发现(7,9,10]。一些初步的数值研究由一组材料宾夕法尼亚州立大学的科学家们指出,高阶等方案可以几个订单的大小比低阶的semi-implicit方法在一些微观组织演变的模拟(8]。

从本质上说,与时间有关的非线性方程组,要领设计方案提供了一个系统的耦合非线性隐式和显式治疗的可能的集成硬线性方程的一部分,而实现高精度和保持良好的稳定性。的指数积分器(8)构建基于李群方法导管的想法。一般来说,(8)可以写成 在哪里。此外,应该是局部李普希茨函数(确保存在唯一性)。经典的四阶显式RK方案(11)是

根据豪斯多夫的经典结果,解决方案(11)是 初值问题的解决方案吗 在哪里 ,。采取对应的数量和应用龙格-库塔方法(14),我们可以得到的数值解(14)。的数值解(11)。相应的订单指数积分器(11)是 为这是显式提供底层RK计划是显式的。是订单的截断误差。一个显式的四阶指数积分器(11)如下: 集合管上的李群方法,一般非线性微分方程的指数积分器方法相应的龙格-库塔方法相同的精度。在随后的章节中,四阶显式指数积分器(EEI)方法和相应的显式龙格-库塔(ERK)方法应用于扩散方程。

3所示。数值实验我:拟线性对流扩散方程

拟线性对流扩散方程 方程是一维拟线性抛物型微分方程,这被称为汉堡的方程,在那里是一个常数代表液体的运动粘度。汉堡的方程首次出现在一个纸贝特曼和他给了一个特殊的解决方案(18)。非凡系列的论文从1939年到1965年,汉堡的湍流研究的各个方面和他使用它作为一个湍流模型的研究。科尔研究汉堡的方程的一般性质,概述了它的各种应用程序的一些15- - - - - -17]。与初始条件,,的精确解(18)是 和贝塞尔函数。最近提出了一些汉堡的方程数值方法(15- - - - - -17]。

汉堡的方程可以转化为非线性常微分方程离散化空间的方向。汉堡的空间导数可以离散方程如下:。。因此,变量可以满足 假设,(20.)可以写成 在哪里,,,,。千禧年代法和经典ERK法应用于(21)。

在表1,我们比较ERK方法的稳定性和千禧年代的方法。收敛步骤与不同空间步骤如表所示1。收敛步骤获得的长度计算三百步决定是否收敛步长。从表1,我们可以看到,千禧年代方法比ERK方法具有更好的稳定性。在表2我们比较全球ERK法和千禧年代法的错误和。全球错误被定义为,在那里确切的解决方案在哪里。它们有相同的精度。在图1汉堡的方程的数值解是通过ERK法和千禧年代法,,。图1(一)通过ERK方法和图吗1 (b)是千禧年代获得的方法。从图1,我们可以有相同的精度。

4所示。数值实验2:Allen-Cahn方程

Allen-Cahn方程 与和初始条件。假设,(23)可以被离散成 在哪里和。千禧年代法和经典ERK法应用于(24)。

在表3犯错的,我们比较稳定属性方法和千禧年代方法通过求解(24)。当是不同的,收敛步骤与不同的空间步骤所示表吗3。收敛步骤获得的长度计算三百步决定是否收敛步长。从表3,我们可以看到,千禧年代方法比ERK方法具有更好的稳定性。在表4的错误,我们比较数值解与通过ERK千禧年代获得的方法和数值解的方法。误差在不同的时间;错误的是。我们可以得出结论,它们有相同的精度。在图2Allen-Cahn方程的数值解通过ERK法和千禧年代法了吗,,。图2(一个)是通过ERK的方法。图2 (b)是千禧年代获得的方法。从图2,我们可以得到数值结果是相同的。我们也可以得出这样的结论:这两种方法具有相同的精度。

5。结论

摘要千禧年代方法基于李群方法提出的想法。千禧年代方法和相应的ERK方法被应用到汉堡的方程和Allen-Cahn方程。数值结果表明,千禧年代比相应的ERK方法方法有更好的稳定性。这两种方法具有相同的精度。很明显,显式解析法比ERK法在计算一些僵硬的常微分方程。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

这项工作得到了国家自然科学基金(11161017和11161017)。

引用

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