AMPgydF4y2B一个 数学物理的发展gydF4y2B一个 1687 - 9139gydF4y2B一个 1687 - 9120gydF4y2B一个 Hindawi出版公司gydF4y2B一个 641918年gydF4y2B一个 10.1155 / 2014/641918gydF4y2B一个 641918年gydF4y2B一个 研究文章gydF4y2B一个 李群扩散方程的方法gydF4y2B一个 太阳gydF4y2B一个 Jian-QianggydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 黄gydF4y2B一个 Rong-FanggydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 顾gydF4y2B一个 们已经gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 余gydF4y2B一个 凌gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 越南盾gydF4y2B一个 Shi-HaigydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 数学系gydF4y2B一个 信息科学与技术学院gydF4y2B一个 海南大学gydF4y2B一个 海口570228gydF4y2B一个 中国gydF4y2B一个 hainu.edu.cngydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 物理系gydF4y2B一个 华东科技大学gydF4y2B一个 上海200237gydF4y2B一个 中国gydF4y2B一个 ecust.edu.cngydF4y2B一个 2014年gydF4y2B一个 28gydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 2014年gydF4y2B一个 2014年gydF4y2B一个 01gydF4y2B一个 01gydF4y2B一个 2014年gydF4y2B一个 07年gydF4y2B一个 04gydF4y2B一个 2014年gydF4y2B一个 29日gydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 2014年gydF4y2B一个 2014年gydF4y2B一个 版权©2014 Jian-Qiang太阳et al。gydF4y2B一个 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。gydF4y2B一个

扩散方程在空间方向离散,转化为常微分方程。常微分方程是解决李群方法和显式龙格-库塔方法。数值结果表明,李群方法比相应的显式龙格-库塔方法更稳定。gydF4y2B一个

 1。介绍gydF4y2B一个

解决僵硬的系统深入研究的主题的文献,包括线性隐式方法,semi-implicit方法,time-splitting方法,投影方法,多尺度方法,积分因子的方法,指数时差(等)方法,和李群方法(gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个 12gydF4y2B一个]。李群方法已经由Munthe-Kaas, Iserles Nørsett,他们的合作者。一般来说,如果一个谎言gydF4y2B一个 GgydF4y2B一个 行为自由和轨迹上多方面的gydF4y2B一个 米gydF4y2B一个 ,然后一个微分方程gydF4y2B一个 米gydF4y2B一个 唯一地确定一个微分方程gydF4y2B一个 GgydF4y2B一个 。因此,替换原有的微分gydF4y2B一个 米gydF4y2B一个 由李代数的等价的微分方程gydF4y2B一个 ggydF4y2B一个 允许一个应用适当的李群集成商。李群方法有很多,比如一下mangu方法,RKMK方法,带的方法。李群方法可以保存数值微分方程的解决方案相同的集合管,也有很好的稳定性和准确性的经典数值方法(gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个,gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个,gydF4y2B一个 11gydF4y2B一个,gydF4y2B一个 13gydF4y2B一个,gydF4y2B一个 14gydF4y2B一个]。摘要一般非线性微分方程的指数积分器的方法提出了基于李群复写的方法和应用于扩散方程。gydF4y2B一个

本文的组织结构如下:在部分gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个李群方法和指数时间差分法。一般非线性微分方程的指数积分器的方法。节gydF4y2B一个 3gydF4y2B一个明确拟线性扩散方程是解决指数积分器的方法和显式龙格-库塔方法。节gydF4y2B一个 4gydF4y2B一个,Allen-Cahn方程指数积分器由明确的解决方法和显式龙格-库塔方法。最后,得到了一些结论。gydF4y2B一个

 2。指数积分器gydF4y2B一个

假设gydF4y2B一个 米gydF4y2B一个 是多方面的。存在一个李代数gydF4y2B一个 ggydF4y2B一个 用一个谎言支架gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ·gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ·gydF4y2B一个 ]gydF4y2B一个 (左)李代数的行动gydF4y2B一个 λgydF4y2B一个 :gydF4y2B一个 ggydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 米gydF4y2B一个 →gydF4y2B一个 米gydF4y2B一个 ,一个函数gydF4y2B一个 fgydF4y2B一个 :gydF4y2B一个 RgydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 米gydF4y2B一个 →gydF4y2B一个 ggydF4y2B一个 这样的方程gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ∈gydF4y2B一个 米gydF4y2B一个 可以写成gydF4y2B一个 (1)gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ′gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 λgydF4y2B一个 *gydF4y2B一个 fgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 pgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 在哪里gydF4y2B一个 (2)gydF4y2B一个 λgydF4y2B一个 *gydF4y2B一个 :gydF4y2B一个 ggydF4y2B一个 ⟶gydF4y2B一个 ℵgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 米gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 是一个同态。左边的代数操作gydF4y2B一个 λgydF4y2B一个 :gydF4y2B一个 ggydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 米gydF4y2B一个 →gydF4y2B一个 米gydF4y2B一个 分配给的参数gydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 ∈gydF4y2B一个 ggydF4y2B一个 和gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ∈gydF4y2B一个 米gydF4y2B一个 的解决方案gydF4y2B一个 (3)gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 λgydF4y2B一个 *gydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 在时间gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 与初始条件gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 和一些边界条件。有自由选择功能gydF4y2B一个 fgydF4y2B一个 李代数,相应的微分方程gydF4y2B一个 (4)gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 dexpinvgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 fgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 λgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 OgydF4y2B一个 。gydF4y2B一个 李代数是选择相应功能简单的向量场gydF4y2B一个 米gydF4y2B一个 这很容易取幂。李代数之间的通信和向量场gydF4y2B一个 米gydF4y2B一个 将一个对一个。龙格-库塔方法应用于解决(gydF4y2B一个 4gydF4y2B一个)。它是著名的RKMK方法(gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

让gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 jgydF4y2B一个 和gydF4y2B一个 bgydF4y2B一个 jgydF4y2B一个 的系数gydF4y2B一个 年代gydF4y2B一个 阶段,gydF4y2B一个 问gydF4y2B一个 经典龙格-库塔法,让gydF4y2B一个 cgydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 ∑gydF4y2B一个 jgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 年代gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 jgydF4y2B一个 。该算法集成(gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个)gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 来gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 :gydF4y2B一个

集gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 pgydF4y2B一个 。gydF4y2B一个

为gydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1、2gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 …gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 年代gydF4y2B一个 (5)gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ∑gydF4y2B一个 jgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 年代gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 jgydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 ~gydF4y2B一个 jgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 fgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 cgydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 λgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 ~gydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 dexpinvgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 问gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 问gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 的gydF4y2B一个 订单gydF4y2B一个 的gydF4y2B一个 RKgydF4y2B一个 方法gydF4y2B一个 。gydF4y2B一个 结束gydF4y2B一个 (6)gydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ∑gydF4y2B一个 jgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 年代gydF4y2B一个 bgydF4y2B一个 jgydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 ~gydF4y2B一个 jgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 λgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 在哪里gydF4y2B一个 (7)gydF4y2B一个 dexpinvgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 问gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 ∑gydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 !gydF4y2B一个 问gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 BgydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 !gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 ]gydF4y2B一个 和gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 vgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 。数量gydF4y2B一个 问gydF4y2B一个 表示潜在的顺序和龙格-库塔方法gydF4y2B一个 BgydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 是gydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 th伯努利数(gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

一个常微分方程组通常是获得gydF4y2B一个 (8)gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 lgydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ∈gydF4y2B一个 RgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 在哪里gydF4y2B一个 lgydF4y2B一个 ∈gydF4y2B一个 RgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 。描述的要领设计方法可以解决(gydF4y2B一个 8gydF4y2B一个)。积分方程在一个时间步gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 来gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ,我们可以得到gydF4y2B一个 (9)gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 lgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 lgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ∫gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 egydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 lgydF4y2B一个 年代gydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 年代gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 年代gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 年代gydF4y2B一个 。gydF4y2B一个 方程(gydF4y2B一个 9gydF4y2B一个)是准确的,各种要领设计方案来自近似积分。假设gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 是近似的gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,并给出一阶等方法gydF4y2B一个 (10)gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 lgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 lgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 lgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 。gydF4y2B一个 高阶要领设计方案也可以发现(gydF4y2B一个 7gydF4y2B一个,gydF4y2B一个 9gydF4y2B一个,gydF4y2B一个 10gydF4y2B一个]。一些初步的数值研究由一组材料宾夕法尼亚州立大学的科学家们指出,高阶等方案可以几个订单的大小比低阶的semi-implicit方法在一些微观组织演变的模拟(gydF4y2B一个 8gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

从本质上说,与时间有关的非线性方程组,要领设计方案提供了一个系统的耦合非线性隐式和显式治疗的可能的集成硬线性方程的一部分,而实现高精度和保持良好的稳定性。的指数积分器(gydF4y2B一个 8gydF4y2B一个)构建基于李群方法导管的想法。一般来说,(gydF4y2B一个 8gydF4y2B一个)可以写成gydF4y2B一个 (11)gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ′gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ∈gydF4y2B一个 RgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 在哪里gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 :gydF4y2B一个 RgydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 RgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 →gydF4y2B一个 RgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 。此外,gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 应该是局部李普希茨函数(确保存在唯一性)。经典的四阶显式RK方案(gydF4y2B一个 11gydF4y2B一个)是gydF4y2B一个 (12)gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 YgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 YgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 YgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 YgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 YgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 YgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 6gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 6gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 。gydF4y2B一个

根据豪斯多夫的经典结果,解决方案(gydF4y2B一个 11gydF4y2B一个)是gydF4y2B一个 (13)gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 :gydF4y2B一个 RgydF4y2B一个 →gydF4y2B一个 RgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 初值问题的解决方案吗gydF4y2B一个 (14)gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ′gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 经验值gydF4y2B一个 ⁡gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 YgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 OgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 在哪里gydF4y2B一个 (15)gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 经验值gydF4y2B一个 ⁡gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 ]gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 12gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 ]gydF4y2B一个 ]gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 ∑gydF4y2B一个 jgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ∞gydF4y2B一个 BgydF4y2B一个 pgydF4y2B一个 pgydF4y2B一个 !gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 pgydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 ]gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 ]gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 。采取gydF4y2B一个 pgydF4y2B一个 对应的数量和应用龙格-库塔方法(gydF4y2B一个 14gydF4y2B一个),我们可以得到的数值解(gydF4y2B一个 14gydF4y2B一个)。的数值解(gydF4y2B一个 11gydF4y2B一个)。相应的gydF4y2B一个 pgydF4y2B一个 订单指数积分器(gydF4y2B一个 11gydF4y2B一个)是gydF4y2B一个 (16)gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 ∑gydF4y2B一个 lgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 pgydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 lgydF4y2B一个 FgydF4y2B一个 lgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 FgydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 经验值gydF4y2B一个 ⁡gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 pgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 cgydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 经验值gydF4y2B一个 ⁡gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 ∑gydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 pgydF4y2B一个 FgydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 经验值gydF4y2B一个 ⁡gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 为gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 ∈gydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 这是显式提供底层RK计划是显式的。gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 经验值gydF4y2B一个 ⁡gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 pgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 是gydF4y2B一个 pgydF4y2B一个 订单的截断误差gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 经验值gydF4y2B一个 ⁡gydF4y2B一个 XgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 。一个显式的四阶指数积分器(gydF4y2B一个 11gydF4y2B一个)如下:gydF4y2B一个 (17)gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 OgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ]gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ]gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 一个gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 VgydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ]gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ΔgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 6gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 6gydF4y2B一个 KgydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 ΔgydF4y2B一个 ygydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 。gydF4y2B一个 集合管上的李群方法,一般非线性微分方程的指数积分器方法相应的龙格-库塔方法相同的精度。在随后的章节中,四阶显式指数积分器(EEI)方法和相应的显式龙格-库塔(ERK)方法应用于扩散方程。gydF4y2B一个

 3所示。数值实验我:拟线性对流扩散方程gydF4y2B一个

拟线性对流扩散方程gydF4y2B一个 (18)gydF4y2B一个 ∂gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 ∂gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 ∂gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 ∂gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 再保险gydF4y2B一个 ∂gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 ∂gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 方程是一维拟线性抛物型微分方程,这被称为汉堡的方程,在那里gydF4y2B一个 再保险gydF4y2B一个 >gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 是一个常数代表液体的运动粘度。汉堡的方程首次出现在一个纸贝特曼和他给了一个特殊的解决方案(gydF4y2B一个 18gydF4y2B一个)。非凡系列的论文从1939年到1965年,汉堡的湍流研究的各个方面和他使用它作为一个湍流模型的研究。科尔研究汉堡的方程的一般性质,概述了它的各种应用程序的一些gydF4y2B一个 15gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个 17gydF4y2B一个]。与初始条件gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 罪gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 πgydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ≤gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 ≤gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 >gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 的精确解(gydF4y2B一个 18gydF4y2B一个)是gydF4y2B一个 (19)gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 πgydF4y2B一个 再保险gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ∑gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 ∞gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 πgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 /gydF4y2B一个 再保险gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 再保险gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 πgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 罪gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 πgydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 hhhhhhhhhgydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 再保险gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 πgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ∑gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 ∞gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 πgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 /gydF4y2B一个 再保险gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 再保险gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 πgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 因为gydF4y2B一个 ⁡gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 πgydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ∑gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 ∞gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 πgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 /gydF4y2B一个 再保险gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ∑gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 ∞gydF4y2B一个 egydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 πgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 /gydF4y2B一个 RgydF4y2B一个 egydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 RgydF4y2B一个 egydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 πgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 罪gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 πgydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 和gydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 贝塞尔函数。最近提出了一些汉堡的方程数值方法(gydF4y2B一个 15gydF4y2B一个- - - - - -gydF4y2B一个 17gydF4y2B一个]。gydF4y2B一个

汉堡的方程可以转化为非线性常微分方程离散化空间的方向。汉堡的空间导数可以离散方程如下:gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ∂gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 /gydF4y2B一个 ∂gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 |gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 /gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ΔgydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 。gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ∂gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 /gydF4y2B一个 ∂gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 |gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 /gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ΔgydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 。因此,变量gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 可以满足gydF4y2B一个 (20)gydF4y2B一个 ∂gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ΔgydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 再保险gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 我gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ΔgydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 。gydF4y2B一个 假设gydF4y2B一个 UgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 …gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,(gydF4y2B一个 20.gydF4y2B一个)可以写成gydF4y2B一个 (21)gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 UgydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 BgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 UgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 UgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 (22)gydF4y2B一个 BgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 UgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 ηgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ΔgydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋱gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 μgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 cgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋱gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 cgydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 cgydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 在哪里gydF4y2B一个 μgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 /gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ΔgydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ηgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 /gydF4y2B一个 再保险gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 cgydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 …gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 cgydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 。千禧年代法和经典ERK法应用于(gydF4y2B一个 21gydF4y2B一个)。gydF4y2B一个

在表gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个,我们比较ERK方法的稳定性和千禧年代的方法gydF4y2B一个 再保险gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 One hundred.gydF4y2B一个 。收敛步骤与不同空间步骤如表所示gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个。收敛步骤获得的长度计算三百步决定是否收敛步长。从表gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个,我们可以看到,千禧年代方法比ERK方法具有更好的稳定性。在表gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个我们比较全球ERK法和千禧年代法的错误gydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 One hundred.gydF4y2B一个 和gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 0.002gydF4y2B一个 。全球错误被定义为gydF4y2B一个 EgydF4y2B一个 rgydF4y2B一个 rgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 马克斯gydF4y2B一个 ⁡gydF4y2B一个 |gydF4y2B一个 YgydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 YgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 ΔgydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 |gydF4y2B一个 ,在那里gydF4y2B一个 YgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 ΔgydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 确切的解决方案在哪里gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 ngydF4y2B一个 ΔgydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 。它们有相同的精度。在图gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个汉堡的方程的数值解gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ∈gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 0,3gydF4y2B一个 ]gydF4y2B一个 是通过ERK法和千禧年代法gydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 One hundred.gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 再保险gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 One hundred.gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 0.005gydF4y2B一个 。图gydF4y2B一个 1(一)gydF4y2B一个通过ERK方法和图吗gydF4y2B一个 1 (b)gydF4y2B一个是千禧年代获得的方法。从图gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个,我们可以有相同的精度。gydF4y2B一个

ERK的稳定性比较方法和千禧年代的方法。gydF4y2B一个

的兵gydF4y2B一个 千禧年代gydF4y2B一个
NgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 50gydF4y2B一个 0.028gydF4y2B一个 0.10gydF4y2B一个
NgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 One hundred.gydF4y2B一个 0.007gydF4y2B一个 0.080gydF4y2B一个
NgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 200年gydF4y2B一个 0.0016gydF4y2B一个 0.025gydF4y2B一个
NgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 400年gydF4y2B一个 0.0005gydF4y2B一个 0.0075gydF4y2B一个

数值解和精确解的误差在不同时期通过ERK方法和千禧年代的方法。gydF4y2B一个

的兵gydF4y2B一个 千禧年代gydF4y2B一个
tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 5.041gydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 5gydF4y2B一个 5.044gydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 5gydF4y2B一个
tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 5gydF4y2B一个 8.765gydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 8.764gydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 4gydF4y2B一个
tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 10gydF4y2B一个 4.831gydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 4.831gydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 3gydF4y2B一个
tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 15gydF4y2B一个 1.265gydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 1.265gydF4y2B一个 ×gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个

汉堡的方程的数值解gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ∈gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 0,3gydF4y2B一个 ]gydF4y2B一个 通过ERK法和千禧年代法获得。gydF4y2B一个

 4所示。数值实验2:Allen-Cahn方程gydF4y2B一个

Allen-Cahn方程gydF4y2B一个 (23)gydF4y2B一个 ∂gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 ∂gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 εgydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 与gydF4y2B一个 εgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 0.01gydF4y2B一个 和初始条件gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 0.53gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 0.47gydF4y2B一个 罪gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1.5gydF4y2B一个 πgydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 。假设gydF4y2B一个 UgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 …gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,(gydF4y2B一个 23gydF4y2B一个)可以被离散成gydF4y2B一个 (24)gydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 UgydF4y2B一个 dgydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 BgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 UgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 UgydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 (25)gydF4y2B一个 BgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 UgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 εgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 ΔgydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋱gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 +gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 cgydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 cgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋱gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 ⋮gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 cgydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 ⋯gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 cgydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 在哪里gydF4y2B一个 cgydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 ugydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 和gydF4y2B一个 kgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 …gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 。千禧年代法和经典ERK法应用于(gydF4y2B一个 24gydF4y2B一个)。gydF4y2B一个

在表gydF4y2B一个 3gydF4y2B一个犯错的,我们比较稳定属性方法和千禧年代方法通过求解(gydF4y2B一个 24gydF4y2B一个)。当gydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 是不同的,收敛步骤与不同的空间步骤所示表吗gydF4y2B一个 3gydF4y2B一个。收敛步骤获得的长度计算三百步决定是否收敛步长。从表gydF4y2B一个 3gydF4y2B一个,我们可以看到,千禧年代方法比ERK方法具有更好的稳定性。在表gydF4y2B一个 4gydF4y2B一个的错误,我们比较数值解gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 0.4gydF4y2B一个 与gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 0.01gydF4y2B一个 通过ERK千禧年代获得的方法和数值解的方法。误差gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 8gydF4y2B一个 在不同的时间;错误的是gydF4y2B一个 OgydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 )gydF4y2B一个 。我们可以得出结论,它们有相同的精度。在图gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个Allen-Cahn方程的数值解gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ∈gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 0200年gydF4y2B一个 ]gydF4y2B一个 通过ERK法和千禧年代法了吗gydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 One hundred.gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 hgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 0.01gydF4y2B一个 ,gydF4y2B一个 xgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 0.4gydF4y2B一个 。图gydF4y2B一个 2(一个)gydF4y2B一个是通过ERK的方法。图gydF4y2B一个 2 (b)gydF4y2B一个是千禧年代获得的方法。从图gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个,我们可以得到数值结果是相同的。我们也可以得出这样的结论:这两种方法具有相同的精度。gydF4y2B一个

ERK的稳定性比较方法和千禧年代的方法。gydF4y2B一个

的兵gydF4y2B一个 千禧年代gydF4y2B一个
NgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 50gydF4y2B一个 0.1gydF4y2B一个 0.7gydF4y2B一个
NgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 One hundred.gydF4y2B一个 0.02gydF4y2B一个 0.25gydF4y2B一个
NgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 200年gydF4y2B一个 0.006gydF4y2B一个 0.1gydF4y2B一个
NgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 400年gydF4y2B一个 0.0015gydF4y2B一个 0.06gydF4y2B一个

数值解的误差在不同时间获得的ERK方法和千禧年代的方法。gydF4y2B一个

的兵gydF4y2B一个 千禧年代gydF4y2B一个 犯错gydF4y2B一个
tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 5gydF4y2B一个 0.50893803918253gydF4y2B一个 0.50893804639290gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 8gydF4y2B一个
tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 10gydF4y2B一个 0.49120333210012gydF4y2B一个 0.49120334154949gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 8gydF4y2B一个
tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 15gydF4y2B一个 0.46413587595252gydF4y2B一个 0.46413588834075gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 8gydF4y2B一个
tgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 20.gydF4y2B一个 0.42975156048078gydF4y2B一个 0.42975157699815gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 0gydF4y2B一个 - - - - - -gydF4y2B一个 8gydF4y2B一个

Allen-Cahn方程的数值解gydF4y2B一个 tgydF4y2B一个 ∈gydF4y2B一个 (gydF4y2B一个 0200年gydF4y2B一个 ]gydF4y2B一个 通过这两种方法gydF4y2B一个 NgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 One hundred.gydF4y2B一个 和gydF4y2B一个 εgydF4y2B一个 =gydF4y2B一个 0.01gydF4y2B一个 。gydF4y2B一个

 5。结论gydF4y2B一个

摘要千禧年代方法基于李群方法提出的想法。千禧年代方法和相应的ERK方法被应用到汉堡的方程和Allen-Cahn方程。数值结果表明,千禧年代比相应的ERK方法方法有更好的稳定性。这两种方法具有相同的精度。很明显,显式解析法比ERK法在计算一些僵硬的常微分方程。gydF4y2B一个

 利益冲突gydF4y2B一个

作者宣称没有利益冲突有关的出版。gydF4y2B一个

 承认gydF4y2B一个

这项工作得到了国家自然科学基金(11161017和11161017)。gydF4y2B一个

 Munthe-KaasgydF4y2B一个 H。gydF4y2B一个 龙格-库塔方法对李群gydF4y2B一个 一些数值数学gydF4y2B一个 1998年gydF4y2B一个 38gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 92年gydF4y2B一个 111年gydF4y2B一个 2 - s2.0 - 0347669558gydF4y2B一个 10.1007 / BF02510919gydF4y2B一个 ZBL0904.65077gydF4y2B一个 IserlesgydF4y2B一个 一个。gydF4y2B一个 Munthe-KaasgydF4y2B一个 H。gydF4y2B一个 NørsettgydF4y2B一个 s P。gydF4y2B一个 ZannagydF4y2B一个 一个。gydF4y2B一个 李群方法gydF4y2B一个 Acta NumericagydF4y2B一个 2000年gydF4y2B一个 9gydF4y2B一个 215年gydF4y2B一个 365年gydF4y2B一个 10.1017 / S0962492900002154gydF4y2B一个 ZBL1064.65147gydF4y2B一个 库珀gydF4y2B一个 g . J。gydF4y2B一个 龙格-库塔方法对轨道的稳定性问题gydF4y2B一个 IMA数值分析杂志》上gydF4y2B一个 1987年gydF4y2B一个 7gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 13gydF4y2B一个 2 - s2.0 - 0002211850gydF4y2B一个 10.1093安装7.1.1 imanum /gydF4y2B一个 ZBL0624.65057gydF4y2B一个 克劳奇gydF4y2B一个 p E。gydF4y2B一个 格罗斯曼gydF4y2B一个 R。gydF4y2B一个 常微分方程的数值积分流形gydF4y2B一个 非线性科学杂志》gydF4y2B一个 1993年gydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 1gydF4y2B一个 33gydF4y2B一个 2 - s2.0 - 51249166420gydF4y2B一个 10.1007 / BF02429858gydF4y2B一个 ZBL0798.34012gydF4y2B一个 IserlesgydF4y2B一个 一个。gydF4y2B一个 求解线性常微分方程迭代换向片的指数gydF4y2B一个 Numerische MathematikgydF4y2B一个 1984年gydF4y2B一个 45gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 183年gydF4y2B一个 199年gydF4y2B一个 2 - s2.0 - 0001351202gydF4y2B一个 10.1007 / BF01389464gydF4y2B一个 ZBL0562.65046gydF4y2B一个 卡尔沃gydF4y2B一个 m P。gydF4y2B一个 IserlesgydF4y2B一个 一个。gydF4y2B一个 ZannagydF4y2B一个 一个。gydF4y2B一个 户田拓夫晶格方程保守的方法gydF4y2B一个 IMA数值分析杂志》上gydF4y2B一个 1999年gydF4y2B一个 19gydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 509年gydF4y2B一个 523年gydF4y2B一个 2 - s2.0 - 0033239109gydF4y2B一个 10.1093 / imanum / 19.4.509gydF4y2B一个 ZBL0963.65130gydF4y2B一个 考克斯gydF4y2B一个 s M。gydF4y2B一个 马修斯gydF4y2B一个 p C。gydF4y2B一个 指数时间差分僵硬的系统gydF4y2B一个 计算物理学杂志gydF4y2B一个 2002年gydF4y2B一个 176年gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 430年gydF4y2B一个 455年gydF4y2B一个 2 - s2.0 - 0036501083gydF4y2B一个 10.1006 / jcph.2002.6995gydF4y2B一个 ZBL1005.65069gydF4y2B一个 陈gydF4y2B一个 l Q。gydF4y2B一个 WolvertongydF4y2B一个 C。gydF4y2B一个 VaithyanathangydF4y2B一个 V。gydF4y2B一个 刘gydF4y2B一个 Z。gydF4y2B一个 固态相变和微观结构演化建模gydF4y2B一个 夫人报告gydF4y2B一个 2001年gydF4y2B一个 26gydF4y2B一个 197年gydF4y2B一个 292年gydF4y2B一个 AkrivisgydF4y2B一个 G。gydF4y2B一个 CrouzeixgydF4y2B一个 M。gydF4y2B一个 MakridakisgydF4y2B一个 C。gydF4y2B一个 Implicit-explicit多步拟线性抛物方程的方法gydF4y2B一个 Numerische MathematikgydF4y2B一个 1999年gydF4y2B一个 82年gydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 521年gydF4y2B一个 541年gydF4y2B一个 2 - s2.0 - 0033439131gydF4y2B一个 10.1007 / s002110050429gydF4y2B一个 ZBL0936.65118gydF4y2B一个 渭南gydF4y2B一个 E。gydF4y2B一个 异构多尺度的分析常微分方程的方法gydF4y2B一个 在数学科学通信gydF4y2B一个 2003年gydF4y2B一个 3gydF4y2B一个 423年gydF4y2B一个 436年gydF4y2B一个 ZBL1088.65552gydF4y2B一个 ZannagydF4y2B一个 一个。gydF4y2B一个 搭配清爽搭配拿来和马格努斯扩张gydF4y2B一个 暹罗在数值分析》杂志上gydF4y2B一个 1999年gydF4y2B一个 36gydF4y2B一个 4gydF4y2B一个 1145年gydF4y2B一个 1182年gydF4y2B一个 2 - s2.0 - 0001294045gydF4y2B一个 10.1137 / S0036142997326616gydF4y2B一个 ZBL0936.65092gydF4y2B一个 风格的作品gydF4y2B一个 l R。gydF4y2B一个 周杰伦gydF4y2B一个 l . O。gydF4y2B一个 日元gydF4y2B一个 J。gydF4y2B一个 高振荡微分方程的数值解gydF4y2B一个 Acta NumericagydF4y2B一个 1997年gydF4y2B一个 6gydF4y2B一个 437年gydF4y2B一个 483年gydF4y2B一个 10.1017 / S0962492900002750gydF4y2B一个 ZBL0887.65072gydF4y2B一个 头发gydF4y2B一个 E。gydF4y2B一个 美国万纳公司gydF4y2B一个 G。gydF4y2B一个 解常微分方程2:僵硬和微分代数问题gydF4y2B一个 1999年gydF4y2B一个 纽约,纽约,美国gydF4y2B一个 施普林格gydF4y2B一个 秦gydF4y2B一个 m Z。gydF4y2B一个 王gydF4y2B一个 y S。gydF4y2B一个 还利用偏微分方程的算法gydF4y2B一个 2012年gydF4y2B一个 浙江科学技术出版社出版gydF4y2B一个 米塔尔gydF4y2B一个 r . C。gydF4y2B一个 SinghalgydF4y2B一个 P。gydF4y2B一个 汉堡的方程的数值解gydF4y2B一个 通信工程中的数值方法gydF4y2B一个 1993年gydF4y2B一个 9gydF4y2B一个 163年gydF4y2B一个 175年gydF4y2B一个 2 - s2.0 - 0027594165gydF4y2B一个 KutluaygydF4y2B一个 年代。gydF4y2B一个 BahadirgydF4y2B一个 a。R。gydF4y2B一个 OzdeşgydF4y2B一个 一个。gydF4y2B一个 一维汉堡的方程的数值解:显性和exact-explicit有限差分方法gydF4y2B一个 计算和应用数学杂志》上gydF4y2B一个 1999年gydF4y2B一个 103年gydF4y2B一个 2gydF4y2B一个 251年gydF4y2B一个 261年gydF4y2B一个 2 - s2.0 - 0039728591gydF4y2B一个 10.1016 / s0377 - 0427 (98) 00261 - 1gydF4y2B一个 ZBL0942.65094gydF4y2B一个 本顿gydF4y2B一个 e·R。gydF4y2B一个 PlatzmangydF4y2B一个 g·W。gydF4y2B一个 一个表解决one-deimensional汉堡的方程gydF4y2B一个 季度的应用数学gydF4y2B一个 1972年gydF4y2B一个 30.gydF4y2B一个 195年gydF4y2B一个 212年gydF4y2B一个