广义梁方程的分岔问题

摘要

摘要研究了一类广义梁方程的分岔问题，并通过统一的、初等的方法证明了单参数族问题有两个分岔点。主要结果的证明在很大程度上依赖于微积分事实，而不是非线性泛函分析中的李亚普诺夫-施密特约简技术或莫尔斯指数理论等复杂论证。

1.介绍及主要成果

在物理学中，有长度的弹性梁的振动一个端点铰接在，在自由边缘处被压缩()的强度与…成正比，是由所谓的梁方程控制的 参见[1］．当“力”作用时，光束保持其形状。足够小，但它一次就会弯曲超过某一数值。在数学中，这些值的集合可以通过利用齐次Neumann边值问题来研究: 在详细说明我们将在BVP (2)，我们将这个问题嵌入到一类边值问题中;也就是说，我们引入了一系列的问题 在哪里，与，属于的某个非空子集,是未知的;这个函数满足:存在这样(H1) ,尽管，(H2) 的

备注1。我们称发生在BVP中的方程为(3.)“广义”梁方程;这种方程被广泛地用于描述各种物理现象。

备注2。它直接从假设(5),从(H1)中是周期。

备注3。很容易看出这个函数，，满足假设(H1)-(H2)，．

非常,BVP (3.)承认这个简单的解决方法对于任何．在这里，我们集中讨论BVP (3.)．分岔点由与微分算子相关联的特征值决定．在这种情况下，(3.)可能会改变。然而，几乎没有做进一步的工作来确定在这些点上解决方案的数量是否发生变化。本文给出了一类非线性问题的一个判据。

定理4。让与．假设(H1)——(H2)。然后 为BVP (3.)．此外,(3.)有非常数解当且仅当

非线性方程的分岔断言的证明，往往包含克拉斯诺塞尔斯基定理和Rabinowitz关于分岔定理等拓扑论证。这些论证通常假设相关的线性特征值问题的代数多重性是奇的;参见[1- - - - - -3.及其参考文献。从那时起，一些作者也试图消除这种奇怪的假设;参见[1，2，4］．特别是马和王[2[发展了一种复杂的算法来证明非线性方程的稳态分岔断言;这个算法不假设代数多重性的奇性。参见[5- - - - - -13，以便对分支问题进行更多的研究。证明定理的方法4做不在代数重性上假定这样的奇偶条件。

事实上，BVP (2)是Sturm-Liouville问题或椭圆型偏微分方程边值问题的一个特例。因此,BVP (2)，已经在文献中广泛地研究了满足某些规定性质的解的存在性，解的定性性质，等等;参见[14- - - - - -17以及其中所引用的深刻参考。

本文的其余部分组织如下。节2我们引入一些非线性泛函分析，并将问题形式化3.给出了定理的证明4．

2.BVP (2）

在本节中，我们主要对关于BVP (2)，可视为BVP (3.)．实际上，BVP (2)在文献中经常作为例证来检验所提出的抽象分岔问题求解方法;参见[1，12，13，18］．

特别是马和王[18]提出了一种抽象的方法，稍微推广了Nirenberg之前的方法[1］．在给出他们的方法时，作者固定了两个巴拿赫空间和的不断地密集地嵌入．他们所关心的抽象问题很难懂 在哪里，，是一类有界线性算子和是连续映射族。他们的假设如下。(H3) 形式是与的线性拓扑同构到和为紧线性算子;因此由精确可数的多个特征值组成(按代数乘数列出)的；存在的 (H4)对于任何，存在一个这样 是那种意义上的分析吗 是连续的，对称的吗—构成上．

他们关心的确切问题是是否存在以这样的方式给予，如果与在…附近是BVP的解决方案集合(9),然后 如果存在那么，哪一个符合上述要求呢为非线性问题的分岔点(9）;此外,问题(9)被称为分叉的．

关于(9)，他们证明了以下事实。

假设(H3)——(H4)。然后为非线性问题的候选分岔点(9)．

上述定理的证明载于[18]采用了李亚普诺夫-施密特约简法、莫尔斯指数理论等复杂的方法。

马和王[18]利用上述定理得到了BVP (2)．事实上，是他们先写的，，,，从而重铸BVP (2)变成其中一种形式(9)，其次他们解决了BVP (2)，利用他们的抽象结果。

这里我们想使用Ma和Wang的研究结果[18]求解BVP (3.）;然而，很明显，非线性反应排除我们对这些结果的应用。在下一节中，我们将分析BVP (3.)。

3.主要结果的证明

在本节中，我们提出两个引理并证明定理4基于他们。在我们的证明中使用了各种微积分定理和初等等式 也被反复使用。

为了方便，我们写

这个函数严格地增加，,．是周期性的,因为 由于的话2．

引理5。这个函数是严格递增且可微的吗,导 此外,

证明。自和是积极的,该值与可以直接从(15)，因此(17)。因此, 注意的是,在洛必达法则证明了这一点
因此(的另一半)17)。使用(17)和(14)给(18)．

引理6。定义 为，上面的积分收敛，函数严格地增加．除此之外,

证明。改变的变量在积分中，我们得到 由支配收敛定理和(18)时，被积函数的右边等于 因此
这个函数严格地增加因为是严格递增的根据我们的假设是严格减少的(6)．因此价值(24)增加所做的事。请注意,为．如果,然后
因此为实值且(25)意味着严格地增加．最后,等式(25), (17)，并由支配收敛定理证明 证据是完整的。

定理的证明4．假设是(3.)．一组是打开和非空在因此是开区间的一个不相交的联合和为被视为“开放区间”在)．让是这样一个开放的间隔。然后是非常数的和．我们会展示的，相当于(8)．
由于可微函数具有中值性质在，我们可以假设在不失一般性。所以严格地增加与逆函数上定义．使用(14)和微分链式法则表明 条件(3.)意味着
两边积分(29)及使用(28)，我们明白 在恒定的．我们假设不失一般性。然后 与．因此,
作为前文所述，函数与期,减少，并增加．等式(30.)和(32)产量 这个加上(33的性质表明存在和这样，,．因此, 自是一个偶函数，它由(32),
请注意,严格地增加(见引理6)．因此 这意味着(8)，也就是定理的一半4是证明。
对于另一半，为了不失一般性，我们假设，并假定(8)持有;也就是说, 我们证明(2)有一个非常数解。
首先，它是从(27)存在这样 让
定义一个连续函数在通过和 定义(21)的收益率 除此之外, 区分(的两面45)及使用(28),我们得到 从(43)，就可以由此类推 定义．然后(44)和(45)说, 从(46)和假设(H1)，我们看到了 和类似的．通过定义当,函数被扩展并因此被定义在这样 证据是完整的。

例7 (BVP (2重返))。我们再次关注BVP (2）;也就是说, 问题有非常数解当且仅当．的确，我们看到了这一点 ,对于一些， 请注意,(52)是微不足道的，因为

注8。本文解决了一类半线性椭圆型方程Neumann边值问题的分支问题;也就是说, 在此边值问题中出现的控制方程在非线性相互作用采用这种形式的意义上推广了经典梁方程而不是．更重要的是，经典梁方程的分岔问题可以用非线性分析中的抽象分岔定理来解决，而广义梁方程则可以不是。我们提供了一个统一的方法来理解这类问题。事实上，我们的方法是相当普遍和非常初级的。
值得一提的是，与梁方程相关的分岔问题与类型(3.)已被广泛研究;参见[19- - - - - -22以及其中所引用的深刻参考。文献中经常使用的方法与我们的方法有很大的不同，它们作为功能分析中先进而复杂的知识的基础。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

致谢

作者感谢匿名推荐人提供的宝贵建议。

参考文献

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