raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

AMP

数学物理的发展

1687 - 9139 1687 - 9120

Hindawi出版公司

10.1155 / 2014/635731

635731年

研究文章

分岔问题广义梁方程

王 Fosheng 韦德里卡多

数学系

四川大学

成都610064 中国 scu.edu.cn

2014年

22 12 2014年

2014年 04 10 2014年 04 12 2014年 22 12 2014年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

我们研究一类广义梁分岔问题方程,证明了单参数家庭的问题有两个分叉点通过一个统一的基本方法。主要结果的证明在很大程度上依赖于微积分的事实而不是Lyapunov-Schmidt减排技术等复杂的参数或莫尔斯指数从非线性泛函分析理论。

1。介绍和主要结果</tgydF4y2Baitle> 在物理学中,一个弹性梁的振动,长度<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和一个端点铰链<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,这是压缩自由边(<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>)力的强度成正比<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>束,是由所谓的方程<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 在</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo class="right"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>参见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B19"> 1</xgydF4y2Baref>]。梁保持其形状时,“力”<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是足够小的,但它将会扣一次<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>超过一定值。在数学中,设置的值可以通过利用齐次纽曼研究边值问题:<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (2)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 在</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>之前声明的属性,我们将探讨在BVP (<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xgydF4y2Baref>),我们这个问题嵌入到一个家庭的边值问题;我们介绍的家庭问题<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (3)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∘</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 在</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo class="right"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>与<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>属于一个特定的非空的子集<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>是未知的;这个函数<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ;</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>满足以下:存在一个<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>这样<l是t><l是t- - - - - -item> <label>(H1)</l一个bel> </list-item> </list> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>,尽管<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<l是t- - - - - -item> <label>(H2)</l一个bel> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>的<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ∀</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∋</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo id="ECAABAAABAAAAA0EB0AA"> ⟼</gydF4y2Bamml:mo> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="ECAABAAABAAAAA0EB0AA"></mml:mo> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo class="right"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 是</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 一个</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 凹</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 函数</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </list-item> <statement id="rem1"> <title>备注1。</tgydF4y2Baitle> 我们所说的方程发生在BVP (<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2Baref>)“广义”梁方程;这样的方程被广泛用于描述各种各样的物理现象。</gydF4y2Bastatement> <statement id="rem2"> <title>备注2。</tgydF4y2Baitle> 它紧跟着假说(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq5"> 5</xgydF4y2Baref>),<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>和(H1)<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>周期。</gydF4y2Bastatement> <statement id="rem3"> <title>备注3。</tgydF4y2Baitle> 很容易看到,函数<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,满足假设(H1)——(H2)<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bastatement> 非常,BVP (<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2Baref>)承认平凡解<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>对于任何<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。我们专注于BVP分叉理论(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2Baref>)。分岔点是由特征值与微分算子<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∘</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。在这样的点,解决方案的数量(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2Baref>)可能会改变。然而,很少的进一步的工作已经完成,以确定解决方案的数量变化在这些点。在本文中,我们给出这样一个标准一类非线性问题。<gydF4y2Bastatement id="thm1"> <title>定理4。</tgydF4y2Baitle> 让<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>与<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。假设(H1)——(H2)。然后<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> ±</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>是两个分叉点BVP (<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2Baref>)。此外,(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2Baref>当且仅当)已经非常数的解决方案<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> 非线性方程的分岔断言的证明通常拓扑参数作为Krasnoselskii等成分和Rabinowitz对分岔的定理。这些参数通常假设相关的线性代数多重性的特征值问题是奇数;参见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B19"> 1</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B14"> 3</xgydF4y2Baref>)和引用。从那时起,一些作者也试图消除这种奇怪的假设;参见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B19"> 1</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B13"> 2</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B8"> 4</xgydF4y2Baref>]。特别是,马和王<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B13"> 2</xgydF4y2Baref>)开发了一个复杂的算法来证明稳态分岔断言关于非线性方程组;该算法不承担的奇怪代数多重性。参见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B17"> 13</xgydF4y2Baref>更多的研究分岔问题。我们的方法来证明定理<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm1"> 4</xgydF4y2Baref>做<gydF4y2Baitalic> 不</gydF4y2Baitalic>假定这样的平价条件代数多重性。gydF4y2Ba事实上,BVP (<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xgydF4y2Baref>)是一个特例Sturm-Liouville问题或为椭圆型偏微分方程边值问题。因此,BVP (<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xgydF4y2Baref>),可能在伪装,也已经有了很广泛的研究在文献中存在的解决方案满足某些规定的属性,对于定性属性的解决方案,等等;参见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B2"> 14</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B22"> 17</xgydF4y2Baref>引用文献)和深刻的。gydF4y2Ba本文的其余部分组织如下。节<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec2"> 2</xgydF4y2Baref>我们介绍一些非线性泛函分析和制定正式的问题,而在部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xgydF4y2Baref>我们给的证明定理<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm1"> 4</xgydF4y2Baref>。</gydF4y2Basec> <sec id="sec2"> <title>2。现有的分岔结果BVP (< xref ref-type =“disp-formula”掉= " EEq2 " > < / xref > 2)</tgydF4y2Baitle> 在本节中,我们主要是给现有结果的简要回顾文献中关于BVP分岔问题(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xgydF4y2Baref>)可以被视为原型BVP分岔问题(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2Baref>)。事实上,BVP分岔问题(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xgydF4y2Baref>)通常作为插图提供例子来测试该抽象bifurcation-problems-solving方法在文献中;参见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B19"> 1</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B16"> 12</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B17"> 13</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xgydF4y2Baref>]。gydF4y2Ba特别是,马和王<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xgydF4y2Baref>)提出了一个抽象方法可以推广稍前一个通过Nirenberg [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B19"> 1</xgydF4y2Baref>]。在展示他们的方法,作者固定两个巴拿赫空间<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mrow> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mrow> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>嵌入不断和人口<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。他们关心的是读的抽象问题<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,是一个有界的线性算子和的家庭<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一系列连续映射。他们认为以下。<l是t><l是t- - - - - -item> <label>(H3)</l一个bel> </list-item> </list> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>形式<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>与<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的线性拓扑同构<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mrow> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>到<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> B</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>紧凑的线性算子;因此,频谱的<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>由许多特征值是可数的<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mo stretchy="false"> {</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> }</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>(由代数多样性上市)<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>;存在<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq10"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (10)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo class="right"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≠</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo class="right"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo class="right"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ≠</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ∀</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> j</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo class="right"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 如果</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo class="right"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 如果</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> β</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo class="right"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 如果</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <list-item> <label>(H4)</l一个bel> 对于任何<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,存在一个<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>这样<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ε</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ∀</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 与</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> δ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ∀</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </list-item> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>分析的吗<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> G</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> G</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:munder accentunder="false"> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> …</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ︸</gydF4y2Bamml:mo> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 副本</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo class="right"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ;</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> G</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个持续的,对称的<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mrow> <mml:mi> n</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>—构成上<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mrow> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。gydF4y2Ba精确的,他们担心的问题是是否有<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>在这样一种方式,如果<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≠</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>与<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在一个社区<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一家集解决方案BVP (<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 9</xgydF4y2Baref>),然后<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⟶</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 在</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 作为</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⟶</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>如果存在一个<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足上述需求,那么<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被称为非线性分岔点问题(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 9</xgydF4y2Baref>);此外,问题(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 9</xgydF4y2Baref>)据说分叉<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。gydF4y2Ba关于(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 9</xgydF4y2Baref>),他们证明了以下。gydF4y2Ba假设(H3)——(H4)。然后<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个候选人分歧点的非线性问题(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 9</xgydF4y2Baref>)。(gydF4y2Ba提供的上述定理的证明<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xgydF4y2Baref>)等复杂的方法利用Lyapunov-Schmidt还原法、莫尔斯指数理论,等等。gydF4y2Ba马和王<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xgydF4y2Baref>)使用上述定理获得BVP分歧的结果(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xgydF4y2Baref>)。事实上,他们首先写道<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> X</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> {</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> ;</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> }</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mi> Y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,从而重铸BVP (<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xgydF4y2Baref>)的形式(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 9</xgydF4y2Baref>),其次他们解决了这个新的BVP分歧问题(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xgydF4y2Baref>)利用抽象的结果。gydF4y2Ba我们想使用获得的结果在马和王<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xgydF4y2Baref>BVP)来解决分歧问题(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2Baref>);但是明显的非线性反应<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∋</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> →</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>排除了我们的应用程序的结果。在下一节中,我们将分析BVP分歧问题(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2Baref>)的一个基本的方法。</gydF4y2Basec> <sec id="sec3"> <title>3所示。主要结果的证明</tgydF4y2Baitle> 在本节中,我们提出两个前题,然后证明定理<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm1"> 4</xgydF4y2Baref>基于他们。各种微积分定理用于我们的证明,基本平等<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> f</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>也反复使用。gydF4y2Ba为了方便起见,我们写<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 这个函数<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是严格增加<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>周期性的,因为<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>由于的话<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="rem2"> 2</xgydF4y2Baref>。<gydF4y2Bastatement id="lem1"> <title>引理5。</tgydF4y2Baitle> 这个函数<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>严格增加,可微的<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,导<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msqrt> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msqrt> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:msqrt> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>此外,<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> 自<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>和<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是积极的<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>,该值<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>与<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>可以直接从(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq11"> 15</xgydF4y2Baref>),因此一半的(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 17</xgydF4y2Baref>)。因此,<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↓</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↓</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msqrt> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>注意的是,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>在<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表明,洛必达法则<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq20"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↓</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↓</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 因此,其他的一半(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 17</xgydF4y2Baref>)。一个简单的计算使用(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 17</xgydF4y2Baref>)和(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq10"> 14</xgydF4y2Baref>)给(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq13"> 18</xgydF4y2Baref>)。</gydF4y2Bastatement> <statement id="lem2"> <title>引理6。</tgydF4y2Baitle> 定义<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,上面的积分收敛,和功能<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是严格增加<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>。除此之外,<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq22"> <mml:mtd> <mml:mtext> (22)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↓</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> <statement id="proof2"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> 改变的变量<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>在积分,我们得到的<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq23"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="left"></mml:mo> <mml:mphantom> <mml:mpadded height="0in" depth="0in"> <mml:mrow> <mml:mtext> iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mrow> </mml:mpadded> </mml:mphantom> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>控制收敛定理和(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq13"> 18</xgydF4y2Baref>),上面右边的被积函数=<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (24)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msqrt> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (25)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msqrt> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 这个函数<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∘</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>是严格增加<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> <mml:mo stretchy="false"> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>因为<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是严格增加,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是由我们的假设(严格递减<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq6"> 6</xgydF4y2Baref>)。因此价值(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq15"> 24</xgydF4y2Baref>)增加<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>所做的事。请注意,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:msqrt> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>为<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。如果<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,然后<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq26"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EFAACAAABAABFAA"></mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msqrt> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EFAACAAABAABFAA"></mml:mo> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msqrt> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EFAACAAABAABFAA"></mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 因此<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是真实的价值和(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq16"> 25</xgydF4y2Baref>)意味着<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是严格增加<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>。最后,等式(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq16"> 25</xgydF4y2Baref>),(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 17</xgydF4y2Baref>)和控制收敛定理证明<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (27)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↓</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="left"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↓</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msqrt> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="left"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msqrt> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> K</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="left"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msqrt> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>证明已经完成。</gydF4y2Bastatement> <statement id="proofthm1"> <title>定理的证明< xref ref-type =“声明”掉= " thm1 " > < / xref >。</tgydF4y2Baitle> 假设<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个非常数的解决方案(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2Baref>)。一组<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> :</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≠</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>开放和非空的在吗<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>因此是一个提供的开放时间间隔(不相交的联盟<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>和<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>为<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被视为“开放时间间隔”<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>)。让<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是这样一个开区间。然后<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是非常数的<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。我们将显示<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>,相当于(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xgydF4y2Baref>)。gydF4y2Ba因为有中间值属性和可微函数<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≠</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>在<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们可以假设<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>在<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不失一般性。所以<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是严格增加<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与逆函数<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>上定义<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。一个简单的计算使用(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq10"> 14</xgydF4y2Baref>分化显示)和链式法则<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (28)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="left"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="left"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="left"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>条件(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2Baref>)意味着<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (29)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq20"> <mml:mtd> <mml:mtext> (30)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↓</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↑</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 整合双方的<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq19"> 29日</xgydF4y2Baref>)和使用(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq18"> 28</xgydF4y2Baref>),我们得到<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq31"> <mml:mtd> <mml:mtext> (31)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在恒定的<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。我们假设<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>不失一般性。然后<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq21"> <mml:mtd> <mml:mtext> (32)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>与<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。因此,<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq22"> <mml:mtd> <mml:mtext> (33)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 的属性<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>前面所述的一样,这个函数<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↦</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>与期<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,减少<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo stretchy="false"> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>,增加<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。等式(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq20"> 30.</xgydF4y2Baref>)和(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq21"> 32</xgydF4y2Baref>)产量<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq34"> <mml:mtd> <mml:mtext> (34)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟶</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↓</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 或</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↑</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这在一起(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq22"> 33</xgydF4y2Baref>)的属性<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表明存在<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>和<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mi> z</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> Z</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>这样<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> z</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> z</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。因此,<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq35"> <mml:mtd> <mml:mtext> (35)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EGAADAAABAEEEAA"></mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EGAADAAABAEEEAA"></mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> z</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> z</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EGAADAAABAEEEAA"></mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EGAADAAABAEEEAA"></mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>自<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mrow> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是偶函数,它遵循从(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq21"> 32</xgydF4y2Baref>),<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq36"> <mml:mtd> <mml:mtext> (36)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EGAACAAABAAEEAA"></mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EGAACAAABAAEEAA"></mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EGAACAAABAAEEAA"></mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:msqrt> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 请注意,<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mrow> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是严格增加<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> l</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ]</gydF4y2Bamml:mo> </mml:math> </inline-formula>(见引理<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="lem2"> 6</xgydF4y2Baref>)。因此<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq37"> <mml:mtd> <mml:mtext> (37)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:msqrt> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↓</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msqrt> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:msqrt> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xgydF4y2Baref>),因此一半的定理<xgydF4y2Baref ref-type="statement" rid="thm1"> 4</xgydF4y2Baref>是证明。gydF4y2Ba对于另一半,我们假设不失一般性<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>,并承担(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xgydF4y2Baref>)持有;也就是说,<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq38"> <mml:mtd> <mml:mtext> (38)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≥</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>我们表明,(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xgydF4y2Baref>)有一个非常数的解决方案。gydF4y2Ba首先,它遵循从(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq17"> 27</xgydF4y2Baref>),出口<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>这样<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq39"> <mml:mtd> <mml:mtext> (39)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msqrt> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:msqrt> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>让<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq40"> <mml:mtd> <mml:mtext> (40)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:msqrt> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 定义一个连续函数<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>通过<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq41"> <mml:mtd> <mml:mtext> (41)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>定义(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq14"> 21</xgydF4y2Baref>)的收益率<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq42"> <mml:mtd> <mml:mtext> (42)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EKAADAAABAZAEAA"></mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EKAADAAABAZAEAA"></mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ·</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EKAADAAABAZAEAA"></mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:msqrt> <mml:mi> p</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EKAADAAABAZAEAA"></mml:mo> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>除此之外,<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq23"> <mml:mtd> <mml:mtext> (43)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> H</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>区分双方(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq25"> 45</xgydF4y2Baref>)和使用(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq18"> 28</xgydF4y2Baref>),我们得到<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq24"> <mml:mtd> <mml:mtext> (44)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>从(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq23"> 43</xgydF4y2Baref>),它遵循<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq25"> <mml:mtd> <mml:mtext> (45)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↓</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↑</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> ∞</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>定义<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> g</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>。然后(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq24"> 44</xgydF4y2Baref>)和(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq25"> 45</xgydF4y2Baref>)说,<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq26"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (46)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>从(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq26"> 46</xgydF4y2Baref>)和假设(H1),我们看到<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq47"> <mml:mtd> <mml:mtext> (47)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↑</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↑</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↑</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和类似的<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> lim</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↓</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:math> </inline-formula>。通过定义<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>当<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,函数<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>扩展,从而定义了<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq27"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (48)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>证明已经完成。</gydF4y2Bastatement> <statement id="ex1"> <title>示例7 (BVP (< xref ref-type =“disp-formula”掉= " EEq2 " > < / xref > 2)重返)。</tgydF4y2Baitle> 我们关心的是BVP (<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xgydF4y2Baref>);也就是说,<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq49"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (49)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 在</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo class="right"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>当且仅当这个问题非常数的解决方案<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。事实上,我们看到<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq28"> <mml:mtd> <mml:mtext> (50)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>,对于一些<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq29"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (51)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> <</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mlabeledtr id="EEq30"> <mml:mtd> <mml:mtext> (52)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⟼</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 是</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 一个</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 凹</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 函数</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> 在</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>请注意,(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq30"> 52</xgydF4y2Baref>)是微不足道的自<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq53"> <mml:mtd> <mml:mtext> (53)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> d</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mi> t</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> - - - - - -</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 因为</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msqrt> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:msqrt> <mml:mi> 因为</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ⁡</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</gydF4y2Bamml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> x</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ≤</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> π</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> <statement id="rem4"> <title>注8。</tgydF4y2Baitle> 在本文中,我们解决了一类分岔问题诺伊曼半线性椭圆型方程的边值问题;也就是说,<d是p- - - - - -f或mula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq54"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (54)</gydF4y2Bamml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> λ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∘</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 在</gydF4y2Bamml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo class="right"> )</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> φ</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</gydF4y2Bamml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</gydF4y2Bamml:mn> <mml:mo> ;</gydF4y2Bamml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这个边值问题的控制方程进行推广了经典的梁假设方程的非线性交互表单<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∋</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↦</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> h</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>而不是<在l在e-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∋</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ↦</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi> 罪</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mi> u</gydF4y2Bamml:mi> <mml:mo> ∈</gydF4y2Bamml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</gydF4y2Bamml:mi> </mml:math> </inline-formula>。更重要的是,经典的梁方程的分岔问题可以解决使用抽象分歧定理在非线性分析中,虽然广义梁方程可以吗<gydF4y2Baitalic> 不</gydF4y2Baitalic>是。我们提供了一个统一的方法来理解这类问题。事实上,我们的方法很一般,非常基本的。gydF4y2Ba值得提到分岔问题梁方程以外的其他类型(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2Baref>)都进行了广泛的研究;参见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B1"> 19</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B20"> 22</xgydF4y2Baref>引用文献)和深刻的。常用的方法在文献中与我们的有很大不同,作为基础更加先进,在功能分析复杂的知识。</gydF4y2Bastatement> </sec> <back> <sec sec-type="conflict"> <title>利益冲突</tgydF4y2Baitle> 作者宣称没有利益冲突有关的出版。</gydF4y2Basec> <ack> <title>确认</tgydF4y2Baitle> 作者感谢匿名裁判有价值的建议。</一个ck> <ref-list> <ref id="B19" content-type="book"> <label>1</l一个bel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Nirenberg</gydF4y2Basurname> <given-names> l</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 非线性泛函分析的主题</gydF4y2Baitalic> <year> 2001年</ygydF4y2Baear> <volume> 6</gydF4y2Bavolume> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</publ是her-loc> <publisher-name> 纽约大学报数学科学研究所</publ是her-name> <series> 报》在数学课堂讲稿</gydF4y2Baseries> <comment> e .亿康先达第六章,指出通过r . a . Artino修订再版1974</gydF4y2Bacomment> </nlm-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>2</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 马</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 王</gydF4y2Basurname> <given-names> 年代。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 分叉的非线性方程组:即稳态分岔</一个rticle-title> <source> <italic> 分析的方法和应用</gydF4y2Baitalic> <year> 2004年</ygydF4y2Baear> <volume> 11</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</是sue> <fpage> 155年</fp一个ge> <lpage> 178年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.4310 / maa.2004.v11.n2.a1</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> MR2143518</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>3</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 马</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 王</gydF4y2Basurname> <given-names> 年代。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 分叉的非线性方程。二世。动态分岔</一个rticle-title> <source> <italic> 分析的方法和应用</gydF4y2Baitalic> <year> 2004年</ygydF4y2Baear> <volume> 11</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</是sue> <fpage> 179年</fp一个ge> <lpage> 209年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="other"> MR2143519</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.4310 / maa.2004.v11.n2.a2</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="book"> <label>4</l一个bel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Krasnoselskii</gydF4y2Basurname> <given-names> m·A。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 拓扑理论的非线性积分方程方法</gydF4y2Baitalic> <year> 1964年</ygydF4y2Baear> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</publ是her-loc> <publisher-name> 帕加马新闻</publ是her-name> <series> 翻译的a·h·阿姆斯特朗和j . Burlak编辑</gydF4y2Baseries> </nlm-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="book"> <label>5</l一个bel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 周润发</gydF4y2Basurname> <given-names> s . N。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 黑尔</gydF4y2Basurname> <given-names> j·K。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 分歧理论的方法</gydF4y2Baitalic> <year> 1982年</ygydF4y2Baear> <volume> 251年</gydF4y2Bavolume> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</publ是her-loc> <publisher-name> 施普林格</publ是her-name> <series> rundlehren der Mathematischen Wissenschaften(数学科学的基本原则)</gydF4y2Baseries> </nlm-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="book"> <label>6</l一个bel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 亨利</gydF4y2Basurname> <given-names> D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 半线性抛物方程的几何理论</gydF4y2Baitalic> <year> 1981年</ygydF4y2Baear> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</publ是her-loc> <publisher-name> 施普林格</publ是her-name> <series> 数学课堂笔记</gydF4y2Baseries> <pub-id pub-id-type="other"> MR610244</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="book"> <label>7</l一个bel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 加藤</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 微扰理论的线性算子</gydF4y2Baitalic> <year> 1995年</ygydF4y2Baear> <supplement> 再版的1980版</gydF4y2Basupplement> <publisher-loc> 柏林,德国</publ是her-loc> <publisher-name> 施普林格</publ是her-name> <series> 经典数学</gydF4y2Baseries> </nlm-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>8</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 马</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 王</gydF4y2Basurname> <given-names> 年代。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 结构的二维不可压缩流狄利克雷边界条件</一个rticle-title> <source> <italic> 离散和连续动力系统系列B</gydF4y2Baitalic> <year> 2001年</ygydF4y2Baear> <volume> 1</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是sue> <fpage> 29日</fp一个ge> <lpage> 41</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.3934 / dcdsb.2001.1.29</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> MR1821551</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>9</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 马</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 王</gydF4y2Basurname> <given-names> 年代。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 结构分类和divergence-free向量场的稳定</一个rticle-title> <source> <italic> 自然史D</gydF4y2Baitalic> <year> 2002年</ygydF4y2Baear> <volume> 171年</gydF4y2Bavolume> <issue> 1 - 2</是sue> <fpage> 107年</fp一个ge> <lpage> 126年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0167 - 27890200587 - 0</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0036776640</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> MR1930820</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>10</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 马</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 王</gydF4y2Basurname> <given-names> 年代。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 吸引子分岔理论及其应用Rayleigh-B \ '恩纳德对流</一个rticle-title> <source> <italic> 通信纯粹与应用分析</gydF4y2Baitalic> <year> 2003年</ygydF4y2Baear> <volume> 2</gydF4y2Bavolume> <issue> 4</是sue> <fpage> 591年</fp一个ge> <lpage> 599年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.3934 / cpaa.2003.2.591</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> MR2019070</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>11</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 马</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 王</gydF4y2Basurname> <given-names> 年代。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 动态分岔与稳定RayleighBenard对流</一个rticle-title> <source> <italic> 在数学科学通信</gydF4y2Baitalic> <year> 2004年</ygydF4y2Baear> <volume> 2</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</是sue> <fpage> 159年</fp一个ge> <lpage> 183年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.4310 / cms.2004.v2.n2.a2</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> MR2119936</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="book"> <label>12</l一个bel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 马</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 王</gydF4y2Basurname> <given-names> 年代。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 分歧理论和应用</gydF4y2Baitalic> <year> 2005年</ygydF4y2Baear> <volume> 53</gydF4y2Bavolume> <publisher-loc> 美国新泽西州哈肯萨克市</publ是her-loc> <publisher-name> 世界科学出版有限公司Pte。新泽西州哈肯萨克市</publ是her-name> <series> 世界科学系列非线性科学。系列一:专著和论文</gydF4y2Baseries> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1142 / 9789812701152</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> MR2310258</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="book"> <label>13</l一个bel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 马</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 王</gydF4y2Basurname> <given-names> 年代。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 不可压缩流的几何理论与流体动力学应用程序</gydF4y2Baitalic> <year> 2005年</ygydF4y2Baear> <publisher-loc> 普罗维登斯,美国国际扶轮</publ是her-loc> <publisher-name> 美国数学学会</publ是her-name> <series> 数学调查和专著</gydF4y2Baseries> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1090 / surv / 119</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> MR2165493</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>14</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Berestycki</gydF4y2Basurname> <given-names> H。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 在某些非线性Sturm-Liouville问题</一个rticle-title> <source> <italic> 杂志的微分方程</gydF4y2Baitalic> <year> 1977年</ygydF4y2Baear> <volume> 26</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</是sue> <fpage> 375年</fp一个ge> <lpage> 390年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0022 - 0396 (77)90086 - 9</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> MR0481230</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0000324980</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="book"> <label>15</l一个bel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 比尔科夫</gydF4y2Basurname> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 书在古典分析来源</gydF4y2Baitalic> <year> 1973年</ygydF4y2Baear> <publisher-loc> 美国马萨诸塞州剑桥市</publ是her-loc> <publisher-name> 哈佛大学出版社</publ是her-name> <pub-id pub-id-type="other"> MR0469612</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>16</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rabinowitz</gydF4y2Basurname> <given-names> p . H。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 二阶常微分方程的非线性Sturm-Liouville问题</一个rticle-title> <source> <italic> 通信在纯粹和应用数学</gydF4y2Baitalic> <year> 1970年</ygydF4y2Baear> <volume> 23</gydF4y2Bavolume> <fpage> 939年</fp一个ge> <lpage> 961年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / cpa.3160230606</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> MR0284642</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="book"> <label>17</l一个bel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Zettl</gydF4y2Basurname> <given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> Sturm-Liouville理论</gydF4y2Baitalic> <year> 2005年</ygydF4y2Baear> <volume> 121年</gydF4y2Bavolume> <publisher-loc> 普罗维登斯,美国国际扶轮</publ是her-loc> <publisher-name> 美国数学学会</publ是her-name> <series> 数学调查和专著</gydF4y2Baseries> <pub-id pub-id-type="other"> MR2170950</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="book"> <label>18</l一个bel> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 马</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 王</gydF4y2Basurname> <given-names> 年代。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 为非线性演化方程的稳定性和分岔问题</gydF4y2Baitalic> <year> 2007年</ygydF4y2Baear> <publisher-loc> 中国,北京</publ是her-loc> <publisher-name> 科学出版社</publ是her-name> <comment> (中国)</gydF4y2Bacomment> </nlm-citation> </ref> <ref id="B1" content-type="article"> <label>19</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 阿卜杜勒·侯赛因</gydF4y2Basurname> <given-names> m·A。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 分岔解弹性梁与小扰动方程</一个rticle-title> <source> <italic> 国际期刊的数学分析</gydF4y2Baitalic> <year> 2009年</ygydF4y2Baear> <volume> 3</gydF4y2Bavolume> <issue> 17日</是sue> <fpage> 879年</fp一个ge> <lpage> 888年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="other"> MR2604465</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84859968023</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>20.</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Berkovits</gydF4y2Basurname> <given-names> J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 很大幅度的分岔解波浪和梁方程组</一个rticle-title> <source> <italic> 非线性分析:理论、方法及应用</gydF4y2Baitalic> <year> 2003年</ygydF4y2Baear> <volume> 52</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是sue> <fpage> 343年</fp一个ge> <lpage> 354年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0362 - 546 - x0200118 - 9所示</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> MR1938665</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0037209585</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>21</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Lenci</gydF4y2Basurname> <given-names> 年代。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Menditto</gydF4y2Basurname> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 塔伦蒂诺</gydF4y2Basurname> <given-names> a . M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 在同宿,heteroclinic轨梁的非线性动力学放在一个弹性衬底</一个rticle-title> <source> <italic> 国际期刊的非线性力学</gydF4y2Baitalic> <year> 1999年</ygydF4y2Baear> <volume> 34</gydF4y2Bavolume> <issue> 4</是sue> <fpage> 615年</fp一个ge> <lpage> 632年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0020 - 7462 (98) 00001 - 8</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> MR1688544</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0000179552</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="article"> <label>22</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Polymilis</gydF4y2Basurname> <given-names> C。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Skokos</gydF4y2Basurname> <given-names> C。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Kollias</gydF4y2Basurname> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Servizi</gydF4y2Basurname> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Turchetti</gydF4y2Basurname> <given-names> G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 分岔beam-beam像地图</一个rticle-title> <source> <italic> 物理学杂志》:数学和一般</gydF4y2Baitalic> <year> 2000年</ygydF4y2Baear> <volume> 33</gydF4y2Bavolume> <issue> 5</是sue> <fpage> 1055年</fp一个ge> <lpage> 1064年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0034635299</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="other"> MR1748434</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1088 / 0305 - 4470/33/5/316</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -gydF4y2Baid> </nlm-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>