定期媒体的基本解决方案

抽象的

当需要分析周期边值问题时，就需要得到周期基本解。后者自然与寻找分散复合材料、多孔介质和具有均匀分布微裂纹或位错的介质的均一性有关。用调和多项式的收敛级数构造周期基本解。给出了各向异性多孔介质周期基本解的一个实例，并给出了简化的下界估计。

1.介绍

具有均匀分布的夹杂物的异质介质的机制中最接近的解决方案可以从两个尺度渐近分析的应用获得[1-5.]。在两尺寸的渐近方法中，假设存在两个字段：（i）由“慢速”变量和（ii）具有高振荡的本地字段描述的全局字段;这些由“快速”变量描述;见图1．将在后面更详细地考虑双尺度渐近分析在多孔介质中的应用。

在两尺寸的渐近方法中，有效的弹性张量可以表示 在哪里是有效的弹性张量，是体积骨折吗组成部分，是弹性张量组成部分，是异质材料的不同部件的总数，以及是一个纠正的张量或“校正器”。从（1）确定有效弹性张量的主要困难在于找到校正器。

备注1。有趣的是要注意（1）通过为校正器选择不同的表达来涵盖几乎所有现有的均匀化方法。（一种）因此,如果获得了众所周知的voigt的均质化。（b）服用 假设是这样张量是不可逆性的，弹性张量的Reuss均匀化就出来了。假设对任何人都是可逆的对带孔的媒体无效;在这种情况下，Reuss均质化产生均质弹性张量的错误值。

在双尺度渐近方法中，校正器的确定需要求解单元格问题，而单元格问题包括(i)包含物与矩阵材料之间的内边界上的边值问题和(ii)单元格外边界上的周期边值问题。后者是非经典的，因为它是在边界上表示的，由于周期性，必须有角点和边;见图2．

除了有限元法和有限差分法之外，我们还知道下列其他的求解单元问题的方法。基于Eshelby变换应变的方法应用于椭球包体各向同性介质的分析[6.-8.]。这些方法的优点在于它们的原理可能分析具有各向异性组分的介质，而这些方法从计算的观点来看，这些方法不是非常方便，因为它们导致具有弱奇异内核的三维整体方程。

通过基于各向同性培养基的周期性基本解决方案的方法研究具有各向同性组分的培养基[9.那10.];这种基本解决方案最初是在[11.]。由于用于内部边值问题的解决方案的多极扩展，该方法仅限于球形形式的夹杂物。在各向同性复合材料的情况下也使用类似的方法，但它基于内部边值问题的溶液的Galerkin技术[12.]。

据推测，第一次在[中得到了任意各向异性介质的周期基本解。13.]。结合边界整体方程方法（BIEM）这些基本溶液应用于具有各向异性不均匀性和多孔介质的复合材料的细胞问题。[14.那15.[虽然考虑了在[中的基质材料中的微观结构应力分析16.]。研究了孔隙散射的问题在[17.那18.]通过相同的方法。该方法的一些明显优点是由于它们的潜在可能性来减少内部边值问题的解决方案到快速收敛系列的求和，而外边界的周期性边界条件是由于基本解决方案的周期性的自动满足。

下面的分析包括周期基本解的构造和性质，以及这些解在均匀分布孔隙的多孔各向异性介质分析中的应用。

2.基本符号

首先考虑均匀弹性各向异性介质。平衡方程可以写成如下形式: 在哪里是一个位移场。假设弹性的张量满足积极明确的条件，这通常用于非均匀介质的机械问题。

应用傅里叶变换 (3.）给出操作员的以下符号：

从基本解决方案的定义的 （3.）可以写入相应符号的以下公式： 公式 （6.）显示符号也是强烈的椭圆形，呈正均匀的程度-2相对于和分析无处不在．

备注2。表达的傅里叶反转（6.）在[中，讨论了基本解决方案的构建程序19.-21.]。

3.定期基本解决方案

考虑由位于节点的周期性分布的力奇点加载的均匀各向异性介质空间格子,图3.．

让 是晶格的主要周期的线性独立矢量，使得每个节点可以以下列形式表示： 在哪里是节点的整数值坐标基于．伴随的基础以这样的方式介绍．对应于伴随的晶格是表示的．

现在，对应于设置在晶格的节点中的奇点的周期性Δ-函数有以下形式： 在哪里是基本区的体积（细胞）．公式 （8.)唯一地定义了一个周期函数。

替换周期基本解在(3.)应该产生 在哪里是身份矩阵。寻找也以谐波系列的形式，并考虑到代理（8.)，就有可能得到 在哪里没有零节点的伴随格子。应该指出的是，公式（10.）定义周期性的基本解决方案，直到添加剂（姿态）常数。

引理3（见[14.]）。(的右边的系列)10.）是收敛的-topology，定义班级的基本解决方案， 在哪里一类是可积的吗使用零平均值的函数。

4.有效的弹性张量

为了清楚起见和简单，将进一步假设所考虑的介质只有一种均匀分布的不均匀性，放置在空间格子的节点中（参见图3.）。该区域被细胞中单独的不均匀性占用用．

应用于这种介质的两种渐次渐近分析会产生以下校正器的以下表达[14.]: 在哪里“快速”变量和是三阶张力字段，是以下边界值问题的解决方案： 在 （11.） 和 （12.）  表示对边界正常的外部单元的字段弹性张量是由的 在哪里是指矩阵材料和夹杂物。强烈的张量椭圆形也是假设的。应该注意的是，在（13.)张量可以在空隙的情况下消失。

引理4(参见[14.]）。在上述假设下，边值问题（12.）承认独特的解决方案。

边值问题的解(12.)由边界积分方程法构造，期望解表示如下[14.]: 在哪里是一个恒定的张量和一个奇异积分算子是否来自于表面上的双层势的限制．操作员的一些相关属性在[15.]。

替代（10.）对于操作员S表达式的周期性基本解决方案允许获得校正器的较低（在能量）;那是， 在哪里是该地区特征功能的傅里叶图像．上界的表达式可以类似地得到[14.那15.]。

定理5（见[14.那15.]）。序列出现在(15.）绝对收敛，提供ω是一个适当的开放区域．

备注6。作为非常薄的夹杂物的收敛证明，包括裂缝，将分别研究，因为需要特殊的渐近分析。

5.微观结构应力和散射截面

如[15.那16.]，能量水平孔隙介质的微观结构高振荡应力的定义 在哪里代表均匀的变形场和是校正器。

类似地，在量子力学中使用的应用术语，散射横截面对于多孔介质具有以下形式： 在哪里是多孔比和是基质的弹性张量。

备注7。通过双模渐近分析和周期性基本解决方案，尚未研究用于获得与介质相关的微观结构应力和散射横截面的表达的问题。

6.结论

开发的方法使我们能够在空间周期性的基本解决方案（10.)为具有各向异性分量的周期性介质。在此基础上，得到了各向异性多孔介质校正张量的封闭形式表达式(11.），以及近似公式（15.）。

推导了各向异性多孔介质散射截面的计算公式;看到(17.）。

利益冲突

作者宣布没有关于本文的出版物的利益冲突。

参考文献

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