在具有均匀分布的夹杂物均匀介质的力学最接近溶液可从两尺度渐近分析的应用来获得[ 1- 5.]。在两尺度渐近法，假设两个字段存在：（ⅰ）这是由“慢”的变量和（ii）一个局部场，具有高振荡描述的全局字段;这些由“快”的变量描述见图 1。稍后将更详细地考虑双模渐近分析对多孔介质的应用。

在两尺寸的渐近方法中，有效的弹性张量可以表示 （1） C 0. = σ. P. = 1 N F P. C P. + K. 那 σ. P. = 1 N F P. = 1 那 在哪里 C 0. 是有效的弹性张量， F P. 是的体积断裂 P. 组成部分， C P. 是的弹性张量 P. 组成部分， N 是异质材料的不同部件的总数，和 K. 是一个纠正的张量或“校正器”。从（ 1）确定有效弹性张量的主要困难在于找到校正器。

两种尺寸渐近方法中的校正器的确定需要细胞问题的解决方案，这又包括（i）夹杂物和矩阵材料之间的内部边界上的边界值问题以及（ii）周期性边值问题在细胞的外边界上。后者是非感觉的，即它在边界上配制，由于周期性，必须具有角点和边缘;见图 2。

随着FEM和有限差分法，为了获得一个解决问题的细胞下面的其它方法是已知的。基于的Eshelby的转化菌株中的方法被施加到具有椭圆形的夹杂物[各向同性介质的分析 6.- 8.]。这些方法的优点在于它们的原理可能分析具有各向异性组分的介质，而这些方法从计算的观点来看，这些方法不是非常方便，因为它们导致具有弱奇异内核的三维整体方程。

具有各向同性组分的培养基是由基于为各向同性介质的周期性基本解的方法的研究[ 9.那 10.];这种基本解决方案最初是在[ 11.]。由于用于内部边值问题的解决方案的多极扩展，该方法仅限于球形形式的夹杂物。在各向同性复合材料的情况下也使用类似的方法，但它基于内部边值问题的溶液的Galerkin技术[ 12.]。

据推测，对于第一次为具有任意各向异性的媒体的周期性基本解决方案是在[ 13.]。在与边界积分方程法（BIEM）组合这些基本溶液施加到单元问题各向异性非不均匀性和在[多孔介质复合材料 14.那 15.]，而在该基质材料的微观结构应力的分析中被认为是[ 16.]。通过毛孔波散射的问题[研究 17.那 18.]通过相同的方法。该方法的一些明显优点是由于它们的潜在可能性来减少内部边值问题的解决方案到快速收敛系列的求和，而外边界的周期性边界条件是由于基本解决方案的周期性的自动满足。

以下分析涵盖了周期性基本解决方案的构建和性质，以及这些解决方案的应用，以分析具有均匀分布孔的多孔各向异性介质。

最初的均匀弹性各向异性介质被考虑。平衡方程可以写成以下形式： （3） 一种 （ ∂ X ） 你 = - 迪 V. X C 0. · · ∇ X 你 = 0. 那 在哪里 你 是一个位移场。假设弹性的张量满足积极明确的条件，这通常用于非均匀介质的机械问题。

应用傅里叶变换 （4） F ∧ （ ξ ） = ∫ F （ X ） exp. ⁡ （ 2 π 一世 X · ξ ） D. X 那 ξ ∈ R. 3. 那 到 （ 3.）使操作员的以下符号 一种 ： （5） 一种 ∧ ξ = 2 π 2 ξ · C 0. · ξ 。

从根本上解决的定义 E. 的 （ 3.）可以写入相应符号的以下公式： （6） E. ∧ ξ = 一种 ∧ ξ - 1 。 公式 （ 6.）显示符号 E. ∧ 也是强烈的椭圆形，呈正均匀的程度-2相对于 ξ 和分析处处 R. 3. ∖ 0. 。

考虑由位于节点的周期性分布的力奇点加载的均匀各向异性介质 m 空间格子 λ. ， 数字 3.。

让 一种 一世 （ 一世 = 1,2 那 3. ） 是格子的主周期的线性独立的向量，使得每个节点可以通过以下形式来表示： （7） m = σ. 一世 m 一世 一种 一世 那 在哪里 m 一世 ∈ Z. 是节点的整数值坐标 m 基于 （ 一种 一世 ） 。伴随基础 （ 一种 一世 * ） 以这样的方式介绍 一种 一世 * · m = m 一世 。对应于伴随基础晶格是由表示 λ. * 。

现在，对应于奇点周期性增量功能设置在所述晶格的结点 λ. 有以下形式： （8） δ. P. （ X ） = V. 问： - 1 σ. m * ∈ λ. * exp. ⁡ （ - 2 π 一世 X · m * ） 那 在哪里 V. 问： 是基本区的体积（细胞） 问： 。公式 （ 8.）唯一定义周期性的Δ功能。

周期性根本上解决了换人 E. P. 在 （ 3.）应该生产 （9） 一种 （ ∂ X ） E. P. （ X ） = δ. P. （ X ） 一世 那 在哪里 一世 是身份矩阵。寻找 E. P. 也以谐波系列的形式，并考虑到代理（ 8.），可以获得 （10） E. P. （ X ） = V. 问： - 1 σ. m * ∈ λ. 0. * E. ∧ （ m * ） exp. ⁡ （ - 2 π 一世 X · m * ） 那 在哪里 λ. 0. * 没有零节点的伴随格子。应该指出的是，公式（ 10.）定义周期性的基本解决方案，直到添加剂（姿态）常数。

为了清楚起见和简单，将进一步假设所考虑的介质只有一种均匀分布的不均匀性，放置在空间格子的节点中 λ. （参照图 3.）。该区域被细胞中单独的不均匀性占用 问： 用来表示 ω. 。

二尺度渐近分析被应用于这样的介质产生以下表达式校正[ 14.]： （11） K. = - V. 问： - 1 ∫ ∂ ω. C · · ν y ⊗ H y D. y 那 在哪里 y 是“快”变量 H 是三阶张力字段，是以下边界值问题的解决方案： （12） 一种 （ ∂ y ） H （ y ） = 0. 那 y ∈ 问： ∖ ω. 那 T. （ ν y 那 ∂ y ） H （ y ） ∂ ω. = - ν y · C 。 在 （ 11.） 和 （ 12.）   ν y 表示对边界正常的外部单元的字段 ∂ ω. 和弹性张量 C 是由的 （13） C = C 2 - C 1 那 在哪里 C 2 被称为矩阵材料和 C 1 夹杂物。张量的强椭圆 C 还假定。应当指出的是，在（ 13.）张量 C 1 可以在空隙的情况下消失。

边界值问题的解（ 12.）由边界积分方程方法构造，给出所需解决方案的以下表示[ 14.]： （14） 1 2 一世 + S. H （ y ' ） = H C y ' ∈ ∂ ω. 那 在哪里 H C 是一个恒定的张量和 S. 是从双层电势的表面上的限制而得到的奇异积分算 ∂ ω. 。一些运营商的相关属性 S. 中讨论[ 15.]。

换人（ 10.）对于操作员S表达式的周期性基本解决方案允许获得校正器的较低（在能量）;那是， （15） K. L. = - 8. π 2 V. 问： - 2 σ. m * ∈ λ. 0. * χ ∧ ω. 2 C · · m * ⊗ E. ∧ （ m * ） ⊗ m * · · C 那 在哪里 χ ∧ ω. 是该地区特征功能的傅里叶图像 ω. 。可以类似地获得用于上界的表达式[ 14.那 15.]。

如[ 15.那 16.]，能量水平 W. osc. 用于多孔介质的微观结构高度振荡应力 （16） W. osc. = 1 2 ε. 0. · · K. · · ε. 0. 那 在哪里 ε. 0. 代表均匀的变形场和 K. 是校正器。

类似地，在量子力学使用具有施加的术语，散射截面 S. 用于多孔介质具有以下形式： （17） S. = 1 - F - 1 ε. 0. · · K. · · ε. 0. ε. 0. · · C · · ε. 0. 那 在哪里 F 是多孔比和 C = C 2 是矩阵的弹性张量。

开发的方法使我们能够在空间周期性的基本解决方案（ 10.）具有各向异性组分的周期性介质。基于由此构造的周期性基础解决方案，获得了具有各向异性基质的多孔介质的校正器张量的闭合形式表达（ 11.），以及近似式（ 15.）。

衍生出具有各向异性基质的多孔介质散射横截面的估计;看 （ 17.）。