谐振子的扭曲正形代数与量子统计

摘要

我们考虑非交换二维量子谐振子，并将其推广到扭曲代数的情况。得到了改进的升降算符。我们还研究了统计力学和热力学，并计算了产生系统自由能的配分函数。

1.介绍

量子引力理论认为，时空必须在与普朗克尺度相当的距离上改变其性质。众所周知，爱因斯坦的引力理论，即广义相对论，不能用量子场论框架下发展的规则一致地量子化。利用平面度规的微扰理论，紫外光散度需要无穷多个反项。量子引力有一个不确定原理，它阻止人们测量位置的准确度超过普朗克长度[1]和时空坐标之间的非消失对易关系是这些效应的模型[2]．非交换几何的确是数学的一个分支，它涉及到非交换代数的几何方法，以及由函数的非交换代数局部表示的空间的构造。海森堡指出物理量是由非交换代数支配的。

如此描述的量子系统比其经典类似物更简单，更加严格。因此，一个人获得了放弃经典机制的换向的非资格的不可止病资格。虽然不太直观，但凭借其简单性及其与光谱学接触，可以更直接地进入量子力学。

在最近的工作中[3.研究了两个谐波振荡器在非矫正二维配置空间上给出的非容型量子力学模型。通常，二维量子力学的非流动版本的特征在于以下关系： 在哪里表示常数反对称矩阵。然而，对于扭曲代数，反对称矩阵不应不变，取决于坐标。

在这项工作中，我们希望考虑具有扭曲保形代数的二维量子谐波振荡器[4.那5.]并扩展[3.]．首先，我们记得一个众所周知的量子谐波振荡器系统，然后引入普通和扭曲的共形代数。在这种情况下，我们可以构建二维振荡器的非容性版本。我们将使用结果来研究非矫正量子谐波振荡器的统计力学和热力学，双方具有扭曲关系。

2.量子谐振子

量子谐振子系统[6.]是量子力学中的重要系统之一，因为它既可以真正以封闭形式求解的问题之一，也是一种非常有用的解决方案，均在近似和各种问题的精确解决方案中。Quantum谐波振荡器由以下Hamiltonian运算符描述： 对应于谐波振荡器的Schrodinger方程以下列形式写入： 我们假设的地方  ．等式（3.）产生以下波函数： 在哪里是Hermite多项式。哈密​​顿人（2)可改写为下列升降操作符: 与和．本文我们希望将上述二维量子谐波振荡器配方扩展到具有扭曲代数的非传感版本的情况。因此，我们在下一节引入扭曲的保形代数。

3.扭曲的正形代数

在正形代数中，我们有以下算子: 这是翻译的生成器， 这是旋转的发生器， 哪个是规模翻译的生成器，和 哪个是特殊翻译的生成器。通常可以写入总矢量字段包括上述操作员 在哪里是反对称的张量，和是恒定的载体，和是一个常数。

为了重写上述操作员和非格式代数，在非容性空间中，我们在坐标之间介绍以下的非态度关系[7.-9.]: 基本质量参数的地方已经介绍以表现各个术语的质量尺寸并具有恒定的张量那,为无量纲。

在这种情况下，我们有以下扩展表达式: 在哪里 因此,在限制，我们有普通的理论。我们可以看到势头运营商是不变的，并保持其在非容态空间中的形状。因此，我们可以在新坐标方面重写共形代代数，如下所示： 我们可以看到(14.），（15.）， 和 （16.)，由庞加莱群组成，保存了它们的形状，是不变的。非交换参数的第一个影响见(17.)．出奇，不与自身通勤。这意味着尺度平移在非交换空间中改变了它的本质。对于特殊的翻译生成器(见(23.））.从量子力学的角度来看，我们可以说和在非流动空间中并不同时观察到。

4.非交换二维振子

汉密尔顿的非容性版本（2)由 可以根据升高和降低运营商如下重写，如下： 我们认为二维振荡器的地方。梯子运营商（25.)由 降低运营商，和 作为筹集运营商，在哪里 为了写出relation (28.），我们假设无限的非传染性参数和忽视．人们可以检查这些结果会产生[2] 在里面限制。参数和在普通的非交换形式中[2是常数。我们可以看到这些参数在扭曲的版本中不再是常量，它们依赖于坐标。

降低运营商对地面态的影响与普通的非流体版本类似;和．

这些将在分解方法的背景下有用[10.]．下一节我们写出具有扭曲变换的这个系统的配分函数。

5.统计力学和热力学

在本节中，我们简要介绍了在具有扭曲关系的两个维度中的非容态量子谐波振荡器的统计力学和热力学（11.)．

的结果[11.]我们写下了这个系统的分区功能： 在哪里表示温度和 我们可以看到与普通版本相反的情况不再是恒定的，不合适的坐标。在限制的限制当非交换性消失时，我们可以再现普通量子谐振子的配分函数， 哪个产量在经典的极限。

利用配分函数可以得到亥姆霍兹自由能如下: 然后，人们可以获得其他热力学量，例如熵： 非交换参数对热力学量的影响是很容易找到的。如图所示1．我们发现非容性参数增加了自由能的价值。然而，理论的低温限制需要消失的非流动性。这意味着非传染性仅在有限温度下有效。熵存在相同的解释;唯一的区别是熵是非容态参数的降低功能。

6.结论

本文考虑了非交换空间中具有扭曲保角变换的量子谐振子系统，研究了统计力学和热力学。我们概括了最近的工作[3.]到扭曲非交换关系的情况。已经证明了和不要和自己上下班。这意味着尺度和特殊的平移在非交换空间中改变了它们的本质。

我们发现更高阶非容性参数修改了梯形运营商和Hamiltonian。然后，我们获得了分区功能，熵和亥姆霍兹自由能。在这种情况下，人们可以获得其他热力学量，例如熵。我们发现自由能量是非容态参数的越来越多的函数，而熵是非容态参数的函数的降低。此外，我们发现非传染性的效果是有限温度。

利益冲突

作者声明本论文的发表不存在利益冲突。

参考

1. B. dewitt，引力，L. Witten，Ed。，John Wiley＆Sons，1962年。
2. A.Vurečenskij和T.Vetterlein，“非换向代数和量子结构”，国际理论物理杂志，卷。43，不。7-8，pp。1599-1612,2004。视图:出版商网站|谷歌学者|Zentralblatt数学|Mathscinet.
3. F. Benatti和L. Gouba，“非交换位形空间上量子力学的经典极限”，数学物理学报，卷。54，没有。6，物品ID 063508,14页，2013。视图:出版商网站|谷歌学者|Zentralblatt数学|Mathscinet.
4. J. Sadeghi和B.Polehassan，“具有扭曲的Poincaré转型的相对论粒子和换向器代数”，混乱，孤子和分形第31卷，不。3, 557-560页，2007。视图:出版商网站|谷歌学者
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6. D.盛，R. D. Khan，Z.Jialun和S. Wenda，“Quantum Heronic振荡器，具有时间依赖的质量和频率”国际理论物理杂志第34卷，没有。3，第355-368页，1995。视图:出版商网站|谷歌学者|Mathscinet.
7. S. Doplolemher，K.Fedenhagen和J. E. Roberts，“由古典重力引起的时空量化”，物理字母B.，第331卷，no。1-2页39-44,1994。视图:出版商网站|谷歌学者|Mathscinet.
8. S. Doplolemher，K.Fedenhagen和J. E. Roberts，“普朗克规模和量子领域时空的量子结构”，数学物理学的通信，卷。172，没有。1，pp.187-220，1995。视图:出版商网站|谷歌学者|Mathscinet.
9. A. Kempf和G. Mangano，“最小长度不确定关系和紫外线正则化”，物理评论D，第55卷，第7909页，1997。视图:出版商网站|谷歌学者
10. J. Sadeghi，J.Naji和B.Polehassan，“带Aharonov-Casher系统的振荡器中的”分解方法“，数学物理学进展，卷。2014年，第965694号，5页，2014年。视图:出版商网站|谷歌学者|Mathscinet.
11. I. Jabbari，A. Jahan和Z. Riazi，“谐波振荡器在非传感器上的分区功能”，土耳其物理学杂志第33卷，第2期。3，页149-154,2009。视图:出版商网站|谷歌学者

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