从时空量子引力理论认为必须改变它的本质在距离与普朗克尺度。众所周知,爱因斯坦的引力理论,也就是说,广义相对论,始终不能量化的规则在量子场论的框架开发。利用微扰理论在平面度规,紫外线分歧需要许多counterterms无限。量子引力的不确定性原理,防止一个测量位置精度比普朗克长度( 1)和非零的时空坐标之间的变换关系是这些影响的模型( 2]。非交换几何是数学的一个分支关心非交换代数几何方法并在本地的建筑空间,提出了非交换代数函数。指出了海森堡的物理量都是由非交换代数。

因此描述量子系统更简单和更严格的比它的经典模拟。因此获得一个不可忽视的回报为放弃经典力学的交换性。虽然不那么直观,量子力学更直接访问由于其简单性和接触光谱学。

在最近的工作( 3)非交换量子力学的模型由两个谐振子非交换二维空间配置进行了研究。通常的非交换版本二维量子力学的特点是以下关系: (1) ( x ^ μ , x ^ ν ] = 我 θ μ ν , 在哪里 θ μ ν 代表了持续不断的反对称矩阵。然而,对于反对称矩阵的扭曲的代数 θ μ ν 不再是常数,取决于坐标。

在这个工作我们要考虑二维量子谐振子与扭曲的保形代数( 4, 5)和扩展( 3]。首先我们回忆起著名的量子谐振子的系统,然后介绍普通和扭曲的正形代数。在这种情况下我们可以构造二维振子的非交换版本。我们将使用结果来研究统计力学和热力学非交换的量子谐振子与扭曲的关系两个维度。

量子谐振子的系统( 6)是量子力学的重要系统之一,因为它真的是为数不多的几个问题都可以被解决在封闭形式,通常一个非常有用的解决方案,在近似和各种问题的精确解。以下描述的量子谐振子哈密顿算符: (2) H = ∑ μ ( P μ 2 2 米 + 1 2 米 ω 2 x μ 2 ) 。 薛定谔方程对应的谐振子是用以下形式: (3) - - - - - - 1 2 米 ∂ 2 ψ ∂ x 2 + 1 2 米 ω 2 x 2 ψ = - - - - - - 我 ∂ ψ ∂ t , 我们假定 ⁡ ħ = 1 。方程( 3)收益率以下波函数: (4) ψ n ( x ) = ( 米 ω π ) 1 / 4 1 2 n n ! H n ( 米 ω x ) e - - - - - - ( 米 ω / 2 ) x 2 , 在哪里 H n 埃尔米特多项式。哈密顿( 2)可以重写在以下方面提高和降低运营商: (5) 一个 = 米 ω 2 x + 我 1 2 米 ω P , 一个 __ = 米 ω 2 x - - - - - - 我 1 2 米 ω P , 与 一个 | 0 〉 = 0 和 一个 __ 一个 | 0 〉 = 0 。在本文中,我们希望延长上述配方的二维量子谐振子的非交换版本与扭曲的代数。因此我们扭曲的正形代数在下一节中介绍。

在普通的正形代数,我们有以下操作: (6) P μ = ∂ μ , 发电机的翻译, (7) 米 μ ν = x μ ∂ ν - - - - - - x ν ∂ μ , 发电机的旋转, (8) D = x μ ∂ μ , 发电机的规模翻译, (9) K μ = ( 2 x μ x ν - - - - - - δ μ ν x 2 ) ∂ ν , 发电机的特殊的翻译。一般人能写总向量场包括上述运营商 (10) V = 一个 μ P μ - - - - - - 1 2 ϵ μ ν 米 μ ν + α D + b μ K μ , 在哪里 ϵ μ ν 是反对称张量, 一个 μ 和 b μ 是常数向量,然后呢 α 是一个常数。

为了改写上面的运营商和保形在非交换代数空间坐标我们介绍以下非交换关系( 7- - - - - - 9]: (11) ( x ^ μ , x ^ ν ] = 我 k 2 θ μ ν ( 0 ) + 我 k θ μ ν ( 1 ) ρ x ^ ρ + 我 θ μ ν ( 2 ) ρ τ x ^ ρ x ^ τ , 基本质量参数在哪里 k 介绍了为了展览的质量维度各自的条款和恒定的张量吗 θ μ ν ( 0 ) , θ μ ν ( 1 ) ρ , θ μ ν ( 2 ) ρ τ 为无量纲。

在这种情况下我们有以下扩展表达式: (12) P ^ μ = ∂ μ , x ^ μ = x μ - - - - - - 1 一个 θ μ ν P ν , V ^ = V + 1 一个 ϵ μ ν θ μ ν ( P ν ∂ ν + P μ ∂ μ ) , 在哪里 (13) θ μ ν ( x ^ ) ≡ θ = θ μ ν ( 0 ) + θ μ ν ( 1 ) ρ x ^ ρ + θ μ ν ( 2 ) ρ τ x ^ ρ x ^ τ 。 因此,在 θ μ ν → 0 限制,我们普通的理论。我们可以看到,动量算符是不变的非交换空间中并保持其形状。因此,我们可以重写正形代数的新坐标如下: (14) ( P ^ μ , P ^ ν ] = 0 , (15) ( P ^ μ , 米 ^ ν λ ] = δ μ ν P ^ λ - - - - - - δ μ λ P ^ ν , (16) ( 米 ^ μ ν , 米 ^ λ ρ ] = δ ν λ 米 ^ μ ρ + δ μ ρ 米 ^ ν λ - - - - - - δ ν ρ 米 ^ μ λ - - - - - - δ μ λ 米 ^ ν ρ , (17) ( D ^ , D ^ ] = 我 k 2 θ μ ν ( k x ^ ) P ^ μ P ^ ν , (18) ( D ^ , P ^ μ ] = - - - - - - P ^ μ , (19) ( D ^ , 米 ^ μ ν ] = 0 , (20) ( D ^ , K ^ μ ] = K ^ μ + 2 我 k 2 θ μ ν ( k x ^ ) x μ P ^ μ P ^ ν , (21) ( P ^ μ , K ^ ν ] = 2 ( δ μ ν D ^ - - - - - - 米 ^ μ ν ) , (22) ( 米 ^ μ ν , K ^ λ ] = δ ν λ K ^ μ - - - - - - δ λ μ K ^ ν , (23) ( K ^ μ , K ^ ν ] = 4 我 k 2 θ μ ν ( k x ^ ) x ^ μ x ^ ν P ^ μ P ^ ν 。 我们可以看到,( 14),( 15)和( 16),它由庞加莱群,救了他们的形状和是不变的。第一个效应的非交换参数提出了( 17)。令人惊讶的是, D ^ 不上班。这意味着在非交换空间规模翻译改变其性质。相同的结果是获得了特殊的翻译生成器(见( 23))。在量子力学的角度来看,我们可以说 D ^ 和 K ^ 不同时可以观察到的非交换空间。

非交换版本的哈密顿( 2)是由 (24) H = ∑ μ ( P ^ μ 2 2 米 + 1 2 米 ω 2 x ^ μ 2 ) , 这可能是重写的提高和降低操作如下: (25) H = 1 米 ( λ + 一个 ^ 1 __ 一个 ^ 1 + λ - - - - - - 一个 ^ 2 __ 一个 ^ 2 + λ + + λ - - - - - - 2 ) , 我们认为二维振子。梯子的经营者( 25)是由 (26) 一个 ^ 1 = 1 C + ( - - - - - - λ + x ^ 1 - - - - - - 我 P ^ 1 - - - - - - 我 λ + x ^ 2 + P ^ 2 ) , 一个 ^ 1 __ = 1 C + ( - - - - - - λ + x ^ 1 + 我 P ^ 1 + 我 λ + x ^ 2 + P ^ 2 ) , 为降低运营商, (27) 一个 ^ 2 = 1 C - - - - - - ( λ - - - - - - x ^ 1 + 我 P ^ 1 - - - - - - 我 λ - - - - - - x ^ 2 + P ^ 2 ) , 一个 ^ 2 __ = 1 C - - - - - - ( λ - - - - - - x ^ 1 - - - - - - 我 P ^ 1 + 我 λ - - - - - - x ^ 2 + P ^ 2 ) , 提高运营商的地方 (28) λ ± = 1 2 ( 2 米 ω ± 米 2 ω 2 ( θ μ ν ( 0 ) + θ μ ν ( 1 ) ρ x ^ ρ + θ μ ν ( 2 ) ρ τ x ^ ρ x ^ τ ) ) , (29) C ± = λ ± ( 4 ± 2 λ ± ( θ μ ν ( 0 ) + θ μ ν ( 1 ) ρ x ^ ρ + θ μ ν ( 2 ) ρ τ x ^ ρ x ^ τ ) ) 。 为了写关系( 28),我们假设无穷小不可交换性参数和忽视 θ 2 。你可以检查这些结果产生的结果( 2)在 θ μ ν ( 1 ) ρ = θ μ ν ( 2 ) ρ τ = 0 限制。的参数 λ ± 和 C ± 在普通的非交换版本( 2是常数。我们可以看到,这些参数不再是常数的扭曲版本和他们依靠坐标。

地面效应降低运营商的状态类似于普通非交换版本; 一个 ^ 1 | 0,0 〉 = 一个 ^ 2 | 0,0 〉 = 0 和 一个 ^ 1 __ 一个 ^ 1 | 0,0 〉 = 一个 ^ 2 __ 一个 ^ 2 | 0,0 〉 = 0 。

这将是有用的在分解方法的上下文 10]。在下一节中我们写这个系统的配分函数和扭曲的转换。

在本节中,我们简要地研究统计力学和热力学非交换量子谐振子的两个维度与扭曲的关系( 11)。

通过使用的结果 11我们写下这个系统的配分函数: (30) Z = 1 4 sinh ⁡ - - - - - - 1 ( ω 2 T ( σ + σ - - - - - - 1 ) ] × sinh ⁡ - - - - - - 1 ( ω 2 T ( σ - - - - - - σ - - - - - - 1 ) ] , 在哪里 T 表示温度和 (31) σ = 1 + 1 4 米 2 ω 2 ( θ μ ν ( 0 ) + θ μ ν ( 1 ) ρ x ^ ρ + θ μ ν ( 2 ) ρ τ x ^ ρ x ^ τ ) 2 。 我们可以看到对面的普通版本 σ 不再是常数,随非交换坐标。在极限情况下的 θ → 0 不可交换性消失了一个能够重现普通量子谐振子的配分函数 (32) Z = 1 4 sinh ⁡ - - - - - - 2 ( ω 2 T ] , 的收益率 Z = ( 2 π T / ω ) 2 在经典极限。

通过使用分区函数一亥姆霍兹自由能可以获得如下: (33) F = 2 κ T ln ⁡ ( ( sinh ⁡ ( ω 2 T ( σ + σ - - - - - - 1 ) ] × sinh ⁡ ( ω 2 T ( σ - - - - - - σ - - - - - - 1 ) ] ) 1 / 2 ] 。 然后,一个人可以获得熵等热力学量: (34) 年代 = - - - - - - 2 κ ln ⁡ ( ( sinh ⁡ ( ω 2 T ( σ + σ - - - - - - 1 ) ] × sinh ⁡ ( ω 2 T ( σ - - - - - - σ - - - - - - 1 ) ] ) 1 / 2 ] 。 很容易找到非交换参数对热力学量的影响。它的情节图所示 1。我们发现非交换参数增加价值的自由能。然而低温极限理论需要消失的不可交换性。这意味着只在有限温度不可交换性是有效的。解释同样存在熵;唯一的区别是,熵是一个非交换的递减函数参数。

在这个工作我们考虑系统的量子谐振子在非交换空间扭曲的保角变换和统计力学和热力学进行了研究。我们广义最近的工作 3)的情况下扭曲的非交换关系。它已被证明 D ^ 和 K ^ 不上班。这意味着规模和特殊翻译非交换空间中改变自己的本质。

我们发现高阶非交换参数修改运营商和哈密顿的阶梯。然后,我们得到的配分函数、熵和亥姆霍兹自由能。在这种情况下可以获得另一个熵等热力学量。我们发现,非交换参数的自由能是一个递增函数而非交换的熵是一个递减函数参数。我们也发现,不可交换性是在有限温度的影响。