时间分数阶扩散方程的点源识别问题

摘要

讨论了一类时间分数阶扩散方程的源反识别问题。未知的热源应该只与空间有关。在利用格林函数的基础上，提出了一种有效的数值算法，从最终测量结果中恢复未知点源的强度和位置。数值结果表明，该方法是有效和准确的。

1.介绍

让是有界域然后让成为…的边界．考虑以下时间分数扩散过程： 在哪里是均匀的椭圆形算子，是边界的向外正常， 和那已知常数不同时为零。在这里,表示阶Caputo分数阶导数算子被定义为 在哪里是标准的- 功能和素数表示一般衍生物。

在过去的几十年里，分数微积分不仅引起了数学家和工程师的极大关注，而且也引起了各个领域的科学家的极大关注(例如，参见[1-4.]）.分数阶扩散方程描述了分形上的反常扩散(分数阶物理物体，如一些非晶半导体或强多孔材料;参见[5.那6.]及参考文献)。的确，分数导数为描述各种材料和过程的记忆和遗传特性提供了一个极好的工具。这是分数阶导数相对于经典整数阶模型的主要优势，在经典整数阶模型中，这种影响实际上被忽略了。关于分数阶微积分的详细理论和应用，可参考[1-4.]及其中的参考文献。分数阶微分方程不仅引起了人们的关注，而且与分形维数的物理和几何相关的理论和应用也得到了很好的研究(如，[7.-11]）.

如果初始条件是非齐次的，即，，我们总是能够简化系统(1)分为两个部分;那是，,在那里求解具有非齐次初始条件的齐次方程满足具有均匀初始条件的非均匀方程。如我们所知，与之相关的初始值/边值问题问题是适定的，这类正问题有很多研究，例如，[12那13]．在下面，我们不考虑非齐次初始条件，只关注系统(1）具有均匀的初始条件。通常，当是一个已知的功能，我们被要求确定解决方案功能为了满足(1）.这是一个直接的问题。然而，源项并不总是已知的，必须从一些额外的数据中计算出来。附加信息主要有:内部/边界瞬态测量值和最终测量值。这里，我们假设测量数据是在最终时间给出的作为（是噪音水平）。

对于大多数古典偏微分方程，来自最终数据或部分边界数据的源功能的识别和重建是许多应用程序的逆问题（例如，[14]）.许多文章解决了源期识别的可动力问题。对于抛物型微分方程，请参阅[15-26]．对于椭圆型微分方程，可参考[27-29], though the source identification problem has been well discussed in the classic framework, yet, to the best of the authors’ knowledge, there are rare researches in the aspect of the source identification problem associated with fractional differential equation in spite of the physical and practical importance. As indicated in [30.-33.[与时间分数扩散方程相关联的源识别问题也没有提出。这意味着解决方案在给定的数据上不连续依赖于给定的数据，并且给定数据中的任何小扰动可能导致解决方案的大变化。在 [33.]，当在部分边界上给出附加数据时，识别独立于时间的源项的唯一性建立为一维时间分数扩散方程。在 [30.，在最终时间温度分布已知的情况下，证明了结果的存在性和唯一性。穆里奥和Mejía [31.]提出一种莫蜂化正则化技术来重建未知的强制性术语．在本文中，我们的目标是处理源和测量的特殊情况，既有点。主要焦点将恢复未知点源期限的强度和位置。为此，我们提出了一种基于绿色功能来解决逆源识别问题的方法。

论文的轮廓如下。在部分2，我们在考虑的识别问题上提供简短的草图。然后在部分中给出了绿色函数的重建方法3.．在一节中提供了所提出的方法的数值实现4.．在部分5.，我们总结了结果。

2.问题陈述

在本文中，我们处理源功能的特殊情况是表格 在哪里表示点源的位置和强度是否与每个点源有关．由此，温度分布在域内是由令人满意的 在哪里是DIRAC DELTA功能。同时，让我们是一个自然的数量，让成为一群积分．在这里，点那分散在是搭配点。我们的目标是确定力量来源和位置从用户输入估计位置和最终测量数据集 在哪里表示具有平均零和方差的高斯变量．这个幅度还代表了噪音的水平。

让我们首先假设点来源的位置给出。在这个假设下，我们来到了强度恢复的问题与点来源相关联从独特的最终搭配数据．这个恢复问题是不适定的，这促使我们使用一些正则化方法。

因此，我们假设点源的位置不知道但初步猜测位置给出每个未知点源。此外，我们假设每个点源属于域内的不同球;那是， 在哪里表示球中心的球半径．需要指出的是，如果两个或两个以上的点源集中在一个足够小的区域内，下面章节提出的方法将把它们视为一个点源。

3.基于绿色功能的方法

在本节中，我们讨论了基于绿色函数的识别方法。绿色的功能可定义为下列方程的解: 通过应用拉普拉斯变换技术，我们有那个 在哪里是Th正常的特征和是斯特姆 - 丽贵问题的相应特征值 和是由mittag-leffler函数定义 对于Mittag-Leffler函数的详细信息，可以引用[2]．

利用绿色的功能，我们可以写出（4.), 因此，当位置点来源是已知的，一旦我们获得所指定的最终时间测量数据（5.)，求解线性代数方程: 得到未知的强度值．此外,表示和，（12）可以作为以下矩阵形式重写： 在哪里是一个矩阵： 采取，则(13)包含线性方程与未知数。随后，如果矩阵可逆吗 然而，由于源识别问题的不恰当性，(13)是病态的，因此是直接解，如(15），将是不可能的，也将产生非常不准确的结果。为了获得对这些不良调节系统的稳定解决方案，已经研究了各种正则化技术并广泛应用[34.]．这里采用标准的Tikhonov正则化技术来求矩阵方程的近似解(13）.经过，我们表示定义为以下最小二乘问题的最小元的Tikhonov正则解: 在哪里是正则化参数和表示通常的欧几里德规范。这非常出名 [34.的最小元素可以写成 在哪里的共轭转置矩阵和表示身份矩阵。

接下来，假设位置其中的点源也是未知的。在这种情况下，我们将得到一个非线性系统。非线性系统不适合或难以进行直接数值计算。为了消除实现数值计算的困难，我们在下面提出线性化非线性系统。

对于估计位置，我们定义以下联盟集 并假设它包含具有正确半径的点源的所有确切位置．为了线性化非线性系统，我们采取一些额外的搭配点从集合中．假使，假设均匀分布．在每一点上，我们放入一个强度的点源．假设由此产生的温度分布点来源等于点来源．随后,我们有 附加数据（5.）， 在哪里是该位置的强度．通过使用上述方法来解决（19)和(5.），强度每个点来源可以近似地得到。接下来，我们转换强度回到单源点如下未知源强度与每个球相关近似作为 有了近似强度在手，我们就可以开始研究如何找到点源的位置。对于每个点源，我们使用位置坐标的重量和在球估计准确的位置。更具体地说，近似位置对应于强度是由的

4.数值例子

在本节中，给出了一些数值例子来验证部分中提出的方法的有效性3.．在我们的计算中，我们使用汉森开发的Matlab代码[35.那36.]求解病态系统(13）.要比较近似的准确性，我们使用被定义为的根均线（RMS） 嘈杂的数据测量的点通过向确切数据添加随机噪声来获得经过 为了,在那里是中间的一个随机数吗．测量分同样分布在．另外，正如我们所知道的，对于弊病的问题，正则化参数发挥重要作用，因此必须适当地选择。理论上，取决于某些人先天的知识精确解决方案和噪声水平[34.]．但是，在实践中，先天的知识和噪音水平可能并不总是为人所知。因此，为了弥补噪声水平信息的不足，我们有必要考虑一些无误差的参数选择规则。在这里，我们采用-Curve标准[35.-37.]来选择正则化参数。

例1。考虑以下半无限条形区域上的热传导问题： 绿色的功能是给出的 在哪里是Heaviside函数。不失一般性，我们取．

在这个测试中，我们考虑源函数(3.)包含五个源点．输入源位置是随机选择的 在哪里是否足够小来保证．参数值在(18）在本计算中使用．当噪声数据在最后时刻给出时，我们演示了两种噪声水平下的数值性能:和．计算是通过使用总计每个球的试用中心。我们报告了不同的数值结果在表格中1和2．显示的结果显示总数审判中心在该计划的融合中不起作用。只有少数试用中心足以近似未知的源功能。因此，我们只考虑这种情况在后面的例子中，每个球都有试验中心。

例2。在此示例中，我们考虑在Square Domain上的以下反向识别问题为了： 凭借Laplace的变换[2那38.，可以推导出相应的格林函数

首先，我们看到了关于参数所提出的算法的稳健性．为那， 和，我们在Table中报告RMS3.在不同三点来源位于 强度那， 和．相应的近似位置在表中给出4.和5.．显示的结果表明参数的变化对数值计算的影响很小，说明所提方法对．另一方面，我们可以看到，对于较小的噪音水平，我们获得更好的数值效果。

其次，我们还考虑了最后时间的影响论数值精度。定影和选择参数，我们在表中报告数值结果6.，从中可以看到近似的准确性相对于增加数量的增加减小．这种现象可以通过未存在的逆源识别问题的性质来解释。

最后，使用前一个点源，我们绘制了图中源点的精确和近似位置1为了和．计算强度是那， 和为了和那， 和为了,分别。可以看出，即使是高噪音水平，所提出的方法产生可接受的数值近似。

结论

在使用绿色的功能的基础上，我们提出了一种有效的数值方法，以恢复点源的强度和位置进行分数扩散过程。一些数值结果表明，该算法提供了准确可靠的方案。

致谢

这项工作得到了中央大学的基本研究资金（SWJTU11BR078，ZYGX2011J104）和中国NSF的支持（第1122604040号）的支持。

参考文献

1. A. A. Kilbas，H. M. Srivastava和J. J. Trujillo，分数微分方程的理论与应用，卷。204北荷兰数学研究，elestvier科学，阿姆斯特丹，荷兰，2006年。查看在：Mathscinet.
2. I. Podlubny，分数微分方程，卷。198年科学与工程数学，学术出版社，加利福尼亚州圣地亚哥，美国，1999年。查看在：Mathscinet.
3. 萨巴蒂尔，阿格拉瓦尔和马查多，分数微积分的进展：物理与工程的理论发展和应用，斯普林斯，多德雷希特，荷兰，2007年。查看在：出版商网站|Mathscinet.
4. S. G. Samko，A. A. Kilbas和O. I. Marichev，分数积分和导数， Gordon and Breach Science, Yverdon，瑞士，1993年。查看在：Mathscinet.
5. V.V.Anh和N.N.Leonenko，“随机数据分数动力学方程的光谱分析”统计物理杂志第104卷第2期。5-6页，1349-1387,2001。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
6. R. Metzler和J. Klafter，“随机散步的异常扩散指南：分数动态方法”物理报告，第339卷，no。1，第77页，2000。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
7. C. Cattani，A. Ciancio和B. Lod，“在免疫竞争的数学模型上，”应用数学字母第19卷，没有。7, 678-683页，2006。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
8. M. Li，“分形时间序列 - 教程评论”，工程中的数学问题，第157264号，26页，2010年。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
9. 李敏、陈永强、李建勇、赵伟，“海温比例尺，”工程中的数学问题，卷。2012年，第863707条，22页，2012年。查看在：出版商网站|谷歌学术
10. M. Li, W. Zhao, and C. Cattani，“Delay bound: fractal traffic passes through servers，”工程中的数学问题，卷。2013年，第157636号，15页，2013年。查看在：出版商网站|谷歌学术
11. M. Li和W. Zhao，“$1/F$噪音，”工程中的数学问题，卷。2012年，第673648号，23页，2012年。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
12. M. M. Khader，“关于分数扩散方程的数值解”，“非线性科学和数值模拟中的通信，卷。16，不。6，PP。2535-2542，2011。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
13. y.Luchko，“一些唯一性和存在的唯一性和存在导致广义时间分数扩散方程的初始边界值问题”，计算机和数学与应用第59卷第2期。5，第1766-1772页，2010。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
14. V. Isakov，偏微分方程的逆问题，卷。127应用数学科学1998年，美国纽约施普林格。查看在：Mathscinet.
15. E. C. Baran和A. G.Fatullayev，“二维热方程中未知源参数的确定”，应用数学与计算，卷。159，没有。3，pp。881-886,2004。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
16. A. de Cezaro和B.T. Johansson，“关于识别航天依赖源和扩散系数的唯一性的一项议题，”http://arxiv.org/abs/1210.7346．查看在：谷歌学术
17. A. de Cezaro和F. T. de Cezaro，“未知空间低阶系数和热型方程源的惟一性和正则化”，http://arxiv.org/abs/1210.7348．查看在：谷歌学术
18. S. D'haeyer, B. T. Johansson, M. Slodička，“时间依赖热扩散过程中空间依赖热源的重建”，IMA应用数学杂志, 2012年。查看在：出版商网站|谷歌学术
19. V.Isakov，“逆抛物面问题最终过分定制”关于纯粹和应用数学的通信第44卷，第2期。2，第185-209页，1991。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
20. T. Johansson和D. Lesnic，“空间依赖热源的确定”，计算和应用数学杂志第209卷第2期。1，页66-80,2007。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
21. B. T. Johansson和D. Lesnic，“确定依赖于空间的热源和初始温度的程序，”适用分析(第87卷第40期)3，页265-276,2008。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
22. I. A. Kaliev和M. Sabitova，“从最终温度和最终温度测定热源温度和密度的问题”应用与工业数学杂志，卷。4，不。3，pp。332-339,2010。查看在：出版商网站|谷歌学术|Mathscinet.
23. G. A. Kriegsmann和W. E. Olmstead，“热方程的源识别”，应用数学字母，卷。1，不。3，pp。241-245,1988。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
24. W. Rundell，“确定初始和最终数据的抛物线方程”，“美国数学社会的诉讼程序，卷。99，没有。4，pp。637-642，1987。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
25. L. Yan，C.-L。fu和f.-l.杨，“逆热源问题的基本解决方案方法”边界元素的工程分析，卷。32，不。3，pp。216-222,2008。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.
26. L. Yan，F.-1.杨和c.-l。“求解逆航天依赖热源问题的”无丝毫的方法“计算物理学，卷。228，没有。1，pp。123-136,2009。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
27. 韩永昌，李敏华，杨晓明，“基于格林函数的反源识别”，边界元素的工程分析第34卷，没有。4, 352-358页，2010。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
28. N. F. M. Martins，“使用MFS的潜在问题中的源功能迭代形状重建”科学与工程逆问题，卷。20，没有。8，pp。1175-1193，2012。查看在：出版商网站|谷歌学术|Mathscinet.
29. L. Ling，Y. C. Hon和M. Yamamoto，“泊松方程的逆源识别”科学与工程逆问题，卷。13，不。4，pp。433-447，2005。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
30. M. Kirane和S. A. Malik，“含时间分数阶导数的线性热方程的未知源项的确定和温度分布”，应用数学与计算(第218卷)1，页163-170,2011。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
31. D. A. Murio和C. E. Mejía，“时间分数扩散方程的源项识别”，Revista Colombiana deMatemáticas第42卷，第4期。1, 25-46页，2008。查看在：谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
32. 王建国，周永波，魏涛，“基于正则化方法的时间分数阶扩散方程空间源辨识方法”，系统工程理论与应用，vol . 36, no . 1, no . 3, no . 3应用数学数学，卷。68，pp。39-57,2013。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.
33. 张勇，徐旭东，“分数阶扩散方程的源反问题”，逆问题，卷。27，不。3，图1035010，12页，2011年。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
34. H. W. Engl，M. Hanke和A. Neubauer，逆问题的正则化，第375卷数学及其应用，Kluwer Academic，Dordrecht，荷兰，1996年。查看在：出版商网站|Mathscinet.
35. P. C.汉森，秩亏和离散不适定问题，暹罗专着数学建模与计算，工业和应用数学协会，费城，帕，美国，1998年。查看在：出版商网站|Mathscinet.
36. P. C. Hansen，“正规化工具：Matlab包，用于分析和离散问题的解决问题，”数值算法，第6卷，第4卷。1-2, 1-35页，1994。查看在：出版商网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.|Mathscinet.
37. p。c。Hansen和d。p。O'Leary，使用$\mathrm{L.}$-曲线在离散病态问题正则化中的应用，"暹罗学报科学计算，卷。14，不。6，PP。1487-1503,1993。查看在：出版商网站|谷歌学术|Mathscinet.
38. R.Gorenflo和F.Mainardi，“分数微积分：分数顺序的积分和微分方程”连续力学的分形和分数微积分，A. Carpinteri和F. Mainardi，EDS。，PP。223-276，Springer，New York，Ny，USA，1997。查看在：谷歌学术

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