AMP 数学物理的发展 1687 - 9139<我年代年代npub-type="ppub"> 1687 - 9120 Hindawi出版公司 485273年 10.1155 / 2013/485273 485273年 研究文章 一个点声源识别问题在一段时间内部分扩散方程 杨 小美 1 邓 Zhi-Liang 2 李 明 1 数学学院的 西南交通大学 成都610031 中国 swjtu.edu.cn 2 数学科学学院 中国电子科技大学 成都610054 中国 uestc.edu.cn 2013年 8 12 2013年 2013年 19 09年 2013年 20. 10 2013年 21 10 2013年 2013年 版权©2013杨小美和Zhi-Liang邓。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。 一个逆源识别问题在一段时间内讨论了分数阶扩散方程。未知的热源应该是空间的依赖。基于格林函数的使用,开发一个有效的数值算法来恢复这两个未知点光源的强度和位置最终测量。数值结果表明,该方法是有效和准确的。 1。介绍</t我tle><p>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mrow> <mml:mi> Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个有限域<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℝ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>的边界<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mrow> <mml:mi> Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。考虑下面的时间部分扩散过程:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1.1"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (1)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> ℒ</mml:mi> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> ℬ</mml:mi> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∶</mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> β</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mrow> <mml:mi> ℒ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是均匀椭圆算子,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mrow> <mml:mi> ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>外法线的边界吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mrow> <mml:mi> β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>已知常数不同时为零。在这里,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:msub> <mml:mrow></mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>代表了卡普托分数导数算子<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> γ</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>定义为<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1.2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∶</mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="false" class="cases"> {</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> γ</mml:mi> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> γ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mo> ·</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>是标准的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>函数和总理表示一般的导数。</p> <p>从过去的几十年里,分数微积分抓住大的关注不仅数学家和工程师,而且许多科学家从各个领域(例如,见<xref ref-type="bibr" rid="B19"> 1</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B34"> 4</xref>])。分形部分扩散方程描述反常扩散(分数维的物理对象,像一些非晶态半导体或强烈多孔材料;参见[<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 5</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B29"> 6</xref>)和引用)。事实上,部分衍生品提供优秀的工具,内存和遗传特性的描述各种材料和流程。这是部分衍生品的主要优势与古典integer-order模型相比,这种效应实际上是被忽视的。详细的分数阶微积分理论和应用,一个可以参考(<xref ref-type="bibr" rid="B19"> 1</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B34"> 4</xref>)和引用。的分数阶微分方程不仅吸引了人们的注意力,而且相关理论和应用物理和几何分形维数的研究(例如,<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 7</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B25"> 11</xref>])。</p> <p></p> <p></p> <p>如果非齐次初始条件,也就是说,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> φ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>,我们总是能够简化系统(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>)为两个组件;也就是说,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> v</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>解决了齐次与非齐次方程和初始条件<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足非齐次方程齐次初始条件。正如我们所知,初始值/相关联的边值问题<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mrow> <mml:mi> v</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是适定的,存在许多工作等问题,例如,(<xref ref-type="bibr" rid="B21"> 12</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B27"> 13</xref>]。在下面,而非齐次初始条件,我们只关注系统(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>)与均匀初始条件。通常,当<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个已知函数,我们被要求确定解决方案功能<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>以满足(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>)。所以构成,这是一个直接的问题。然而,源项<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mrow> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>并不总是知道,必须从一些额外的数据计算。额外的信息主要是以下几点:室内/边界瞬态测量值和最终的测量值。在这里,我们假设测量数据给出了最后一次<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>作为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> ϵ</mml:mi> <mml:mi> *</mml:mi> <mml:mtext> 兰德</mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>(<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是噪音水平)。</p> <p>对于大多数经典偏微分方程,源函数的识别和重建的最终数据或部分边界数据是一个反问题与许多应用程序(例如,<xref ref-type="bibr" rid="B13"> 14</xref>])。大量的文章地址源项识别的可解性问题。对抛物型微分方程,请参阅[<xref ref-type="bibr" rid="B2"> 15</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B37"> 26</xref>]。椭圆型微分方程,一个可以引用(<xref ref-type="bibr" rid="B7"> 27</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B26"> 29日</xref>),虽然源识别问题已经讨论的经典框架,然而,据作者的知识,有罕见的源识别问题的研究方面与分数微分方程尽管身体和实际意义。显示在[<xref ref-type="bibr" rid="B18"> 30.</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B38"> 33</xref>),与时间相关的源识别问题也分数阶扩散方程不适定的。这意味着解决方案不持续取决于给定的数据和任何小扰动在给定的数据可能会导致大变化的解决方案。在[<xref ref-type="bibr" rid="B38"> 33</xref>),部分边界上给出额外的数据时,时间的唯一性识别源项独立<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>建立了一维时间部分扩散方程。在[<xref ref-type="bibr" rid="B18"> 30.</xref>),如果最后一次温度分布是已知的,存在唯一性结果证明。Murio和Mejia<xref ref-type="bibr" rid="B30"> 31日</xref>]提出一种缓和正则化技术来重构未知强迫项<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>。在本文中,我们的目标是处理源和测量的特殊情况都是点。重点将放在经济复苏的强度和位置未知的源项。为此,我们提出一个方法基于格林函数的使用来解决逆源识别问题。</p> <p>论文的大纲如下。节<xref ref-type="sec" rid="sec2"> 2</xref>在考虑,我们提供一个简短的草图识别问题。重建方法,然后给出格林函数部分<xref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xref>。提出的数值实现方法提供的部分<xref ref-type="sec" rid="sec4"> 4</xref>。节<xref ref-type="sec" rid="sec5"> 5</xref>我们总结的结果。</p> <p></p> <p></p> <p></p> <p></p> </sec> <sec id="sec2"> <title>2。问题的陈述</t我tle><p>在本文中,我们处理源函数的特例<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>的形式<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>源和表示的位置点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>强度与每个点源关联吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。因此,温度分布<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>域内<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mrow> <mml:mi> Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是由<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>令人满意的<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.2"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (4)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> ℒ</mml:mi> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EHAABAAABCA0HB0AA"></mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EHAABAAABCA0HB0AA"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> ℬ</mml:mi> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="ERAABAAAAAA0HB0AA"></mml:mo> <mml:mo> ∶</mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> β</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="ERAABAAAAAA0HB0AA"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mi> δ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mo> ·</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>狄拉克δ函数。与此同时,让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mrow> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个自然数,让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mo stretchy="false"> {</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>是一群分<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mrow> <mml:mi> Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。在这里,点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,分布在<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mrow> <mml:mi> Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是搭配点。我们的目标是确定的力量来源<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和位置<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>从用户输入估计位置和最后的测量数据的集合<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∶</mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> υ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> N</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> υ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>表示平均值为零,方差高斯变量<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。这个大小<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>也代表了噪音水平。</p> <p>让我们先假设点光源的位置<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mo stretchy="false"> {</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> }</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>给出了。在这种假设下,我们来到了经济复苏的强度问题<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与点相关联的资源<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>从<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mrow> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>搭配不同的最终数据<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>。经济复苏问题是不适定的,这提示我们用正则化方法。</p> <p>因此,我们假设点光源的位置<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不知道但是最初想的位置吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>给出对每一个未知的点源。此外,我们假设每个点源属于不同的球域内;也就是说,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.6"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (6)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∩</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∩</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> ∅</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mi> θ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> ρ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>表示球为中心<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>半径为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。应该指出的是,如果两个或两个以上的点光源都集中在一个足够小的领域,该方法在以下部分将把它们作为一个点光源。</p> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。基于格林函数的方法</t我tle><p>在本节中,我们讨论了基于格林函数的识别方法。格林函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mi> θ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>可以被定义为以下方程的解决方案:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.1"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (7)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> ℒ</mml:mi> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="ELAABAAABCA0AB0AA"></mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> θ</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="ELAABAAABCA0AB0AA"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> θ</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> ℬ</mml:mi> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="ETAABAAAAAA0AB0AA"></mml:mo> <mml:mo> ∶</mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> β</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> θ</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="ETAABAAAAAA0AB0AA"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>通过应用拉普拉斯变换技术,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> γ</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> φ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> φ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> φ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>th正交本征函数和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是Sturm-Liouville相应的特征值问题<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq9"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (9)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> ℒ</mml:mi> <mml:mi> φ</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> φ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mi> φ</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> β</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> φ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> ζ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>米塔格-莱弗勒函数定义的吗<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> ζ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mi> γ</mml:mi> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> ζ</mml:mi> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>米塔格-莱弗勒函数的细节,可以参考(<xref ref-type="bibr" rid="B31"> 2</xref>]。</p> <p>利用格林函数,然后,我们可以编写解决方案(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.2"> 4</xref>),<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,当位置<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mo stretchy="false"> {</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> }</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>的来源是已知的,一旦我们获得最后一次测量数据中指定的(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.5"> 5</xref>),我们可以解决线性代数方程如下:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>未知的强度值<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,表示<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mi> λ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mi> ϖ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ε</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>,(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.6"> 12</xref>)可以写成矩阵形式如下:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mi> λ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> ϖ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mi> N</mml:mi> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>矩阵:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>采取<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mi> N</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后系统(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.7"> 13</xref>)包含<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mrow> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>线性方程与<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mrow> <mml:mi> N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>未知数。随后,如果矩阵<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是可逆的,一只是吗<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> λ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> ϖ</mml:mi> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然而,由于源识别问题的病态性,系统的(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.7"> 13</xref>)是坏脾气的,因此直接的解决方案,给出了(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.9"> 15</xref>),将不可能或将产生不准确的结果。获得稳定的解决这类病态系统,各种正则化技术已经被广泛研究和应用<xref ref-type="bibr" rid="B6"> 34</xref>]。在这里,一个标准的Tikhonov正则化技术是采用找到近似解矩阵方程(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.7"> 13</xref>)。通过<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们表示Tikhonov正则化解决方案定义的最小元素下面的最小平方问题:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 最小值</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo></mml:mo> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> J</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∶</mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> 最小值</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:munder> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> ∥</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mi> λ</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> ϖ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> ∥</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> ∥</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> ∥</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mi> α</mml:mi> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>正则化参数和吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ∥</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ·</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ∥</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示一般的欧几里得范数。它是众所周知的<xref ref-type="bibr" rid="B6"> 34</xref>的最小元素<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> J</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可以写成<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> ϖ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> *</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示的共轭转置矩阵<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示单位矩阵。</p> <p>接下来,假设的位置<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mo stretchy="false"> {</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> }</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>的点光源也未知。在这种情况下,我们将得到一个非线性系统。非线性系统不适或困难的直接数值计算。为了消除实现数值计算的困难,我们提出以下线性化的非线性系统。</p> <p>的估计位置<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mo stretchy="false"> {</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> }</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>,我们定义以下联盟<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="normal"> Θ</mml:mi> <mml:mo> ∶</mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ⋃</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∩</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>假设它包含所有点的确切位置来源与适当的半径<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。非线性系统线性化,我们采取一些额外的搭配点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mo stretchy="false"> {</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>从集合<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Θ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。假设<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mo stretchy="false"> {</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>均匀分布在<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Θ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。在每一个点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们将在一个点光源强度<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。假设产生的温度分布<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>点光源<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mo stretchy="false"> {</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>等于,生成的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>点光源<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mo stretchy="false"> {</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>。随后,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.13"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (19)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi> ℒ</mml:mi> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EDAABAAABCARAA"></mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EDAABAAABCARAA"></mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> β</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>额外的数据(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.5"> 5</xref>),<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>位置的强度吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。通过使用上面的方法来解决(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.13"> 19</xref>)和(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.5"> 5</xref>),强度<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>每个点的来源<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>可以获得约。接下来,我们将强度<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mo stretchy="false"> {</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> }</mml:mo> <mml:mo> ⊂</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> <mml:mo> ∩</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>回一个源点如下:<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>th未知源强度<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与每一个球<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> <mml:mo> ∩</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是近似的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∶</mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> (</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> )</mml:mo> <mml:mo> ∩</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>近似的强度,我们可以开始看看如何找到点光源的位置。每一个点光源<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>中,我们使用的重量和位置坐标<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在球<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>近似的确切位置。更具体地说,近似位置<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>对应的强度<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被定义为<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∶</mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> (</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> )</mml:mo> <mml:mo> ∩</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> …</mml:mo> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。数值例子</t我tle><p>在本节中,给出了一些数值例子来验证方法的有效性<xref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xref>。在我们的计算中,我们使用MATLAB代码由汉森(<xref ref-type="bibr" rid="B10"> 35</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B11"> 36</xref>)为解决坏心肠的系统(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.7"> 13</xref>)。比较近似的准确性,我们使用均方根(RMS)被定义为<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (22)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> RMS</mml:mtext> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这个数据<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>测量的点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>通过添加随机噪声得到确切的数据吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>通过<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq23"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> ϵ</mml:mi> <mml:mtext> 兰德</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mtext> 兰德</mml:mtext> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mi> 我</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>之间的一个随机数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1,- 1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false"> ]</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>。测量分<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mo stretchy="false"> {</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> }</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>均匀分布在<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mrow> <mml:mi> Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。此外,正如我们所知,不适定问题的正则化参数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mrow> <mml:mi> α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>起着重要的作用,因此必须选择适当。在理论上,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mrow> <mml:mi> α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在某种程度上取决于<我talic> 先天的</我talic>知识的精确解和噪音水平<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<xref ref-type="bibr" rid="B6"> 34</xref>]。然而,在实践中,<我talic> 先天的</我talic>知识和噪音水平可能并不总是被人知道的。因此,为了补偿缺乏信息噪声水平,我们有必要考虑一些错误参数的选择规则。在这里,我们采用<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>标准曲线(<xref ref-type="bibr" rid="B10"> 35</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B12"> 37</xref>)选择正则化参数。</p> <statement id="ex1"> <title>例1。</t我tle><p>考虑下面的热传导问题无限域<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> {</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ∣</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false"> }</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.2"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (24)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</mml:mi> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="ELAABAAABDHAKAA"></mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="ELAABAAABDHAKAA"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow></mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>格林函数给出<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq25"> <mml:mtd> <mml:mtext> (25)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mi> ξ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> η</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EIAABAAABAFAKAA"></mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:msqrt> <mml:mi> π</mml:mi> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> η</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo minsize="0.75em" maxsize="0.75em"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</mml:mn> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> sinh</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mi> η</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EIAABAAABAFAKAA"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> π</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 罪</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mi> π</mml:mi> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> 罪</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mi> π</mml:mi> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mi> H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mo> ·</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> )</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>是亥维赛函数。不失一般性,我们<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p> </statement> <p>在该测试中,我们认为,源函数(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 3</xref>)包含5个源点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mo stretchy="false"> {</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>。输入源的位置<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>随机选择这样<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq26"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> |</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> |</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 为</mml:mtext> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 3、4</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>足够的小,以确保吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。参数的值<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mo stretchy="false"> {</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>在(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3.12"> 18</xref>本计算中使用)<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。当嘈杂的数据给出了最后的时间<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,我们将演示两个噪音水平下的数值性能:<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mi> ϵ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.01</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mi> ϵ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.001</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。通过使用的计算执行<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在每个球试验中心。我们报告的数值结果不同<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在表中<xref ref-type="table" rid="tab1"> 1</xref>和<xref ref-type="table" rid="tab2"> 2</xref>。显示的结果表明,总数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>试验中心扮演任何角色的融合方案。只有少量的试验中心足以近似未知源函数。因此,我们只考虑时的情况<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> One hundred.</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>试验中心是在每个球在随后的例子。</p> <table-wrap id="tab1"> <label>表1</label> <p>例子<xref ref-type="statement" rid="ex1"> 1</xref>:数值比较<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mi> ϵ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.01</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p> <table> <thead> <tr> <th align="left" rowspan="2">确切的</th> <th align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> <th align="center">11</th> <th align="center">1</th> <th align="center">21</th> <th align="center">−5</th> <th align="center">−7</th> </tr> <tr> <th align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> <th align="center">(0.5,1)</th> <th align="center">(0.5,5)</th> <th align="center">(0.5,10)</th> <th align="center">(0.5,15)</th> <th align="center">(0.5,25)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn fontstyle="italic"> 25</mml:mn> <mml:mi></mml:mi> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">11.6978</td><tdalign="center">1.0539</td><tdalign="center">22.0974</td><tdalign="center">−5.1806</td><tdalign="center">−7.3625</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.5196,0.9876)</td><tdalign="center">(0.5349,4.9513)</td><tdalign="center">(0.5173,10.0002)</td><tdalign="center">(0.5059,14.9989)</td><tdalign="center">(0.5129,25.0005)</td></tr> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn fontstyle="italic"> One hundred.</mml:mn> <mml:mi></mml:mi> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">11.7866</td><tdalign="center">0.9881</td><tdalign="center">22.1760</td><tdalign="center">−5.1460</td><tdalign="center">−7.3026</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.5226,0.9925)</td><tdalign="center">(0.5196,4.9688)</td><tdalign="center">(0.5188,10.0002)</td><tdalign="center">(0.5059,15.0016)</td><tdalign="center">(0.5102,25.0001)</td></tr> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn fontstyle="italic"> 256年</mml:mn> <mml:mi></mml:mi> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">11.4531</td><tdalign="center">1.0006</td><tdalign="center">22.1702</td><tdalign="center">−5.1226</td><tdalign="center">−7.1781</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.5136,0.9929)</td><tdalign="center">(0.5219,4.9689)</td><tdalign="center">(0.5190,10.0005)</td><tdalign="center">(0.5027,15.0023)</td><tdalign="center">(0.5046,24.9995)</td></tr> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn fontstyle="italic"> 400年</mml:mn> <mml:mi></mml:mi> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">11.6968</td><tdalign="center">1.0962</td><tdalign="center">22.1453</td><tdalign="center">−5.0899</td><tdalign="center">−7.1799</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.5213,0.9977)</td><tdalign="center">(0.5521,4.9829)</td><tdalign="center">(0.5186,10.0005)</td><tdalign="center">(0.5009,15.0027)</td><tdalign="center">(0.5047,25.0008)</td></tr> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn fontstyle="italic"> 625年</mml:mn> <mml:mi></mml:mi> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">11.9726</td><tdalign="center">1.0230</td><tdalign="center">22.0421</td><tdalign="center">−5.1289</td><tdalign="center">−7.1438</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.5274,0.9951)</td><tdalign="center">(0.5309,5.0000)</td><tdalign="center">(0.5171,10.0004)</td><tdalign="center">(0.5033,15.0033)</td><tdalign="center">(0.5028,24.9993)</td></tr> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn fontstyle="italic"> 900年</mml:mn> <mml:mi></mml:mi> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">11.5229</td><tdalign="center">1.0794</td><tdalign="center">22.3220</td><tdalign="center">−4.9636</td><tdalign="center">−7.1709</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.5163,0.9975)</td><tdalign="center">(0.5477,4.9907)</td><tdalign="center">(0.5209,10.0004)</td><tdalign="center">(0.4919,15.0005)</td><tdalign="center">(0.5035,25.0000)</td></tr> </tbody> </table> </table-wrap> <table-wrap id="tab2"> <label>表2</label> <p>例子<xref ref-type="statement" rid="ex1"> 1</xref>:数值比较<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mi> ϵ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.001</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p> <table> <thead> <tr> <th align="left" rowspan="2">确切的</th> <th align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> <th align="center">5</th> <th align="center">7</th> <th align="center">2</th> <th align="center">5</th> <th align="center">7</th> </tr> <tr> <th align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> <th align="center">(0.3,1)</th> <th align="center">(0.6,5)</th> <th align="center">(0.5,10)</th> <th align="center">(0.7,15)</th> <th align="center">(0.2,25)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn fontstyle="italic"> 25</mml:mn> <mml:mi></mml:mi> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">4.9670</td><tdalign="center">7.3015</td><tdalign="center">1.8876</td><tdalign="center">5.1820</td><tdalign="center">6.9783</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.3016,1.0113)</td><tdalign="center">(0.6133,5.0007)</td><tdalign="center">(0.4816,10.0010)</td><tdalign="center">(0.7097,14.9972)</td><tdalign="center">(0.1985,24.9974)</td></tr> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn fontstyle="italic"> One hundred.</mml:mn> <mml:mi></mml:mi> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">4.9553</td><tdalign="center">7.1001</td><tdalign="center">1.9929</td><tdalign="center">5.0736</td><tdalign="center">6.9830</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.3009,1.0117)</td><tdalign="center">(0.6057,4.9999)</td><tdalign="center">(0.4993,10.0079)</td><tdalign="center">(0.7061,15.0017)</td><tdalign="center">(0.1982,24.9966)</td></tr> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn fontstyle="italic"> 256年</mml:mn> <mml:mi></mml:mi> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">4.9891</td><tdalign="center">7.0950</td><tdalign="center">2.0070</td><tdalign="center">4.9055</td><tdalign="center">6.7970</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.3041,1.0112)</td><tdalign="center">(0.6054,4.9992)</td><tdalign="center">(0.5018,10.0075)</td><tdalign="center">(0.7003,15.0016)</td><tdalign="center">(0.2031,25.0043)</td></tr> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn fontstyle="italic"> 400年</mml:mn> <mml:mi></mml:mi> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">4.9690</td><tdalign="center">7.0538</td><tdalign="center">1.9133</td><tdalign="center">4.9015</td><tdalign="center">6.7483</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.3020,1.0114)</td><tdalign="center">(0.6041,4.9998)</td><tdalign="center">(0.4859,10.0036)</td><tdalign="center">(0.7002,15.0014)</td><tdalign="center">(0.2032,25.0023)</td></tr> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn fontstyle="italic"> 625年</mml:mn> <mml:mi></mml:mi> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">4.9678</td><tdalign="center">7.0433</td><tdalign="center">1.9759</td><tdalign="center">4.9636</td><tdalign="center">6.6110</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.3022,1.0115)</td><tdalign="center">(0.6036,5.0003)</td><tdalign="center">(0.4966,10.0061)</td><tdalign="center">(0.7025,15.0035)</td><tdalign="center">(0.2078,25.0015)</td></tr> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mi> 问</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn fontstyle="italic"> 900年</mml:mn> <mml:mi></mml:mi> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">4.9803</td><tdalign="center">7.0981</td><tdalign="center">2.0104</td><tdalign="center">5.0513</td><tdalign="center">6.6630</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.3030,1.0103)</td><tdalign="center">(0.6052,4.9991)</td><tdalign="center">(0.5019,10.0072)</td><tdalign="center">(0.7047,15.0059)</td><tdalign="center">(0.2065,25.0024)</td></tr> </tbody> </table> </table-wrap> <statement id="ex2"> <title>例2。</t我tle><p>在这个例子中,我们考虑下面的逆平方域的识别问题<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false"> ]</mml:mo> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false"> ]</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> γ</mml:mi> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4.3"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (27)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</mml:mi> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mo> ∂</mml:mo> <mml:mi> Ω</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>由于拉普拉斯变换(<xref ref-type="bibr" rid="B31"> 2</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B8"> 38</xref>),一个可以推出相应的格林函数<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq28"> <mml:mtd> <mml:mtext> (28)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:maligngroup></mml:maligngroup> <mml:mi> G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> y</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mi> ξ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> η</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:malignmark></mml:malignmark> <mml:mo id="EDAABAAABAAAHAA"></mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</mml:mn> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</mml:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> γ</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> π</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi> 罪</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mi> π</mml:mi> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo linebreak="newline" indentalign="id" indenttarget="EDAABAAABAAAHAA"></mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mi> 罪</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mi> π</mml:mi> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi> 罪</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mi> π</mml:mi> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi> 罪</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> n</mml:mi> <mml:mi> π</mml:mi> <mml:mi> η</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <p>首先,我们看到了该算法对参数的鲁棒性<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mi> ϵ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.01,0.001</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,我们报告了RMS在表<xref ref-type="table" rid="tab3"> 3</xref>在不同<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>三点源位于<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq29"> <mml:mtd> <mml:mtext> (29)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.3,0.3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.5,0.7</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo class="left"> (</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.7,0.3</mml:mn> <mml:mo class="right"> )</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>与强度<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。表中给出了相应的近似位置<xref ref-type="table" rid="tab4"> 4</xref>和<xref ref-type="table" rid="tab5"> 5</xref>。显示的结果表明,参数的变化<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>对数值计算几乎没有影响,这反映了该方法是健壮呢<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。另一方面,我们可以看到,对于较小的噪音水平<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们获得更好的数值效果。</p> <table-wrap id="tab3"> <label>表3</label> <p>例子<xref ref-type="statement" rid="ex2"> 2</xref>:RMS在不同<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:mi> 米</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p> <table> <thead> <tr> <th align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mi> ϵ</mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> </mml:math> </inline-formula></th> <th align="center" colspan="10"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> </tr> <tr> <th align="center">0.0909</th> <th align="center">0.1818</th> <th align="center">0.2727</th> <th align="center">0.3636</th> <th align="center">0.4545</th> <th align="center">0.5455</th> <th align="center">0.6364</th> <th align="center">0.7273</th> <th align="center">0.8182</th> <th align="center">0.9091</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="left">0.01</td><tdalign="center">0.0231</td><tdalign="center">0.0121</td><tdalign="center">0.0388</td><tdalign="center">0.0266</td><tdalign="center">0.0137</td><tdalign="center">0.0250</td><tdalign="center">0.0184</td><tdalign="center">0.0233</td><tdalign="center">0.0822</td><tdalign="center">0.0589</td></tr> <tr> <td align="left">0.001</td><tdalign="center">0.0083</td><tdalign="center">0.0045</td><tdalign="center">0.0088</td><tdalign="center">0.0080</td><tdalign="center">0.0089</td><tdalign="center">0.0114</td><tdalign="center">0.0099</td><tdalign="center">0.0091</td><tdalign="center">0.0096</td><tdalign="center">0.0070</td></tr> </tbody> </table> </table-wrap> <table-wrap id="tab4"> <label>表4</label> <p>例子<xref ref-type="statement" rid="ex2"> 2</xref>:近似位置为(0.3,0.3),(0.5,0.7),(0.7,0.3)。</p> <table> <thead> <tr> <th align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> <th align="center" colspan="5"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> </tr> <tr> <th align="center">0.0909</th> <th align="center">0.1818</th> <th align="center">0.2727</th> <th align="center">0.3636</th> <th align="center">0.4545</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="left">0.01</td><tdalign="center">(0.2986,0.2844)<break></break>(0.5017,0.7031)<break></break>(0.7023,0.2998)</td><tdalign="center">(0.2983,0.2987)<break></break>(0.5013,0.6993)<break></break>(0.7018,0.3014)</td><tdalign="center">(0.3053,0.3013)<break></break>(0.5022,0.6979)<break></break>(0.7030,0.3061)</td><tdalign="center">(0.2951,0.2875)<break></break>(0.5005,0.7029)<break></break>(0.7036,0.3016)</td><tdalign="center">(0.3035,0.3049)<break></break>(0.5009,0.6985)<break></break>(0.7022,0.3030)</td></tr> <tr> <td align="left" colspan="6"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left">0.001</td><tdalign="center">(0.3002,0.2937)<break></break>(0.5010,0.7010)<break></break>(0.7024,0.3018)</td><tdalign="center">(0.3031,0.2956)<break></break>(0.5002,0.7002)<break></break>(0.7016,0.3016)</td><tdalign="center">(0.3019,0.2951)<break></break>(0.5006,0.7003)<break></break>(0.7020,0.3017)</td><tdalign="center">(0.3021,0.2950)<break></break>(0.5006,0.7003)<break></break>(0.7021,0.3019)</td><tdalign="center">(0.2996,0.2947)<break></break>(0.5008,0.7008)<break></break>(0.7024,0.3018)</td></tr> </tbody> </table> </table-wrap> <table-wrap id="tab5"> <label>表5</label> <p>例子<xref ref-type="statement" rid="ex2"> 2</xref>:近似位置为(0.3,0.3),(0.5,0.7),(0.7,0.3)。</p> <table> <thead> <tr> <th align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:mrow> <mml:mi> ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> <th align="center" colspan="5"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mrow> <mml:mi> γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> </tr> <tr> <th align="center">0.5455</th> <th align="center">0.6364</th> <th align="center">0.7273</th> <th align="center">0.8182</th> <th align="center">0.9091</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="left">0.01</td><tdalign="center">(0.3029,0.2955)<break></break>(0.5021,0.7004)<break></break>(0.7029,0.3036)</td><tdalign="center">(0.3003,0.3007)<break></break>(0.5007,0.6983)<break></break>(0.7010,0.3029)</td><tdalign="center">(0.3083,0.3026)<break></break>(0.4974,0.6976)<break></break>(0.6995,0.3008)</td><tdalign="center">(0.2957,0.2992)<break></break>(0.5050,0.6980)<break></break>(0.7018,0.3088)</td><tdalign="center">(0.2830,0.2881)<break></break>(0.4980,0.7038)<break></break>(0.7056,0.3000)</td></tr> <tr> <td align="left" colspan="6"> <hr></td> </tr> <tr> <td align="left">0.001</td><tdalign="center">(0.3011,0.2940)<break></break>(0.5010,0.7006)<break></break>(0.7025,0.3022)</td><tdalign="center">(0.3029,0.2946)<break></break>(0.5006,0.7002)<break></break>(0.7021,0.3021)</td><tdalign="center">(0.3017,0.2943)<break></break>(0.5009,0.7006)<break></break>(0.7021,0.3017)</td><tdalign="center">(0.2992,0.2954)<break></break>(0.5004,0.7008)<break></break>(0.7026,0.3019)</td><tdalign="center">(0.3023,0.2972)<break></break>(0.5005,0.6996)<break></break>(0.7021,0.3024)</td></tr> </tbody> </table> </table-wrap> <p>其次,我们也考虑最后一次的效果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在数值精度。修复<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:mi> γ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.5</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和选择参数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,我们报告的数值结果表<xref ref-type="table" rid="tab6"> 6</xref>从哪一个可以看到,近似的精度降低的数量的增加<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。这种现象可以解释为不适定逆源识别问题的本质。</p> <table-wrap id="tab6"> <label>表6</label> <p>例子<xref ref-type="statement" rid="ex2"> 2</xref>:数值比较<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mi> ϵ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.01</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>使用不同的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mrow> <mml:mi> T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p> <table> <thead> <tr> <th align="left" rowspan="2">确切的</th> <th align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> <th align="center">1</th> <th align="center">3</th> <th align="center">5</th> </tr> <tr> <th align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></th> <th align="center">(0.3,0.3)</th> <th align="center">(0.5,0.7)</th> <th align="center">(0.7,0.3)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">1.0108</td><tdalign="center">3.0096</td><tdalign="center">5.0584</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.2886,0.2917)</td><tdalign="center">(0.5007,0.7032)</td><tdalign="center">(0.7043,0.3034)</td></tr> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">1.0039</td><tdalign="center">3.0035</td><tdalign="center">4.8805</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.3265,0.3068)</td><tdalign="center">(0.4966,0.6984)</td><tdalign="center">(0.6993,0.3001)</td></tr> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">0.8916</td><tdalign="center">2.9666</td><tdalign="center">5.0708</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.2959,0.2993)</td><tdalign="center">(0.5046,0.6980)</td><tdalign="center">(0.7004,0.3093)</td></tr> <tr> <td align="left" rowspan="2"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 5</mml:mn> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">0.8560</td><tdalign="center">2.9201</td><tdalign="center">5.1635</td></tr> <tr> <td align="center"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">(0.2805,0.3130)</td><tdalign="center">(0.5134,0.6938)</td><tdalign="center">(0.7026,0.3100)</td></tr> </tbody> </table> </table-wrap> <p>最后,使用前面的点光源,我们图的精确和近似位置在图源点<xref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</xref>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:mi> ϵ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.1,1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。计算强度是<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.9326</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2.9555</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 5.1065</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1.4365</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1.9797</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 5.8621</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,分别。可以看出,即使是高噪声水平<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mi> ϵ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 0.1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,该方法会产生一个可接受的数值近似。</p> <fig-group id="fig1"> <p>近似为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mi> ϵ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> 。</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>与<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:mi> T</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> 。</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>(一),1 (b)。</p> <fig id="fig1a"> <label>(一)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/amp/2013/485273.fig.001a"></graphic> </fig> <fig id="fig1b"> <label>(b)</label> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/amp/2013/485273.fig.001b"></graphic> </fig> </fig-group> </sec> <sec id="sec5"> <title>5。结论</t我tle><p>基于格林函数的使用,我们在本文中提出一种有效的数值方法来恢复点光源的强度和位置在一段时间内部分扩散过程。一些数值结果表明,该算法提供了一个准确、可靠的方案。</p> </sec> <back> <ack> <title>确认</t我tle><p>这项工作是支持的基础研究基金为中央大学(SWJTU11BR078 ZYGX2011J104)和中国NSF(没有。11226040)。</p> </ack> <ref-list> <ref id="B19" content-type="book"> <label>1</label> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kilbas</年代urname> <given-names> 答:一个。</given-names> </name> <name> <surname> 斯利瓦斯塔瓦</年代urname> <given-names> h . M。</given-names> </name> <name> <surname> 特鲁希略</年代urname> <given-names> J·J。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 分数阶微分方程理论及应用</我talic> <year> 2006年</year> <volume> 204年</volume> <publisher-loc> 阿姆斯特丹,荷兰</publisher-loc> <publisher-name> 爱思唯尔的科学</publisher-name> <series> 北荷兰数学研究</年代eries> <pub-id pub-id-type="other"> MR2218073</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B31" content-type="book"> <label>2</label> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Podlubny</年代urname> <given-names> 我。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 分数微分方程</我talic> <year> 1999年</year> <volume> 198年</volume> <publisher-loc> 圣地亚哥,加州,美国</publisher-loc> <publisher-name> 学术出版社</publisher-name> <series> 数学在科学和工程</年代eries> <pub-id pub-id-type="other"> MR1658022</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B33" content-type="book"> <label>3</label> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Sabatier</年代urname> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> Agrawal</年代urname> <given-names> o . P。</given-names> </name> <name> <surname> 马查多</年代urname> <given-names> j·a·T。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 分数微积分的发展:在物理和工程理论的发展和应用</我talic> <year> 2007年</year> <publisher-loc> 荷兰多德雷赫特</publisher-loc> <publisher-name> 施普林格</publisher-name> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / 978-1-4020-6042-7</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2432163</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B34" content-type="book"> <label>4</label> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Samko</年代urname> <given-names> s G。</given-names> </name> <name> <surname> Kilbas</年代urname> <given-names> 答:一个。</given-names> </name> <name> <surname> Marichev</年代urname> <given-names> o . I。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 分数积分和衍生品</我talic> <year> 1993年</year> <publisher-loc> 瑞士Yverdon</publisher-loc> <publisher-name> 戈登和违反科学</publisher-name> <pub-id pub-id-type="other"> MR1347689</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B1" content-type="article"> <label>5</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 无水的</年代urname> <given-names> 诉V。</given-names> </name> <name> <surname> Leonenko</年代urname> <given-names> N . N。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 光谱分析分数阶动力学方程和随机数据</article-title> <source> <italic> 统计物理学杂志</我talic> <year> 2001年</year> <volume> 104年</volume> <issue> 5 - 6</我年代年代ue><fpage> 1349年</fpage> <lpage> 1387年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1023 /:1010474332598</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1859007</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1034.82044</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B29" content-type="article"> <label>6</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 麦茨勒</年代urname> <given-names> R。</given-names> </name> <name> <surname> Klafter</年代urname> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 随机漫步的反常扩散指南:部分动力学方法</article-title> <source> <italic> 物理的报告</我talic> <year> 2000年</year> <volume> 339年</volume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 77年</fpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0370 - 1573 (00) 00070 - 3</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1809268</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0984.82032</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>7</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Cattani</年代urname> <given-names> C。</given-names> </name> <name> <surname> Ciancio</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 钟表</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在免疫竞争的数学模型</article-title> <source> <italic> 应用数学的信</我talic> <year> 2006年</year> <volume> 19</volume> <issue> 7</我年代年代ue><fpage> 678年</fpage> <lpage> 683年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.aml.2005.09.001</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2224424</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL05168890</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="article"> <label>8</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 李</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 分形时间a系列教程审查</article-title> <source> <italic> 数学问题在工程</我talic> <year> 2010年</year> <volume> 2010年</volume> <lpage> 26</lpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 157264年</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2010/157264</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2570932</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1191.37002</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="article"> <label>9</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 李</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> 陈</年代urname> <given-names> y Q。</given-names> </name> <name> <surname> 李</年代urname> <given-names> j . Y。</given-names> </name> <name> <surname> 赵</年代urname> <given-names> W。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 持有人的海平面</article-title> <source> <italic> 数学问题在工程</我talic> <year> 2012年</year> <volume> 2012年</volume> <lpage> 22</lpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 863707年</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2012/863707</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B24" content-type="article"> <label>10</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 李</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> 赵</年代urname> <given-names> W。</given-names> </name> <name> <surname> Cattani</年代urname> <given-names> C。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 延迟绑定:分形交通通过服务器</article-title> <source> <italic> 数学问题在工程</我talic> <year> 2013年</year> <volume> 2013年</volume> <lpage> 15</lpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 157636年</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2013/157636</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B25" content-type="article"> <label>11</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 李</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> 赵</年代urname> <given-names> W。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mi> f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>噪音</article-title> <source> <italic> 数学问题在工程</我talic> <year> 2012年</year> <volume> 2012年</volume> <lpage> 23</lpage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 673648年</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2012/673648</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR3007794</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1264.94060</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>12</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 埃塞俄比亚</年代urname> <given-names> M . M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 部分扩散方程的数值解</article-title> <source> <italic> 非线性科学与数值模拟通信</我talic> <year> 2011年</year> <volume> 16</volume> <issue> 6</我年代年代ue><fpage> 2535年</fpage> <lpage> 2542年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.cnsns.2010.09.007</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2765206</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1221.65263</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B27" content-type="article"> <label>13</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Luchko</年代urname> <given-names> Y。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一些独特性和存在结果为广义time-fractional扩散方程初边值问题</article-title> <source> <italic> 计算机和数学与应用程序</我talic> <year> 2010年</year> <volume> 59</volume> <issue> 5</我年代年代ue><fpage> 1766年</fpage> <lpage> 1772年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.camwa.2009.08.015</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2595950</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1189.35360</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="book"> <label>14</label> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Isakov</年代urname> <given-names> V。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 偏微分方程逆问题</我talic> <year> 1998年</year> <volume> 127年</volume> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</publisher-loc> <publisher-name> 施普林格</publisher-name> <series> 应用数学科学</年代eries> <pub-id pub-id-type="other"> MR1482521</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>15</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Baran</年代urname> <given-names> e . C。</given-names> </name> <name> <surname> Fatullayev</年代urname> <given-names> a·G。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 确定一个未知的源参数的二维热方程</article-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我talic> <year> 2004年</year> <volume> 159年</volume> <issue> 3</我年代年代ue><fpage> 881年</fpage> <lpage> 886年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.amc.2003.08.082</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2098234</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1067.65100</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="unpublished"> <label>16</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> de Cezaro</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 约翰逊</年代urname> <given-names> b . T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 报告的唯一性标识spacewise依赖源和热方程的扩散系数</article-title> <comment> <ext-link ext-link-type="url" xlink:href="http://arxiv.org/abs/1210.7346"> http://arxiv.org/abs/1210.7346</ext- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -l我nk></comment> </nlm-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="unpublished"> <label>17</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> de Cezaro</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> de Cezaro</年代urname> <given-names> f . T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 独特性和正规化的未知spacewise低阶系数和热型方程的来源</article-title> <comment> <ext-link ext-link-type="url" xlink:href="http://arxiv.org/abs/1210.7348"> http://arxiv.org/abs/1210.7348</ext- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -l我nk></comment> </nlm-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>18</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> D 'haeyer</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> 约翰逊</年代urname> <given-names> b . T。</given-names> </name> <name> <surname> Slodička</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 重建spacewise-dependent热源的时间热扩散过程</article-title> <source> <italic> IMA应用数学杂志》上</我talic> <year> 2012年</year> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1093 / imamat / hxs038</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>19</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Isakov</年代urname> <given-names> V。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 逆抛物问题最终的超定</article-title> <source> <italic> 通信在纯粹和应用数学</我talic> <year> 1991年</year> <volume> 44</volume> <issue> 2</我年代年代ue><fpage> 185年</fpage> <lpage> 209年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / cpa.3160440203</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1085828</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0729.35146</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>20.</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 约翰逊</年代urname> <given-names> T。</given-names> </name> <name> <surname> Lesnic</年代urname> <given-names> D。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 确定一个spacewise热源的依赖</article-title> <source> <italic> 计算和应用数学杂志》上</我talic> <year> 2007年</year> <volume> 209年</volume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 66年</fpage> <lpage> 80年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.cam.2006.10.026</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2384372</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1135.35097</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>21</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 约翰逊</年代urname> <given-names> b . T。</given-names> </name> <name> <surname> Lesnic</年代urname> <given-names> D。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 的过程确定spacewise热源和初始温度的依赖</article-title> <source> <italic> 适用的分析</我talic> <year> 2008年</year> <volume> 87年</volume> <issue> 3</我年代年代ue><fpage> 265年</fpage> <lpage> 276年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 00036810701858193</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2401821</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1133.35436</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>22</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kaliev</年代urname> <given-names> 我一个。</given-names> </name> <name> <surname> Sabitova</年代urname> <given-names> M . M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 问题的确定热源的温度和密度的初始和最终温度</article-title> <source> <italic> 数学应用和工业杂志</我talic> <year> 2010年</year> <volume> 4</volume> <issue> 3</我年代年代ue><fpage> 332年</fpage> <lpage> 339年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1134 / S199047891003004X</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2657211</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="article"> <label>23</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kriegsmann</年代urname> <given-names> g。</given-names> </name> <name> <surname> 奥姆斯戴德</年代urname> <given-names> w·E。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 源热方程的识别</article-title> <source> <italic> 应用数学的信</我talic> <year> 1988年</year> <volume> 1</volume> <issue> 3</我年代年代ue><fpage> 241年</fpage> <lpage> 245年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0893 - 9659 (88)90084 - 5</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR963691</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0696.35187</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B32" content-type="article"> <label>24</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rundell</年代urname> <given-names> W。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 抛物型方程的决心从最初的和最后的数据</article-title> <source> <italic> 美国数学学会学报》上</我talic> <year> 1987年</year> <volume> 99年</volume> <issue> 4</我年代年代ue><fpage> 637年</fpage> <lpage> 642年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2307 / 2046467</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR877031</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0644.35093</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B36" content-type="article"> <label>25</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 杨ydF4y2Ba</surname> <given-names> l</given-names> </name> <name> <surname> 傅</年代urname> <given-names> C.-L。</given-names> </name> <name> <surname> 杨</年代urname> <given-names> F.-L。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 该方法为逆热源问题的基本解决方案</article-title> <source> <italic> 工程分析与边界元素</我talic> <year> 2008年</year> <volume> 32</volume> <issue> 3</我年代年代ue><fpage> 216年</fpage> <lpage> 222年</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 38349149734</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.enganabound.2007.08.002</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1244.80026</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B37" content-type="article"> <label>26</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 杨ydF4y2Ba</surname> <given-names> l</given-names> </name> <name> <surname> 杨</年代urname> <given-names> F.-L。</given-names> </name> <name> <surname> 傅</年代urname> <given-names> C.-L。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 无网格方法求解逆spacewise-dependent热源问题</article-title> <source> <italic> 计算物理学杂志</我talic> <year> 2009年</year> <volume> 228年</volume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 123年</fpage> <lpage> 136年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jcp.2008.09.001</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2464071</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1157.65444</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>27</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 亲爱的</年代urname> <given-names> y . C。</given-names> </name> <name> <surname> 李</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> Melnikov</年代urname> <given-names> y。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 通过格林函数逆源识别</article-title> <source> <italic> 工程分析与边界元素</我talic> <year> 2010年</year> <volume> 34</volume> <issue> 4</我年代年代ue><fpage> 352年</fpage> <lpage> 358年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.enganabound.2009.09.009</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2585264</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1244.65162</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B28" content-type="article"> <label>28</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 马丁斯</年代urname> <given-names> n . f . M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 形状迭代重建使用MFS源函数在一个潜在的问题</article-title> <source> <italic> 在科学和工程反问题</我talic> <year> 2012年</year> <volume> 20.</volume> <issue> 8</我年代年代ue><fpage> 1175年</fpage> <lpage> 1193年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 17415977.2012.658520</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2998260</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B26" content-type="article"> <label>29日</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 凌</年代urname> <given-names> l</given-names> </name> <name> <surname> 亲爱的</年代urname> <given-names> y . C。</given-names> </name> <name> <surname> 山本</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 泊松方程的逆源识别</article-title> <source> <italic> 在科学和工程反问题</我talic> <year> 2005年</year> <volume> 13</volume> <issue> 4</我年代年代ue><fpage> 433年</fpage> <lpage> 447年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 17415970500126500</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2147383</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1194.65130</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>30.</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kirane</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> 马利克</年代urname> <given-names> 美国一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 确定一个未知的源项线性热方程和温度分布涉及分数导数</article-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我talic> <year> 2011年</year> <volume> 218年</volume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 163年</fpage> <lpage> 170年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.amc.2011.05.084</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2821461</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1231.35289</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B30" content-type="article"> <label>31日</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Murio</年代urname> <given-names> d . A。</given-names> </name> <name> <surname> Mejia</年代urname> <given-names> c, E。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 源项识别时间部分扩散方程</article-title> <source> <italic> 航空杂志上动作片de Matematicas</我talic> <year> 2008年</year> <volume> 42</volume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 25</fpage> <lpage> 46</lpage> <pub-id pub-id-type="other"> MR2581255</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1189.65199</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B35" content-type="article"> <label>32</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 王</年代urname> <given-names> j·G。</given-names> </name> <name> <surname> 周</年代urname> <given-names> y . B。</given-names> </name> <name> <surname> 魏</年代urname> <given-names> T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 两种正则化方法来识别time-fractional space-dependent源扩散方程</article-title> <source> <italic> 应用数值数学</我talic> <year> 2013年</year> <volume> 68年</volume> <fpage> 39</fpage> <lpage> 57</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.apnum.2013.01.001</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1266.65161</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B38" content-type="article"> <label>33</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 徐</年代urname> <given-names> X。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 部分扩散方程逆源问题</article-title> <source> <italic> 逆问题</我talic> <year> 2011年</year> <volume> 27</volume> <issue> 3</我年代年代ue><lpage> 12</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1088 / 0266 - 5611/27/3/035010</pub-id> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 035010年</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2772529</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL1211.35280</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="book"> <label>34</label> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 心血管病</年代urname> <given-names> h·W。</given-names> </name> <name> <surname> 汉克</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> 纽鲍尔</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 反问题的正则化</我talic> <year> 1996年</year> <volume> 375年</volume> <publisher-loc> 荷兰多德雷赫特</publisher-loc> <publisher-name> Kluwer学术</publisher-name> <series> 数学及其应用</年代eries> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / 978-94-009-1740-8</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1408680</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="book"> <label>35</label> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 汉森</年代urname> <given-names> p C。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> Rank-Deficient和离散病态问题</我talic> <year> 1998年</year> <publisher-loc> 美国费城,宾夕法尼亚州</publisher-loc> <publisher-name> 工业与应用数学学会的</publisher-name> <series> 暹罗专著的数学建模和计算</年代eries> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1137/1.9780898719697</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1486577</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>36</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 汉森</年代urname> <given-names> p C。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 正则化的工具:一个Matlab软件包进行分析和解决离散的病态问题</article-title> <source> <italic> 数值算法</我talic> <year> 1994年</year> <volume> 6</volume> <issue> 1 - 2</我年代年代ue><fpage> 1</fpage> <lpage> 35</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / BF02149761</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1260397</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> ZBL0789.65029</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>37</label> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 汉森</年代urname> <given-names> p C。</given-names> </name> <name> <surname> 奥利里</年代urname> <given-names> d . P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 的使用<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>曲线离散正则化的病态问题</article-title> <source> <italic> 暹罗期刊在科学计算</我talic> <year> 1993年</year> <volume> 14</volume> <issue> 6</我年代年代ue><fpage> 1487年</fpage> <lpage> 1503年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1137 / 0914086</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR1241596</pub-id> </nlm-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="incollection"> <label>38</label> <nlm-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Gorenflo</年代urname> <given-names> R。</given-names> </name> <name> <surname> 曼拉德</年代urname> <given-names> F。</given-names> </name> </person-group> <person-group person-group-type="editor"> <name> <surname> Carpinteri</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> 曼拉德</年代urname> <given-names> F。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 分数微积分:积分和分数阶微分方程</article-title> <source> <italic> 分形和连续介质力学的分数微积分</我talic> <year> 1997年</year> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</publisher-loc> <publisher-name> 施普林格</publisher-name> <fpage> 223年</fpage> <lpage> 276年</lpage> </nlm-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>