部分反常扩散模型和数值模拟在肠壁钠离子运输

文摘

作者提出一个分数反常扩散模型来描述钠离子的吸收在胃肠道粘膜的上皮细胞及其随后的扩散在底层使用部分毛细血管菲克定律。异构胃肠道粘膜的两阶段模型,组成的一个连续的细胞外阶段和分散的细胞阶段。吸收的主要模式被认为是部分反常扩散浓度梯度和电位梯度。适当的偏微分方程描述的钠离子浓度随时间变化的在两个阶段在肠壁获得使用Riemann-Liouville space-fractional导数,解决了有限差分方法。钠离子的浓度在细胞间隙空间,研究了作为时间的函数,和钠离子的平均浓度供血液毛细血管吸收也被研究过。最后,数值结果以图形方式给出了各种不同的参数值。这项研究表明分数反常扩散模型是适合描述钠离子的吸收在胃肠道粘膜的上皮细胞。

1。介绍

肠壁代表了一个复杂的系统,它允许通过物质通过细胞之间或细胞。小肠的腔的表面通常覆盖着一个漏水的上皮细胞使离子通过细胞间的路线。被吸收的物质直接渗透入细胞间隙通过紧密连接或通过顶端质膜进入细胞胞浆内腔的小肠,然后通过横向穿透等离子体膜进入细胞间隙。后者路线导致潜在的固有层,由结缔组织、血管、淋巴毛细血管,因此物质进入循环(图1)[1]。离子进入细胞的过程是被动扩散浓度梯度和电位梯度。这主要是因为透壁的电势的差异为5 - mV已报告从近年来各种各样的物种2,3]。虽然肠壁的潜在差异相对较小,他们不能被忽略的研究肠道运输的带电物种(4]。

众多技术涉及体内和体外的准备工作都在研究肠道运输。但由于细胞太小为稳态决定提供足够大的连续部分的传输特性在实际情况下,离子的分布在细胞和细胞外阶段不能确定实验。因此,使用理论分析等生理问题的思想方法出现了。Fadali et al。5)提出了一个分析模型对水的吸收在小肠基于一个集成的质量平衡方程为吸收积极的接触面积。模型给出一个解决方案在肠道吸收的水量作为时间的函数使用数据从生理水摄入后文学。山(6)提出了一个两阶段模型来研究线性散装扩散成一个连续的流体不透水的相粒子分布不规则的轮廓;的整体吸收溶质parallel-faced部分的组织可以表示为无限数量的指数项的和。这种模型的优点是,它代表了细胞组织的组织学最现实的方式。Karmakar和Jayaraman1肠壁的)提出了一个线性扩散模型来描述铅离子的吸收在胃肠道粘膜的上皮细胞及其随后的扩散在底层的毛细血管。模型研究了浓度随时间的变化在细胞外的阶段和细胞阶段和平均浓度供血液毛细血管吸收作为时间的函数,同时也报道了通过理论分析,铅膜透性的测定。Varadharajan和Jayaraman7)提出了一个理论方法研究钠离子的吸收在胃肠黏膜和的浓度成底层的毛细血管。模型考虑了浓度梯度下的扩散和电位梯度和主动运输atp酶酶介导的,和适当的偏微分方程的两种机制运输派生,并通过迭代的方法解决。

最近,分数微积分一直是全球关注的话题,由于其惊人的广泛的应用于物理学、化学、工程学、经济学、生物学等(8- - - - - -11]。特别是,分数微积分是一个关键的工具来研究反常扩散在运输过程这意味着部分菲克定律的通量占时空非定域性。许多文献表明,幂律的行为是许多生物现象观察的特征在不同尺度和各级组织,符合幂律流变行为可以被描述为使用分数阶微积分方法[12- - - - - -16]。例如,裕度等。12]描述制定bioheat转移的一个维度的分数阶微分时间。他的研究表明,分数微积分可以提供一个统一的方法来检查周期传热在外围组织区域。本文根据裕度的概念,根据前面的分析和分数微积分理论中,我们考虑一个分数反常扩散模型来描述钠离子的吸收在胃肠道粘膜的上皮细胞使用部分菲克定律。节2,我们现在部分反常扩散模型,适当偏微分方程描述的钠离子浓度随时间变化的间隙阶段和整个肠壁细胞内阶段得到使用Riemann-Liouville space-fractional导数,并通过数值计算来解决。节3,数值结果以图形方式呈现各种不同的参数值。节4,我们提出了我们的结论。

2。材料和方法

部分反常扩散模型考虑两阶段的肠壁上皮结构视为一个薄层。顶端附近等离子体膜腔的肠和一维坐标系统的起源。其余的细胞形成一个均匀分布的数组元素相同的细胞。是对应的细胞间隙之间间隙阶段(图1)。

2.1。部分菲克定律

菲克定律是广泛采用标准扩散过程的模型。例如,最简单的反应扩散模型在球坐标可以表示为 在哪里是溶质的浓度(径向对称),代表反应动力学,扩散通量。一般来说,菲克定律用于正常扩散弥散量根据经验的观察:

在哪里扩散系数。

但是,需要分离的尺度,它不适合描述外地运输过程。为了研究反常扩散,部分菲克定律提出了(17),溶质浓度的梯度实验通量方程取代了分数阶导数:

在哪里,,是反常扩散系数。和是Riemann-Liouville运营商定义如下: 在哪里,。我们命名它为时空部分菲克定律(17]。一些特殊情况下方程如下,,它给古典菲克定律;当部分菲克定律,它给了时间;当部分菲克定律,它给空间。在这里,我们只考虑的情况,即空间部分菲克定律。

2.2。部分反常扩散模型

钠离子是复杂的,因为它的扩散通量是由浓度梯度和梯度。考虑到钠离子的运动在所有部队,Macey [18)建议通量方程如下:

在哪里扩散系数,电势,钠离子的浓度,是在墙的距离测量腔,离子的电荷(钠离子),法拉第常数(),是通用气体常数,是绝对温度。

在这里,根据裕度的想法12],基于空间部分菲克定律,通量方程表达形式如下:

在哪里,是反常扩散系数。右边的第一项代表的浓度梯度,右边第二项代表的电梯度。

我们考虑一个两阶段模型组成的间隙阶段和细胞内的阶段。质量平衡方程在间质阶段,占分子扩散通量和均匀分布的连续点汇的强度正比于当地的浓度差异的两个阶段1),是 在哪里和钠离子的浓度在间质阶段和在细胞内的阶段,分别和的膜渗透系数是分子扩散的钠离子进入细胞阶段。用(6)(7),我们可以得到以下方程:

基于假设扩散不大大加剧总分子运输细胞内(1),细胞阶段的质量平衡方程

这是合理的,因为事实上细胞的尺寸相比非常小肠壁的厚度;因此,通量是独立的距离。

与此同时,我们假设,在那里是一个常数待定。恒定场假设的理由可以在观察中发现,如果一个膜包含大量的偶极离子接近其等电点,这些偶极子往往会改变他们的方向,他们倾向于消除任何违规行为和维护一个常数字段(7]。这一假设的有效性也在讨论高盛(19)和科尔(20.]。因此,(8可以减少) 也就是说,

在哪里。

的值对应于肠道内腔和对应于绒毛膜。我们感兴趣的是找到的离子浓度,对应的毛细血管吸收(图1)。在老鼠,粘膜上皮大约是总数的肠壁厚度。方程(9)和(11)获得解决和的函数和,意思是钠离子的浓度计算从

在哪里和分别是间质和细胞内的体积分数。

然后,我们引入无量纲参数

减少(11)和(9)(无量纲形式符号了为了方便):

在哪里流明是钠离子的浓度。的参数可以被认为是膜扩散通量的比例进入细胞相中的分子扩散通量间质阶段。

基于假设肠内腔表面的钠离子的浓度等于其浓度abluminal表面上皮的特别薄,给出了边界条件

这意味着腔中钠离子的浓度设置为1,而在卵膜设置为0。此外,初始浓度为0,一个条件合理的体外实验。这两个和在组织中设置为0在任何时候当时间= 0。因此,给出了初始条件

2.3。数值计算

对于以上问题的数值解,我们引入一个统一的网格的网格点,,,,,在那里和两个正整数,和分别统一时空网格大小。理论解决方案在点用;近似的解决方案在点差分格式将用。同样,理论的解决方案在点用;近似的解决方案在点差分格式将用。

然后,我们开始介绍微分算子的离散化。关于时间变量的一阶导数和分别由以下欧拉向后差分近似:

和空间变量的一阶导数欧拉向前差分来近似:

至于Riemann-Liouville分数导数,用Grunwald-Letnikov公式之间的关系和Riemann-Liouville分数导数,我们可以近似的分数导数(21,22]

在哪里,为。在那里,我们采用了移位的Grunwald-Letnikov公式。

最后,给出了上述问题的有限差分法如下:

边界和初始条件可以离散

钠离子的浓度在细胞间阶段和细胞内阶段确定不同步骤的时间和空间,以及他们的加权平均浓度的毛细血管也可以获得。

3所示。结果与讨论

肠壁的厚度采取的是(1),测量大鼠肠道壁的截面使用目镜测微计安装在一个简单的显微镜。穆勒(23]报道的大鼠胃粘膜上皮细胞的形态学研究而剩下的被固有层占领。因此,选择是为和为,任意值不可用的文献。据徐和赵24),渗透系数钠离子是带。Varadharajan和Jayaraman7学过的数值取决于之间的电位差浆膜粘膜,劳特巴赫的,与实验结果进行比较25),Varadharajan获得的价值是的最优值约0.4,所以在我们的研究采取的是0.4。

3.1。反常扩散系数的钠离子

根据Stokes-Einstein公式,在那里玻尔兹曼常数(),温度(~ 310 K),是细胞间液的粘度(~ 0.001不是),然后呢是水分子的半径(~ 0.45海里),我们可以得到水的扩散系数(1]。然而,它也可以被认为是一个合理的扩散系数的近似钠离子。在这里,我们改变这个参数,,,,的扩散系数的值。

图2,个别图,展示了浓度的变化对为不同的值当。扩散过程中,我们发现浓度降低成指数式增长和曲线往往变化很小的值没有太多不同,这表明钠离子的分布更均匀;因此,我们可以考虑这些值作为一个合理的扩散系数的近似钠离子。通过放大数据外,我们还观察到小增加的幅度,这表明更大增加的速度吸收,特别是在毛细血管血,一个可能的解释是,速度运动的钠离子更容易扩散。

3.2。订单分数阶导数

在这里,基于上述分析,我们是扩散系数的0.7倍在文献中,就像使用(18]。用各自的价值观和,我们可以获得实际的时间。

图3表明浓度的变化对在最小为不同的值。显然,我们可以观察到浓度指数下降,曲线变得平滑的价值变大,这表明在细胞间扩散阶段和毛细血管变得更快的吸收特别的价值变得越来越小。这一事实表明,钠离子的扩散是异常superdiffusion。

图4表明浓度的变化对在不同的时候,。扩散过程中,我们发现浓度下降一个指数的方法。通过放大的数字,我们明显观察到衰变时往往是顺畅和平滑时间增加,这表明钠离子的分布更均匀。图4(一)表明,在早些时候,大部分的钠离子都被细胞吸收,为后世,他们往往通过对浆膜。同时,我们观察到的大部分obsorption发生从图4 (b)距离,可以解释为毛细血管的谎言。这是很合理的,因为在大鼠粘膜上皮的壁厚(1]。所有这些现象都是连接Varadharajan的结果和Jayaraman [7),这表明反常扩散适合描述钠离子的吸收。

图5(一个)是策划与在不同的当,。我们发现,在一个特定的距离,随着时间的增加,但在较远的距离,通量较低,因为主要的吸收是可用在毛细血管血液所在的距离。图5 (b)是策划与在为不同的值。我们发现,在一个特定的距离,较低时小,这表明扩散更快的价值是小,这导致的低价值吗。

图6(一)是,策划反对在为不同的值。我们发现,在一个特定的距离,较低时小,这表明扩散更快的价值是小,这导致的低价值吗。图6 (b)是策划与在不同的当,。我们发现关于钠离子的吸收达到0.1 - -0.15的距离,当我们选择,它是在良好的协议与实验结果劳特巴赫(25),这表明Na细胞中的水的浓度的方法初始浓度的孵化后介质腔的一侧。

4所示。结论

总之,在本文中,我们已经得到部分钠离子运输反常扩散模型在肠壁使用空间部分菲克定律。适当的偏微分方程描述的钠离子浓度随时间变化的间隙阶段和整个肠壁细胞内阶段获得使用Riemann-Liouville space-fractional衍生品,通过有限差分方法来解决。讨论了数值模拟,数值结果以图形方式给出了各种不同的参数值。它表明,分数反常扩散模型是适合描述钠离子的吸收在胃肠道粘膜的上皮细胞。这项研究还提供了一些新的点为研究离子在生物系统转移过程。

承认

支持的项目是由中国国家自然科学基金(授予号。11072134,11072134,91130017)。

引用

1. n Karmakar和g . Jayaraman”在肠壁的线性扩散:理论研究中,“IMA的数学应用在医学和生物学》杂志上,5卷,不。1,33-43,1988页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
2. w·m·阿姆斯特朗“小肠细胞的离子传输机制,“胃肠道的生理2,第1266 - 1251页,1987年。视图:谷歌学术搜索
3. s . g .舒尔茨“电生理学原理及其应用于上皮组织,胃肠生理、”胃肠生理巴特沃斯,页87 - 91年,伦敦,英国,1974年。视图:谷歌学术搜索
4. s·g·舒尔茨和p·f·伦,手册的生理,3卷,第6节,1968年。
5. j·w·m . s . Fadali Steadman, r . g . Jacquot“水在人类肠道吸收的典范。”生物医学科学仪器》16卷,调查1980页。视图:谷歌学术搜索
6. b . a .山“线性散装扩散到异构组织,”数学生物物理学的公告,30卷,不。1,47-59,1968页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
7. m . Varadharajan和g . Jayaraman”肠壁的钠离子运输:一个数学模型,”IMA的数学医学和生物学》杂志上,11卷,不。3、193 - 205年,1994页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
8. d . Baleanu a . k . Golmankhaneh r . Nigmatullin和a . k . Golmankhaneh”部分牛顿力学,”中部欧洲物理学杂志》上,8卷,不。1,第125 - 120页,2010。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. j·辛格·k·古普塔和k . n . Rai”解决方案部分bioheat方程有限差分法和HPM”数学和计算机模拟,54卷,不。9 - 10,2316 - 2325年,2011页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
10. r·麦茨勒和j . Klafter“随机漫步的反常扩散指南:部分动力学的方法,”物理的报告,卷339,不。1、1 - 77、2000页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
11. r·麦茨勒和j . Klafter”餐厅的随机漫步:最近的发展异常的描述部分运输动态,“物理学杂志》的一个,37卷,不。31日R161-R208, 2004页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
12. r . l .裕度s c Boregowda, c . Deodhar”建模的脉动外围bio-Heat transferusing分数微积分和constructal理论,“国际期刊的设计,自然,Ecodynamics,1卷,不。18日,像18岁到33岁这样,2007页。视图:谷歌学术搜索
13. 江x y和h t .气,“热波模型bioheat转移与修改Riemann-Liouville分数导数,”物理学报,45卷,不。48岁的10页,2012。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
14. w·c·谭傅c, c .傅w·谢和h . Cheng”一个异常subdiffusion模型心肌细胞动作电位钙火花,“应用物理快报,卷91,不。18日,3页,2007。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
15. r·g·拉森的结构和流变学复杂的液体,卷2,牛津大学出版社,1999年纽约,纽约,美国。
16. r . l .裕度”分数微积分模型复杂的动力学在生物组织,”计算机和数学与应用程序卷,59号5,1586 - 1593年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
17. 江x y、m . y .徐和h·t·齐”吸收项的分数扩散模型和修改菲克定律非本地运输过程,”非线性分析:现实世界的应用,11卷,不。1,第269 - 262页,2010。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
18. Macey r . i .膜生理,充气,纽约,纽约,美国,第二版,1980年版。
19. d . e .高盛”,在膜潜力、阻抗和整顿,”《普通生理学杂志》上,27卷,不。1,37-60,1943页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
20. k·s·科尔,”电扩散模型膜的鱿鱼巨大的轴突,”生理上的评论,45卷,第379 - 340页,1965年。视图:谷歌学术搜索
21. m . m . Meerschaert和c . Tadjeran”部分advection-dispersion流方程有限差分近似,”计算和应用数学杂志》上,卷172,不。1,第77 - 65页,2004。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
22. c·李和f .曾分数微分方程的有限差分方法,”国际期刊的分岔和混沌应用科学和工程学,22卷,不。4、2012。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
23. o·穆勒,”河鼠胃粘膜的定量的形态学方法,”斯堪的纳维亚胃肠病学杂志》上的补充,卷101,不。1、1 - 6,1984页。视图:谷歌学术搜索
24. m . y徐和g·l·赵Nonisotonic重吸收的水和稳态分布sodiumion亨利在肾降肢体,”Mechanica学报,1卷,不。3,1986。视图:谷歌学术搜索
25. f·o·劳特巴赫,肠道运输公园,大学出版社,1976年。

版权

版权©2013 Bo Yu和小云江。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。