三种传输共振区的相对论双屏障问题

摘要

我们获得1 + 1尺寸的Dirac方程的精确散射溶液，用于双方形屏障矢量电位。两个屏障之间的潜在底部被选为高于2mc²，而障碍的顶部至少是2mc²在底部上方。传统的双屏障传输共振的相对论是在±内能量获得的mc²从障碍物的高度。然而，由于我们明智地选择了势垒，我们还发现了两个(亚势垒)透射共振区低于常规的。两者都位于两个克莱因能量区，具有比传统能量区更宽的共振特征。我们的双势垒设计使我们能够建立这两个新的亚势垒透射共振区是我们的主要发现。

1.介绍

相对论量子力学的基本方程是在80多年前由保罗·狄拉克[1-3.］．它以具有特殊相对性的方式描述了电子状态，要求电子具有旋转并预测电子的反粒子伙伴(正电子)的存在。狄拉克方程的物理和数学是非常富有,照明,并提供一个理论框架对不同物理现象中不存在绝对的政权如克莱因悖论,超临界状态(超临界相对论性粒子的传播通过势垒)(1-7.]和石墨烯的异常量子霍尔效应[8.那9.］．众所周知，DIRAC方程具有积极的和负能量解决方案[1-3.］．正能量子空间和负能量子空间是完全断开的。这是Dirac方程解空间的一般特征，有时会被忽略。由于方程是线性的，那么完全解必须是两者的线性组合。结合传统解中没有考虑的负能量解的缺失部分，其中一位作者(a . D. Alhaidari)提出了一种解决相对论量子力学中著名的克莱因悖论的新方法[10］．这种方法导致了对这种现象的正确的物理和数学解释，而不借助于量子场理论。

另一方面，由于在电子设备中的重要应用，隧道现象在非椭圆形量子力学中发挥了重要作用[11那12］．Esaki发现了一种称为负差阻(NDR)的特性，通过这种特性，PN结二极管的电流电压特性在与谐振隧穿相关的特定电压下有一个尖峰。这构成了这一现象是由于电子的量子力学隧穿效应的第一个重要确认[13-15］．隧道是一种纯粹的量子现象，发生在经典禁区的纯粹现象;其实验观察构成了对量子理论的非常重要的支持。另一方面，通过一维潜力研究相对论粒子的隧道隧道已经限于一些简单的配置，例如δ- 主要和方形屏障，主要是在研究可​​能的相对论校正对介观传导的研究[16]和通过多势垒系统的共振隧穿分析[17］．在1D周期性潜力中的夸克和狄拉克颗粒的相对论研究也分别在[18那19］．

最近，使用DIRAC方程研究了通过单一和双层石墨烯的静电屏障的电子传输，并注意到与Klein Paradox类似的阻挡渗透效果[20.］．关于外势中相对论性波动方程的透射共振的研究，文献[21那22］．在这种情况下，对于势垒的能量和形状的给定值，即使势垒的强度大于粒子的能量，透射的概率也达到统一，这种现象在非相对论情况下是不存在的。董贝和Calogeracos已经建立了低动量共振和超临界传输之间的关系[7.]和肯尼迪[23］．本文还报道了Dirac粒子在一维共振势作用下的散射结果[22-24］．

然而，最近的研究表明，通过外延将其在基板上延长将其诱导在石墨烯中诱导有限的带隙[25因此，它的能量色散关系在动量中不再是线性的。这一过程在石墨烯能谱中产生了缝隙，并导致其载流子的有效质量有限，为石墨烯提供了纳米电子的机会。这个二维无质量系统可以被映射成一个有效质量的一维系统[26因此，狄拉克费米子的克莱因隧穿问题可以通过测试，因为如果势垒足够高，可以将其视为石墨烯的n-p-n结。在这种情况下，通过确定相应的反射和透射系数的完整表达式来表征系统行为是很有趣的。

通过上述进展，我们研究了这项工作，通过两个分离的方形屏障在其两者之间的两个分离的方形屏障中进行了共振传递，并在该结构中研究传输共振[1-3.］．在特殊条件下，根据我们对潜在底高度和势垒高度的明智选择，我们证明了三个(子势垒)传输共振区域的出现。其中之一是常规非相对论性双势垒传输共振的相对论性扩展从障碍物的高度。另外两个位于两个Klein能量区域内，其中仅正极和负能振荡解决方案在相同的能量上共存。后一种共振比传统的共振更宽。

2.Dirac方程的散射解

在我们的研究中，与双势垒问题相关的物理构型如图所示1．在相对论的单位，具有矢量电位耦合的一维静止DIDAC方程可以写作[1-3.] 在哪里V.（X)是向量势的时间分量，其空间分量消失(即由于规范不变性而被度量掉)。潜在的V.（X）定义为 在哪里和是积极的潜在参数（见图1),这样和．将构型空间按恒势分段划分为0和±对应的三个区域和， 分别。在区域0中，在潜在消失的情况下，等式变为自由的DIRAC方程，其与如下所示的两个旋转组件相关： 这种关系是有效的．由于问题是线性的，因为属于这一点能量谱，则(2．3）顶/底部标志分别仅适用于正/负能量。选择登录后（2．3)则另一个旋量分量服从如下Schrödinger-like二阶微分方程: 我们应该强调一点2．4）不给出属于相同能量子空间的旋转棘的两个组件。一个人必须选择一个登录（2．4）仅获得两个组件中的一个然后将其替换为（2．3）相应的标志获得其他组件。现在，在双屏障内（地区）随着替代而换取相同的分析给 在哪里代表两个潜力中的任何一个．一般来说，在任何势能恒定的区域V.大于/小于时，正/负能量解出现．其中的振动解是这种形式抱， 在哪里．另一方面，表格的指数解决方案抱．

散射解决方案是这项工作的主题，涉及能量．(的正能量和负能量的解很简单)2．3） - （2．5)．首先，我们写出与势能等于零的空间区域相关的波矢量，,， 作为 在哪里和．这导致振荡解是什么时候发生的纯想象或(即，在图的两个灰色区域1)．否则，这些解决方案是指数级（即，在图的白色区域）。振荡正/负能量解决方案位于图中的灯/深灰色区域中1， 分别。我们将配置空间划分为左右到索引的五个区域．在这些区域(振荡和指数)的一般正能量解可以写成 虽然负能源解决方案是表格 和常数(复振幅)是否与中左右“移动”解有关ν分别为地区。能量参数和是由 注意对于真实/虚数值。复杂的恒定幅度将由边界条件决定。我们应该注意到振荡解，， 在 （2.7） 和 （2.7 b）表示在±中行驶的波浪X正能量解决方向和中X负能量解的方向。双势垒右边的狄拉克方程的解由正负能量平面波的解组成X的方向。然而，该问题的物理边界条件只允许通过双势垒(即:)．此外，在不失一般性的前提下，我们可以将入射光束归一化为单位振幅(即:)．

将旋转波力匹配在定义的四个边界处和提供关系在ν和邻近的区域。我们更喜欢用不同区域之间的2 × 2转移矩阵来表示这些关系，,．最后，我们得到了整个双势垒上的完整传递矩阵，它可以用一个明显的符号表示为: 在哪里我们已经设置了和;R.和分别为反射振幅和透射振幅。我们假设入射波从左归一化为单位振幅(即，和)．传递矩阵的显式形式取决于具体的能量范围。所有人都有三个这样的范围．这些范围是(i)(二), (iii)．因此，我们最终得到了附录中给出的12个转移矩阵的完整集合。方程(2．9)导致 时间反转不变性和相关守恒定律决定了传递矩阵m（E.)具有单位行列式，并具有下列对称性（E.） =（E.) *,（E.） =（E.）*，其中*代表复杂的共轭。这些可以使用附录中给出的显式形式轻松检查。因此，对称考虑对转移矩阵的结构施加强烈的条件。使用这些属性（2.10）给出了预期的助焊剂．此外,从(2.10)，我们看到全传输或共振传输发生在能量的条件满意（同等，)．

3.结果与讨论

通过双势垒散射的粒子的物理含量取决于入射粒子的能量，可以假设能量大于．为了允许通过电势的超临界传输，我们需要对势垒的高度施加一定的条件。我们的研究集中在克莱因能源区域，在那里可以完全传输。我们研究感兴趣的情况涉及两个克莱因能量区，它出现在和．作为一个例子，我们计算了在一组给定的势参数下透射系数作为能量的函数。结果如图所示2和3.．我们把数据1和2以这样的方式在一起2旋转90度，使图的能量轴1和2一致的。以这种方式，可以清楚地看出不同的传输区域如何对应于不同的潜在区域。除了预期的上方屏障外传输，对于一些能量的值大于，可以清楚地识别出发生传输共振的三个子势垒区域。这些都是（一世）下克莱因能量区(）：七个共振的区域，(2)高克莱因能量区(）：四个共振的区域，（iii）传统的非椭圆双屏障传输共振的相对论文本（）：四个共振的区域。同样清楚的是，在常规能量区共振是非常尖锐的(或非常狭窄的)，而在两个克莱因能量区共振是宽的(或宽的)。这意味着与前者对应的共振态比后者慢得多，隧穿时间更长。在表1，我们列出了这种潜在配置的谐振能量，以准确性为10个小数位。将这些结果作为等式的溶液获得．作为进一步深入了解这个相对论模型的动力学，图4.显示了一个数字的动画2作为两个障碍之间的距离，,不同至．动画显示以下内容。（一世）三个亚势垒区的共振密度随时间的增加而增加，也就是说，共振之间的能量分离减少．(2)作为增加，从上屏障区域下降（落下或潜水）进入传统的共振区，然后进入更高的Klein能量区。（iii）另外，如图所示增加，在光谱底部创建共振能量（在)，然后向上移动到较低的克莱因能量区。

数字4.给出另一个图的动画2作为障碍的宽度，,不同至．动画显示，所有的共振随着增加而变得更清晰但在常规区域内共振的数量不变(即在该区域内共振的种群密度是独立的)．我们想提及Villalba和Gonzalez-Arraga的相关最新工作[27他考虑了通过双方势垒和双尖势垒的共振隧穿。我们的问题不同于。27]通过选择一个升高的势阱底，从而产生两个克莱因共振能区。这种潜在的设计产生了一种特殊的能量依赖传输三个共振区域;一个是由于传统的量子隧道效应，另外两个是由于克莱因隧道效应。另一个图形动画2如图所示5.．

为了完整起见，还应该考虑图中所示配置的潜在障碍6.， 在哪里和．相关的传输系数作为能量的函数如图所示7.对于给定的势参数，其值为互换。在图8.，我们相结合数字6.和7.以这样的方式在一起7.旋转90度，使图的能量轴6.和7.一致的。以这种方式，可以清楚地看出不同的传输区域如何对应于不同的潜在区域。它看起来好像是能源区图2被翻转并放置在能量区图7.．因此，锐谐振区被夹在两个Klein能量区域之间，而高Klein能量区域的传输结构被颠倒。

最后，我们注意到，目前的工作将不再停留在这一阶段，而是将进一步进行。我们计划利用目前获得的结果来处理与石墨烯输运性质相关的不同问题。石墨烯中的狄拉克费米子的一个主要特征是，我们可以通过极小的质量(事实上，甚至是无质量)来模拟它们的行为。这意味着在任何有限的能量下，模型都应该被相对地对待。这就赋予了石墨烯中的费米子以概率为1穿越单个势垒的能力[20.那28-31.］．然后将该分析扩展到我们的双屏障问题案例并调查这种系统的基本特征。但是，我们想提及石墨烯是二维（2D）系统，并且通过1D屏障的2D载波隧道可以非常复杂，并且取决于方向。我们的当前结果仅当载流子垂直于潜在屏障时，才对应于2D载波的传输。

附录

转移矩阵

如果我们定义,然后在第一能量间隔中，，边界处的四个转移矩阵和是由

然后，在第二个能量范围内，， 我们有

注意和与相同的形式（. 1)．最后，在能量范围内，， 我们获得

致谢

这项工作由沙特地区理论物理（SCTP）赞助。作者还承认，在集团项目RG1108-1和RG1108-2下，石油公司国王石油公司石油矿业大学提供的支持。

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