两泥质海床表面波传播产生的内波组合模式

抽象的

当面波在两层系统上传播时，通常会产生三种不同模式的内波:外波、内波和组合波。在本研究中，我们研究了初始平坦的两段泥质海床对单色表面前进波的非线性响应。从这一理论结果可以看出，当表面水波在泥质层和淡水层之间的两段不同位置行进时，表面水波会激发两段相反的短界面波，在淡水层和泥质层之间的界面处形成近驻波。同时，在两个泥浆段的界面上同时会产生两个波长很长、相反的“泥浆”波。结果，发现两个短内波的振幅随时间呈指数增长。此外，当面水波在两个密度间隙较大的泥质断面上运动时，将很难激发内波。

1.介绍

通常，在两层系统上传播的波通常以三种不同模式引起内部波：它们是外部，内部和组合，如图所示1．这些内部波以类似幅度的虚构和实际波浪数迅速消散，并从表面波去除能量。此外，已经基于波浪稳定性和相互作用提出了非线性阻尼机构。

本文的工作是基于对两层系统中前进表面波与近驻次谐波内波相互作用的研究。众所周知，在连续面波的作用下，粉质底质被反复广泛地流化。理解这一现象的广泛兴趣来自于泥沙输送、波浪衰减和海洋结构设计的研究。Wen[]研究了初始平坦海床对单色表面前进波的非线性响应。1]用于使用多种扰动方法。她发现，两个相对的潜水线内部“泥浆”波被触发并形成具有表面波的共振三叠。沉积物床上的内部波的共振产生作为沉积物悬浮液的新机制。非线性波相互作用被认为是海洋和大气动态的重要方面。特别感兴趣的是共振相互作用，这在具有不同空间和时间尺度的波动模式之间的能量的再分配中是重要的。球 [2使用二阶非线性共振理论来分析内部波的线性生长可能是由两个有限幅度波之间的相互作用产生的。Watson等人。[3.]通过分析表面波的频谱如何产生相应的内波频谱来扩展研究。温家宝的(1之后是希尔和Foda [4]，谁将问题的两个维度处理在两个维度和粘性下层。山和福达[5和贾马利[6呈现了表面波与两个倾斜界面波之间的谐振相互作用的理论和实验研究。尽管调查结果之间存在许多相似之处，但有一个看似主要的差异。山丘和福达的[5]分析仅预测了可能增长的频率、密度比和方向角度的窄频带。然而,贾玛利6]预测和观察了波在广泛的频率和方向角度范围内的生长，以及他所研究的所有密度比。因此，Jamali等人[7]提出这项研究，调查希尔和Foda的发现之间的矛盾结果[5和贾马利[6]．结果表明，两种方法的关键区别在于动态界面边界条件。Hill和Foda使用的边界条件缺少一项与穿过界面的速度切变的平方的时间导数成正比的项。当这个缺失项包含在分析中，理论预测与Jamali的结果一致[6]实验室实验。山丘和福达都是[5]和Jamali的[6研究发现，界面波较短，频率接近表面波的一半，传播方向几乎相反。本文研究了初始平坦的两段泥质海床对单色表面前进波的非线性响应。基于类似希尔和Foda论文的分析[5，采用多尺度摄动方法，将边值问题展开为面波陡度的幂级数。通过阶次分析得到了内波振幅的线性谐波和共振条件，通过二阶分析得到了内波振幅的时间演化方程。研究发现，两个泥质段密度相等时的结果与Hill和Foda的论文[5]．两个相反的内部“泥浆”波被选择性地激发，并与前进的表面波形成共振三联体。然而，当表面水波在两个不同的泥质层上行进时，表面波也只会激发两个相反的短界面波，在淡水层和泥质层的界面上形成一个近驻波。同时，在两个泥浆段的界面上同时会产生两个波长很长、相反的“泥浆”波。结果，发现两个短内波的振幅随时间呈指数增长。

2.配方

如图所示2，将二维笛卡尔坐标系的原点放置在深浅面层之间的未扰动界面上和密度更低的深度在两个不同密度部分之间的界面处，和”．y坐标定义为垂直向上，密度比值，和，都被假定为小于单位。首先，假定波场是由一个幅值为线性渐进的表面波构成的，波号和频率ω，正向传播x方向。首先，假设左泥质段扰动内波具有振幅和,波数λ₁和λ₂、频率σ₁和σ₂，并在积极和消极方面传播x分别的方向。而在右侧泥质段，也存在具有振幅的扰动内波和,波数λ_3.和λ₄、频率σ_3.和σ₄，并朝着积极和消极的方向移动x分别的方向。值得注意的是，，，， 和被认为是复杂的λ₁ λ₄和σ₁ σ₄都定义为正的实值。对于两个泥泞段发生的共振相互作用，对四手波数和频率施加以下共振条件:

用速度势Φ表示双层无粘系统中的流场，我们假定Φ在整个流体深度都满足拉普拉斯方程

流离失所ξ从静态高度的自由表面是由 其中相函数．自由表面会与之同步振荡ξ，有振幅以响应表面波的通过。

在自由表面，通常的运动学和动力学条件由

在水浆界面处，存在类似的压力和垂直速度连续性条件。因此，在左侧泥泞的部分我们有

在右侧泥质段的扰动界面上施加了法向速度和牵引应力连续性的类似条件

同时在两个泥泞的部分之间的界面之间，水和泥浆的压力和连续性的连续性条件如下所示

请注意,l和上标在左下静音部分和右侧静音部分之间的微小界面，+和 - 上标分别在水和流体泥浆之间的界面上方和+和上标显示评估。最后，在泥浆层的底部，我们没有通量条件

随着界面的系统和自由表面被认为只是弱非线性相互作用，泰勒在界面和自由表面处的膨胀用于消除ξ，， 和．通过逐次逼近的方法，我们得到了速度势Φ中的三个自由波谐波^l左侧()，也就是说，我们假设进行以下扩展：

上述展开的前三项表示三个自由谐波;第一项是表面波，下面两项是内波，代表谐波和C.C.表示复杂的缀合物。扩展参数被视为表面波的陡度，．我们的分析仅限于小内波的情况，因此内波的谐波出现在O (ε²）而不是在O (ε）．

同样的，速度势为战斗方()展开如下:

3.摄动解

对于解决方案程序，使用用于弱非线性波场系统的标准扰动分析。解决方案过程涉及通过在控制方程中分离术语和边界条件中的术语来求解上述边值问题。ε和他们的阶段。用(2.9)和(2.10)，并收集主导（ε阶时，得到了相互作用谐波的近似线性解。对于表面波的色散关系，

对于两个浑浊部分的内部波的分散关系，获得以下内容

在二阶上分析上述线性谐波之间的二次交互，（ε²）。由于边值问题的均匀版本具有非竞争解决方案，因此仅当强制术语与均匀解决方案正交时，才有一个不均匀的问题。通过使用绿色的定理来调用可解性，获得通过内部波幅度的所需的进化方程。为简单起见，幅度方程 - 通过可溶性 - 可以简单地如下所示： 在这和．和是相互作用系数。取(的交叉微分)3.3），内波的幅度的增长由指数管理：

在…情况下α是纯假想的，那么振幅和都无法随时间成长。同样地，表面水波对于这些内波扰动是稳定的。只有当α是真实的，将发生内部波幅度的生长。

4.结果与讨论

本文分析了一种无粘二阶非线性共振相互作用，研究了两段泥质段表面波产生内波的机理。两个泥质断面密度相同的例子，内波参数为对于案件， m, m and， m,m如图所示3.和4．本研究的结果与Hill和Foda的论文相似[5]．很明显，存在一个面波频率，一个截止频率，在此频率以下谐振三极管不存在。截止频率是，，， 和．临界频率对应于泥层内波与面波近似次谐波的情况，即:，并以相同相反的方向向表面波传播。数字5显示内部波的生长速率作为表面波频率的函数，m,M和0.3 M。随着泥层深度的增加，内波的增长速度将受到抑制。这是因为当泥层厚度过厚时，表面内波与界面内波的相互作用减弱。内波也被抑制了。然而，当地面水波在两个不同的泥质区段行进时()时，表面波也只会激发两个反向传播的界面短波，在淡水层和泥质层的界面形成近驻波。同时，在两个泥浆段之间的界面将同时产生两个波长很长、相反的“泥浆”波。这两个长内波的波数是相同的有相反的值;针对不同泥浆层深度的情况。数字6说明如果右侧泥质段的密度逐渐大于左侧，则右侧共振内波频率也会逐渐大于左侧。同时，增大泥质段的密度差，会抑制两种共振短内波的生长速率。这个结果可以在图中看到7．结果表明，当面水波在两个密度间隙较大的泥质断面上行进时，激发内波将非常困难。

5.结论

提出了沙床内波共振产生的一种新的悬沙机理。本研究对两个泥质段等密度的理论分析与前人的研究相似。一个前进的表面波同时产生两个反向传播的短内波。然而，当表面水波在两个不同的泥质段上行进时，表面波也只能激发两个相反的界面短波，与表面波形成三元共振。同时，在两个浑浊区域之间的界面也会触发两个相反的长内波。此外，当面水波在两个密度间隙较大的泥质断面上行进时，激发内波将会非常困难。

参考文献

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3. K. M. Watson，B. West和B. I. Cohen，表面和内部重力波的耦合：模式耦合模型，“流体力学杂志，第77卷，第185-208页，1976。查看在：谷歌学术
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5. D. F. Hill和M. a . Foda，“渐进式表面波对斜界面波的次谐波共振”，伦敦皇家学会学报A，第454卷，第4期。1972年，1129-1144页，1998年。查看在：出版商的网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.
6. M. Jamali，表面波与斜内波的相互作用论文)1998年，加拿大温哥华英属哥伦比亚大学。
7. M. Jamali，G. A. Lawrence和B. Seymour，“关于表面波和两个界面波之间的共振相互作用的说明”流体力学杂志，第491卷，1-9页，2003年。查看在：出版商的网站|谷歌学术|Zentralblatt Math.

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