的超矩阵推广的中心扩展

摘要

证明了超空间上正则微分算子的Lie超代数具有本质上唯一的非平凡中心扩展。

1.介绍

这Infinity代数自然地出现在各种物理系统中，例如二维量子重力和量子霍尔疗效（参见评论[1那2)和参考文献。最基本的是它是圆上正则微分算子李代数的中心扩展[1-5.，它包含作为子代数的代数。构造的各种扩展:超级扩展[6.那7.]，矩阵的版本 [8.，以及最一般的超矩阵概化提出了在1那2那9.]．它似乎很难决定在哪里和什么时候的第一个定义(版本)的超级代数出现了，但是圭和罗杰的一本书[10]具有良好的历史和文献基础，包括拉杜尔的先驱论文，其中介绍了博特-维拉索罗循环的超类似物(见[11])。最初的对应于．表征理论的一般研究Infinity代数从非凡的工作开始[4.通过KAC和Radul并继续在几个作品中（其中一些是[6.那12-14])。矩阵概括与无限秩共形代代数的主要例子深度有关（见[15-17])。

超级矩阵泛化被定义为一个特定的超空间上正则微分算子Lie超代数的中心扩展．只有在特殊情况下（IE。，）证明，定义这一中央延伸的2粒循环是独一无二的，直到COBOONDARY [18]．本作工作的主要目标是将此结果扩展到超级矩阵泛化．类似的中心扩展研究-Analogs和其他版本可以在[19那20.]．

2.基本定义和主要结果

让和是两个谎言超级布拉斯．谎言超级凝血鬼是一维中心的延伸如果是直接总和和作为向量空间和里的李超括号是由 对所有,在那里是谎言括号和是一个2-颈圈在，即双线性- 对所有均质元素满足以下条件的 - 值： 在哪里表示奇偶性．中心扩展很简单，如果是子代数的直和吗和像谎言代数一样，在哪里是同构的．对应于琐碎的中央扩展的2个细胞被称为a2-coboundary，由an给出如下: 为了．很容易检查一下是一个2-cocycle。我们说这是两个循环是相等的如果是一个2-coboundary。第二个协和群体有系数是2循环的等价类的集合，用．如果暗，我们说具有基本上独特的非竞争一维中央扩展。

现在，我们将介绍李超代数，它将在这个工作中被考虑。让我们用Mat表示复数上线性变换的结合超代数- 一维超级空间．即，我们认为这一切矩阵的形式 在哪里是分别具有复杂条目的矩阵。这- 通过声明表单的矩阵（2.4),是平的，和那些有是奇怪的。我们表示程度关于这个分级。这超级特征被定义为 它满足．

让是圆圈上的常规差分运营商的联想代数，即运营商的形式 的元素 形成它的基础，哪里表示．的另一个基础是 在哪里．很容易看到 在这里，我们使用符号

表示由联想超级凝血布拉（超级）矩阵有条目．这-gradation是对应的- 在垫子中进行．通过拍摄通常的超字面包进入谎言超级凝视，其表示为．一组发电机由．

让是的中心延伸通过带指定的发电机的一维矢量空间，其齐次元素的交换关系由 其中2个细胞是由

现在，我们处于说明我们的主要结果。

定理2.1。其中一个有:dim．

3.定理证明2.1

我们需要明确表达式的基础元素的括号（2.9） 在： 特别是我们

让是一个2-蚕茧．我们考虑线性泛函定义为 然后2-cocycle启动了吗这相当于，并使用（3.3）， 我们获得

为了完成我们需要表明的证据对于一些．通过观察在表达式中出现的超迹在(2.12)，我们立即得到任何 在lemmas.3.1和3.2，我们会证明这一点也满足(3.5）。

引理3.1。对于任何那如果或．

证明。情况下和．
使用那个甚至，， 和 （2.2)，我们得到了 在哪里产品在吗．情况下和．
在这种情况下，我们有 情况下和．
通过使用通常的括号，我们可以做结合律代数进入一个由之表示的谎言代数．遵守这一点 这很容易证明;因此，对于任何,我们有 因此,如果和， 使用 （2.2）， 证明结束了。

LEMMA 3.2。对于任何和那当或．

证明。如果和,我们有 因此我们有．
最后，利用偏对称和前一种情况，如果那,，我们有那个．

现在，它仍然需要考虑表达．为了做到这一点，请再次考虑谎言代数(见(3.8)，并表示为的2-cocycle定义为（2.12),和．

事实上，从表达的表达,我们有

引理3.3。存在对所有人来说 此外,常量满足对所有．

证明。让是由...定义的Bilinear地图 自是偶数吗2循环出现了吗．
证明了以下声明在[18](见第74页定理2.1的证明和本论文的(3.2)(3.3)):如果是2-协循环在满足 然后对于一些．现在,使用(3.4），我们有那个满足（3.15）;因此,我们得到对于一些，证明了引理的第一部分。
为了证明第二部分，考虑．然后 相似地， 因此,， 意思就是，对所有，完成证明。

引理3.4。 为了和．

证明。自那

引理3.5。 为了和任何．

证明。遵守这一点 相似地， 因此，来自（3.19） 和 （3.20）， 我们获得 自,我们有．因此,(3.19)成为这个引理的陈述。

定理的证明2.1．从以前的lemmas，一个人可以很容易地看到，通过观察到的关系在引理3.3本质上是表达式(2.12） 的．

致谢

C. Boyallian和J.L. Liberati得到了Conicet、ANPCyT、Fundación Antorchas、Cba Ciencia、secyte - unc和Fomec(阿根廷)的部分资助。

参考文献

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