Quantum Galoids作用于半润代数

摘要

根据Linchenko和Montgomery的论证，证明了对合弱Hopf代数与满足多项式恒等式的半素模代数的smash积是半素数。

1.介绍

群作用、作为导子的李代数和有限群梯度是Hopf代数作用的典型例子。近年来出现了一些Hopf代数的推广，如Böhm等人引入的弱Hopf代数(或量子群)[1］．这种对象在代数上的作用，如由作用于量子群的量子群所给出的代数,2或由琼斯塔产生的弱Hopf代数[3.都特别有趣。由双群胚引出的弱Hopf代数的新例子[4]，这也用于找到新的弱啤酒花行动（见[2])。

霍普夫作用理论中一个长期存在的悬而未决的问题是如何证明粉碎产物半月模块代数和半单Hopf代数又是半质数(见[5)(一个代数为半素数，如果它不包含非零幂零理想)。的情况下被换向已经解决了[6］．Linchenko和Montgomery对这个问题给出了最新的部分答案。7他们在哪里证明了半导体在…的条件下满足多项式恒等式的。这篇文章的目的是把他们的结果推广到弱Hopf代数的动作上。通过考虑线性算子与代数上正则乘法的纠缠关系，得到了更一般的性质。

让是交换环，让是一个联想单位代数。对于任何一个定义两个线性算子和在给予和对全部．我们确定了与子代数的由所有左边的乘法生成表示由所有算子生成的子代数和通过，有时也被称为乘法代数的．作为一个左模块,是同构的因为我们假设是一个不合适的。我们将对代数上的某些行动感兴趣这可能源于双代数，或者更一般地说源于双代数。我们将遇到的情况是我们有一个扩展在哪里行为通过环同态这样对全部．的内在性质在这个过程中，只要看看子代数就足够了在由此行动生成，我们可能会考虑中间代数代替。因此让是一个子晶代布那个包含．然后变成了循环忠实的左通过评估基因族，即所有．注意，对于任何我们有．

自从我们假设最重要的是地图与， 对全部- 在1-是一个 - 是一种重新注射环同性态，因为所有人．此外，如果,然后和．的子代数可以描述为元素的集合吗这样对于任何，我们用它来表示．一方面，如果对于一些，那么对于任何另一方面，如果,然后剩下的-线性的，因为和： 因此．

让是任何离开- 微小和定义．与上面相同的论点看到与是阿贝尔群的同构，因此产生一个左模块结构．此外，这一点是可以证明的是同构的子从国防部,国防部。

一个子集的叫做稳定,如果．的-stable左理想正是（左）子的．特别是,对于任何- 左边理想．

1.1的例子。下面的列表说明了我们的方法反映了许多带有动作的代数的有趣情况。(1)让是的乘法代数,然后是一个忠实的循环左模块。左边- 模块正是-双模，特别是左理想是双面理想吗,持有任何- 比模．算子代数是包络代数的商吗通过地图， 对全部．（2）让是一群人（线性)同构，即存在群同态．集对于任何．定义．然后离开了子的正是这一点- 左边理想和．是斜群环的商吗谁的潜在-submodule是左左与基础模块它的乘法是．注意，对于任何左边模块我们有，固定元素的集合是．（3)让是一个代数的对合,让是subalgebra由和．因为对于任何我们得到了．这意味着(众所周知)任何剩下的理想在下面是稳定的是一个双面理想。请注意,可以看作斜群环的因子环吗在哪里循环群是2阶和的吗是（谁）给的．（4）让是一个-Linear推导并考虑．左边子的是左派的理想满足．算子代数是差分运营商环的一个因素，作为左-module等于它的乘法是给出的．地图与是一种迹象-代数同态和任何左模块我们有．特别是．的子环的叫做常数环．(5）让是一个-HOPF代数行动．我们来表示一个元素的作用在通过并定义．粉碎的产品是一个具有附加模块结构的扩展。定义通过．

2.作用于满足多项式恒等式代数上的线性算子

让是上面任何中级代数。

第一个技术引理概括了Linchenko的相应结果[8对于Hopf行为和Nikshych[，定理3.1][9对于弱Hopf动作，定理6.1.3]。回想一下，如果一个理想的元素是幂零的，它就叫做零理想。

Lemma 2.1。让假设所有人都是这样存在和元素， 这样 对于任何．如果有限维在特征为0和如果的域上吗是零理想吗是零。特别是Jacobson根是-稳定的。

证明。表示痕迹线性自同态的通过．让，．使用我们得到的假设 对于一些．假设与一个零理想，那么是尼利特，因此．对于任何一个集．然后 为．自是一个理想,．因此 自是有限维的,以及所有力量的踪迹是零,是一个尼利本的运营商，即，是尼利的。因此是零理想。由于阿丁环的Jacobson根是最大的幂零理想，我们得到．

最后一个引理，首先由Linchenko证明了Hopf行为，然后由Nikshych证明了弱Hopf行为，它让我们证明了代数Jacobson根的稳定性这满足了多项式身份，并在哪个操作员代数这是有限地产生的．下列定理的假设允许简化到有限维因子。

定理2.2。让在某些领域特性为0的作为权利有限生成模块。假设为所有人而言存在和元素令人满意的 对于任何．如果满足一个多项式恒等式是不可数代数闭域，可数生成的所有左原元因子环妈妈,那么无论如何不理想的．

证明。让是一个非常理想的。这足以表明对于所有简单的左模块,然后．让做一个简单的左派模块和歼灭者。如果是一个不可数的代数封闭的领域可以确定生成，那么它满足了nullstellensatz，因此（看 [10，])。如果原始因素是阿丁式的，那么根据Weddeburn-Artin定理对于一些,因此是一个有限的简单左模块。另一方面，如果那么满足多项式身份在哪里是有限维除法代数吗通过卡普兰斯基定理[10，］．张力通过产生一个代数与-右侧行动。然后 此外是一个有限的简单左模块自和是有限维的．还要注意零理想延伸到零理想因为(11，定理5]是局部幂零代数还是任何元素位于一个由此产生的少数生成的子晶符的年代,．
总结一下，我们的假设是让我们考虑是一个有限维度的简单左边模块,和代数在某个域上吗特色的0。表示由诱发左侧模块。自是有限生成的吗是有限维的,有限维。注意左边- 一方面是（谁）给的．让．然后是稳定的,因为如果和，那么根据假设存在元素令人满意的(2.5)．因此，对于任何一个我们有 自和．因此．让．然后 自是有限维的,有限维。请注意,是一个简单的左模块。任何零理想的产生零理想值的．而且每一个元素满足(2.5)．由引理2.1，包括在内．因此 因此对于任何零理想的．

3.满足多项式身份的代数上的HOPF行动弱

在应用上一节的结果之前，我们回顾一下Böhm等人在[1］．

定义3.1。一个关联代数用乘法第1单元也是一个带有复数的协合上代数和余单位如果满足以下性质，称为弱Hopf代数:(1)复合是乘法的，即所有： （2）单位和计数满足: （3)存在一个线性映射，名为Antipode，这样 请注意，我们将使用Sweedler的表示法与抑制求和符号进行复合。

的形象和是子晶符和的它们是可分离的［15，和他们的形象相互交流。这些子代数也用分别．

一个左模块代数弱Hopf代数结合律一元代数是什么这样是左边的-模块和所有：

让是一个左- 在弱hopf代数上摩擦代数,让是来自的环同性恋到它定义了左模块结构， 那是，对全部．属性(3．4）上面的定义可以被解释为互动关系左乘法然后离开了行动．

下面的性质现在可以从这些公理推导出来。

引理3.2。让是一个左- 在弱hopf代数上摩擦代数．然后(1)对全部和所有，（2）对全部，（3)如果,然后对全部．

证明。(1)让．自，我们都有： 第二个表述的证明是类似的。
（2）我们有
(3)假设,然后当，我们有使用：

我们说这是弱Hopf代数涉及涉及它的抗偏移是一个有利的。任何GlaseOid代数都是涉及弱Hopf代数。此外，在特征零领域的任何半单跳蚤代数都是涉及的。比如说有限地作用于左边模块代数如果是图像有限维。下面的陈述是由最后一个引理和定理推导出来的2.2．

定理3.3。让是一个涉及一个领域的涉及弱hopf代数有限作用于左边的特征零模块代数．如果满足一个多项式恒等式是不可数代数闭域，可数生成和所有左原因子环的是阿提安，那么雅各布森激进是-稳定的。

证明。让是诱导左侧的环同性恋模块结构．表示由子晶代布拉由和．让是元素的这样forms．我们认为形式是对于一些．这足以说明问题．所以采取元素和．然后利用引理3．2(2)，和我们有 这显示了相互交织的关系在收益率,是有限地生成的模块。根据模代数的定义，我们也有．因此．对于任何一个和我们有引理3．2(3)由(3．8）: 为，，以及一些适当的指数选择．此外 对于一些元素由引理存在的3．2（4）。因此定理的假设2.2，则语句如下。

3.1。粉碎漏洞行动的粉碎产品

回想一下这个粉碎产品的左模块代数弱Hopf代数定义在张量积上在哪里被认为是一种权利模块的为．(线性)双的也变成了弱Hopf代数通过， 在哪里．利用由Nikshych证明的弱Hopf代数的Montgomery-Blattner对偶定理，我们得到以下结论。

引理3.4。让是有限维弱Hopf代数左边模块代数。然后是有限生成的射影，对吧模块和对于某些幂等在哪里表示环-矩阵的某个数．

证明。经过 [14定理3.3)．自是一个可分离的-algebra，它是半单的假inian。因此是(有限生成的)射影吗模块和是直接汇总对于一些．此外，它是从引理的证明而来的3．2那．因此作为正确的- 摩托者．另一方面是直接汇总作为正确的模块。因此是一个投影，对吗模块级别和对于某些幂等．

３．２．针对弱Hopf动作的半优质粉碎产品

我们现在可以转移林琴科和蒙哥马利的结果[7关于弱Hopf作用下的smash乘积的半规整性。

定理3.5。让是一个左有限维对合弱Hopf代数上的-模代数在特征零领域。如果是半素数并且满足多项式恒等式，那么是半素。

证明。集．请注意,因为它的antipode是由其定义的，这也是涉及的对全部．经过 [12推论6.5)是半简单的1存在归一化左积分．这意味着投影是左的吗-module作为左边线性映射与将投影给予．
首先假设．由引理3．4，对于某些幂等．这也意味着,因为应该是一个投影左模块。回想一下一个模块的的所有极大子模的交集或者等价于所有小子模块的和，也就是这些子模块的和的这样对全部．
自的有限扩展， 还满足多项式的身份和自从它作用的空间是有限的吗．因此定理3．3适用和任何零理想的我们有．另一方面任何一个-submodule.的包含在，零。因此和是半素。
一般来说，如果是半质数，我们可以扩展- 一定到多项式环通过识别与也就是左边- 摩登代数，在哪里行为通过．自是半素数，满足多项式恒等式，经过 [13］．此外还满足多项式的身份和上面的论证是半素。任何理想的可以扩展到一个理想的的， 还是半素。

承认

第一作者得到了授予SFRH / PROTEC / 49857/2009的支持。第二作者部分由Centro deMatemáticaDaiversidodo（cmup）部分支持Porto（CMUP），由FCT（葡萄牙）通过计划助资（Programa OperationalCiência，Tecnologia，Inovação）和POSI（Programa Operacional Sociedade daInformação）提供资金，拥有国家和欧洲社区结构基金。