恒定不变的gydF4y2Ba为无限期广义正则的截面曲率gydF4y2Ba讨论的形式gydF4y2Ba

文摘gydF4y2Ba

Bonome et al ., 1997年,提供了一个代数描述无限期Sasakian歧管减少空间的常数gydF4y2Ba全纯截面曲率。在本文,我们推广了无限期的相同的特征gydF4y2Ba讨论形式。gydF4y2Ba

1。介绍gydF4y2Ba

对于一个几乎埃尔米特廖gydF4y2Ba与gydF4y2Ba,Tanno [gydF4y2Ba1gydF4y2Ba证明了下面的。gydF4y2Ba

定理1.1。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba,几乎认为埃尔米特廖gydF4y2Ba满足gydF4y2Ba 每切向量gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba。然后gydF4y2Ba有一个恒定的全纯截面曲率gydF4y2Ba当且仅当gydF4y2Ba 每切向量gydF4y2Ba在gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

Tanno [gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)也证明了一个类似的定理Sasakian集合管如下。gydF4y2Ba

定理1.2。gydF4y2Ba一个Sasakian歧管≥5有一个常数gydF4y2Ba当且仅当截面曲率gydF4y2Ba 每切向量gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

Nagaich [gydF4y2Ba2gydF4y2Ba证明了定理的广义版本gydF4y2Ba1。1gydF4y2Ba,几乎无限期的埃尔米特集合管如下。gydF4y2Ba

定理1.3。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba 几乎是无限期埃尔米特多方面的满足(gydF4y2Ba1。1gydF4y2Ba),然后gydF4y2Ba有一个恒定的全纯截面曲率gydF4y2Ba当且仅当gydF4y2Ba 每切向量gydF4y2Ba在gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

Bonome et al。gydF4y2Ba3gydF4y2Ba)广义定理gydF4y2Ba1。2gydF4y2Ba为无限期Sasakian歧管如下。gydF4y2Ba

定理1.4。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba被无限期Sasakian歧管。然后gydF4y2Ba有一个常数gydF4y2Ba当且仅当截面曲率gydF4y2Ba 每一个向量场gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

在这篇文章中,我们归纳定理gydF4y2Ba1。4gydF4y2Ba广义的一段时间内,gydF4y2Ba讨论通过证明以下形式。gydF4y2Ba

定理1.5。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba是一个不确定广义gydF4y2Ba讨论的形式。然后gydF4y2Ba是恒定的gydF4y2Ba当且仅当截面曲率gydF4y2Ba 每一个向量场gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba,对于任何gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

2。预赛gydF4y2Ba

一个箱gydF4y2Ba被称为gydF4y2Ba全球框架f-manifold(或gydF4y2Ba 管汇)gydF4y2Ba如果它具有nullgydF4y2Ba张量场gydF4y2Ba持续的排名,这样gydF4y2Ba平行展开,也就是说,存在全球性的向量场gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,他们的双重1-formsgydF4y2Ba,满足gydF4y2Ba和gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba廖gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,据说是无限期的量度gydF4y2Ba廖如果gydF4y2Ba是一个semi-Riemannian指标指数吗gydF4y2Ba满足相容性条件如下:gydF4y2Ba 对于任何gydF4y2Ba,被gydF4y2Ba根据是否gydF4y2Baspacelike或类时。然后,对任何gydF4y2Ba,一个gydF4y2Ba。下面的符号gydF4y2Ba4gydF4y2Ba,gydF4y2Ba5gydF4y2Ba),我们采用曲率张量gydF4y2Ba,因此我们有gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,对于任何gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

我们回想一下,证明在gydF4y2Ba6gydF4y2Ba),Levi-Civita连接gydF4y2Ba无限期的gydF4y2Ba多方面满足以下公式:gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba是由gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

无限期规gydF4y2Ba廖称为一个gydF4y2Ba不定gydF4y2Ba 廖gydF4y2Ba如果它是正常的gydF4y2Ba,对于任何gydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba对于任何gydF4y2Ba。正常条件下所表达的是张量场的消失gydF4y2Ba,gydF4y2BaNijenhuis扭转的gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

此外,无限期的Levi-Civita连接gydF4y2Ba多方面的满足gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba和gydF4y2Ba。我们回想一下,gydF4y2Ba和gydF4y2Ba是一个可积的平面分布自gydF4y2Ba(看到更多的细节gydF4y2Ba6gydF4y2Ba])。gydF4y2Ba

一架飞机在gydF4y2Ba是一个gydF4y2Ba如果存在一个向量正则的部分gydF4y2Ba正交gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba跨度的部分。截面的曲率gydF4y2Ba全纯部分,用gydF4y2Ba,被称为gydF4y2Ba全纯截面曲率。gydF4y2Ba

命题2.1(见[gydF4y2Ba7gydF4y2Ba])。gydF4y2Ba无限期Sasakian廖gydF4y2Ba有gydF4y2Ba截面曲率gydF4y2Ba当且仅当它的曲率张量验证gydF4y2Ba 对于任何一个向量场gydF4y2Ba。gydF4y2Ba
一个Sasakian廖gydF4y2Ba在恒定的gydF4y2Ba截面曲率gydF4y2Ba被称为Sasakian空间形式,用吗gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

定义2.2。gydF4y2Ba几乎接触度规管汇gydF4y2Ba是一个gydF4y2Ba不确定广义Sasakian空间形式gydF4y2Ba,用gydF4y2Ba,如果它承认三个光滑函数gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba这样,其曲率张量字段验证gydF4y2Ba 对于任何一个向量场gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

2.3的话。gydF4y2Ba任何不确定广义Sasakian空间形式gydF4y2Ba截面曲率gydF4y2Ba。的确,gydF4y2Ba和gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

命题2.4(见[gydF4y2Ba6gydF4y2Ba])。gydF4y2Ba无限期gydF4y2Ba廖gydF4y2Ba有gydF4y2Ba截面曲率gydF4y2Ba当且仅当它的曲率张量验证gydF4y2Ba 对于任何一个向量场gydF4y2Ba和gydF4y2Ba。gydF4y2Ba
无限期gydF4y2Ba廖gydF4y2Ba在恒定的gydF4y2Ba截面曲率gydF4y2Ba被称为gydF4y2Ba讨论形式,用gydF4y2Ba。一个讲话,gydF4y2Ba(gydF4y2Ba2.6gydF4y2Ba)降低(gydF4y2Ba2.4gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

3所示。无限期广义gydF4y2Ba廖gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba表示任何一组光滑函数gydF4y2Ba在gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba对于任何gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

定义3.1。gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba不确定广义gydF4y2Ba 空间形态gydF4y2Ba,用gydF4y2Ba是无限期gydF4y2Ba廖gydF4y2Ba它承认光滑函数gydF4y2Ba这样,其曲率张量字段验证gydF4y2Ba 对于任何一个向量场gydF4y2Ba。gydF4y2Ba
为gydF4y2Ba,我们获得无限期Sasakian空间形式gydF4y2Ba与gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba。特别是,如果给定结构Sasakian, (gydF4y2Ba3所示。1gydF4y2Ba)持有gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

定理3.2。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba是一个不确定广义gydF4y2Ba讨论的形式。然后gydF4y2Ba是恒定的gydF4y2Ba当且仅当截面曲率gydF4y2Ba 每一个向量场gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba,对于任何gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba是一个不确定广义gydF4y2Ba讨论的形式。来证明这个定理gydF4y2Ba,我们将考虑情况gydF4y2Ba当gydF4y2Ba,也就是说,当gydF4y2Ba。gydF4y2Ba
例1 (gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba的证明类似的李和金(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba),所以我们将证明。gydF4y2Ba例2 (gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba这里,如果gydF4y2Baspacelike,那么gydF4y2Ba是时间,反之亦然。首先,假设gydF4y2Ba是恒定的gydF4y2Ba全纯截面曲率。然后(gydF4y2Ba3所示。1gydF4y2Ba)给gydF4y2Ba 相反,让gydF4y2Ba是一个标准正交切线向量,这样gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba。然后gydF4y2Ba和gydF4y2Ba也形成一个标准正交切线向量,这样gydF4y2Ba。然后(gydF4y2Ba3所示。1gydF4y2Ba)和曲率属性gydF4y2Ba 的假设,我们可以看到右边的最后两项消失。因此,我们得到gydF4y2Ba。gydF4y2Ba
现在,如果gydF4y2Ba是gydF4y2Ba全纯,然后gydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba和gydF4y2Ba是常数,我们有吗gydF4y2Ba
同样的,gydF4y2Ba 这些暗示gydF4y2Ba 如果gydF4y2Ba不是gydF4y2Ba正则的部分,然后我们可以选择单位向量gydF4y2Ba和gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba是gydF4y2Ba全纯。因此我们得到gydF4y2Ba 这表明,任何gydF4y2Ba全纯部分相同gydF4y2Ba全纯截面曲率。gydF4y2Ba
现在,让gydF4y2Ba,让gydF4y2Ba是一组标准正交向量,这样gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,我们有gydF4y2Ba像以前一样。使用属性(gydF4y2Ba3所示。2gydF4y2Ba),我们得到gydF4y2Ba 现在,定义gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba和gydF4y2Ba。使用上面的关系,我们得到的gydF4y2Ba
因此,我们有gydF4y2Ba 另一方面,gydF4y2Ba 比较(gydF4y2Ba3.11gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba3.12gydF4y2Ba),我们得到gydF4y2Ba 解决(gydF4y2Ba3.13gydF4y2Ba),我们有gydF4y2Ba 同样,我们可以证明gydF4y2Ba 因此,gydF4y2Ba有恒定的gydF4y2Ba全纯截面曲率。gydF4y2Ba例3 (gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba这是不足以表达一个充分条件。让gydF4y2Ba是一个单位向量切线gydF4y2Ba,对于任何gydF4y2Ba,这样gydF4y2Ba,并考虑零向量gydF4y2Ba。从(gydF4y2Ba3所示。2gydF4y2Ba),gydF4y2Ba 因此,gydF4y2Ba 从案例中gydF4y2Ba1gydF4y2Ba和gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,这取决于的标志gydF4y2Ba,gydF4y2Ba是恒定的,因此gydF4y2Ba是恒定的。gydF4y2Ba

定理3.3(见[gydF4y2Ba9gydF4y2Ba])。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba 是无限期gydF4y2Ba管汇。然后gydF4y2Ba是恒定的gydF4y2Ba当且仅当截面曲率gydF4y2Ba 每一个向量场gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba,对于任何gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba讨论的形式是一个特例gydF4y2Ba讨论形式,因此,遵循从定理证明gydF4y2Ba3所示。2gydF4y2Ba和(gydF4y2Ba2.6gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

定理3.4 (cf。Bonome et al。gydF4y2Ba3gydF4y2Ba])。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba 被无限期Sasakian歧管。然后gydF4y2Ba是恒定的gydF4y2Ba当且仅当截面曲率gydF4y2Ba 每一个向量场gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba当gydF4y2Ba,无限期gydF4y2Ba讨论的形式gydF4y2Ba减少Sasakian空间形式。证明如下(gydF4y2Ba2.4gydF4y2Ba)和定理gydF4y2Ba3所示。3gydF4y2Ba。gydF4y2Ba