演化方程组的非局部对称性

摘要

证明了演化方程组的任何潜在对称都通过变量的非局部变换转化为李对称。这一事实是我们计算势和具有非平凡李对称的演化方程系统的更一般非局部对称方法的核心。我们考虑了几个例子。

1.介绍

李对称及其各种推广已经成为现代物理描述从量子物理到流体力学的广泛的自然现象不可分割的一部分。李和恩格尔在19世纪提出的连续群的纯数学理论的成功[1绝大多数物理、化学和生物过程的数学模型都具有非平凡的李对称，这是一个显著的事实。

人们甚至可以辩称，正是这个性质，即李对称下的不变性，将数学和理论物理的流行模型与以微分或积分方程形式存在的可能模型的连续体区分开来(参见，例如，[2，3.]). 基于这一观察，对称选择原则指出，如果描述某些物理过程的方程包含任意元素，则应选择后者，以使生成的模型具有最高可能的对称性。从这个意义上说，谎言理论有效地预测了哪一个方程最适合作为特定物理、化学或生物过程的数学模型。

从规定的一类偏微分方程中选择具有最高李对称性的偏微分方程的过程称为群分类。在涉及到非李对称的情况下，使用更一般的术语，对称分类。

本文研究了单空间变量演化方程组的对称性 哪里，，，。请注意，我们使用粗体字体表示多分量变量。

型偏微分方程的李群分类问题1．1)已被广泛研究(见，例如[4- - - - - -7]及其参考文献)。在这方面使用的任何方法的核心是经典的无穷小李方法。后者可以减少(1．1)来整合某些偏微分方程的线性系统(详情请参阅[8- - - - - -10])。

然而，尽管传统的Lie方法很重要也很强大，但它并不能为现代非线性物理学日益严峻的挑战提供所有的答案。正是由于这个原因，人们对李对称进行了无数的推广尝试，使推广对称保留了李对称最重要的特征，并允许更广泛的适用性。在这个方向上的一个自然的移动是让李氏对称的无穷小生成器的系数不仅包含自变量和因变量及其导数，还包括因变量的积分。这样，所谓的非局部对称性就被引入了数学物理中。

线性偏微分方程的非局域对称性的概念已经被相对地很好地理解了(参见[11])。这不是非线性微分方程的情况。开发非线性偏微分方程非局部对称的正则化方法的问题还有待于它的Sophus Lie。然而，对于特定方程的非局部对称仍然有一些结果。

Bluman等人提出了一种构建非局部对称的可能方法[12，13］.他们提出了势对称的概念，势对称是非局域对称的一种特殊情况。构造偏微分方程势对称方法的基本思想可以用以下方式表示。考虑一个演化方程 假设它可以写成守恒定律的形式 通过(１．３)，我们可以引入新的因变量和重写(1．1)如下: 如果两个方程组(1.4)承认李对称，使其无穷小算子的系数至少有一个依赖于李对称，则该对称为初始演化方程(1．2）.在这里是,也就是说,这种非局部对称性也称为势对称性(1．2）.

Pucci and Saccomandi [14]和Saccomandi [15]证明了利用偏微分方程的非经典对称性可以导出势对称性(1．2）.最近，我们通过将势能对称与经典接触对称联系起来，建立了更强的断言[16，17］.更准确地说，我们证明了进化方程(1．2)通过对因变量和自变量进行适当的非局部变换，可以将其简化为接触对称性，从而可以得到对势对称性的详尽描述(1．2)，通过对形式为(1．2）.

势对称在偏微分方程(1．2)可在[18- - - - - -23］.

在本文中，我们推广了16]为演化方程组(1．1)并证明了在适当的因变量和自变量的非局部变换下，所讨论系统的任何势对称性都退化为经典的李对称性2和3.）.接下来，我们在Section中提出建议4一种构造非局部对称的更一般的方法，它远远超出了势对称的概念。它可以生成与系统的给定系统相关联的演化方程系统(1．1)，前提是后者承认非平凡的李对称。本节将介绍该方法的一些应用4．

2.守恒定律表示与经典对称

定义2.1。有人说这个系统(1．1)允许完全守恒定律表示（CLR），如果它可以写在 在这里,是分向量。

定义2.2。有人说这个系统(1．1)允许部分CLR，如果它可以写在表格中 在这里和是分和分别分向量。

下面我们提出定理，这些定理提供了经典李氏对称中守恒定律的可表征性的详尽表征。给出了完整CLR断言的详细证明;部分CLR的情况也以类似的方式处理。

定理2.3。系统(1．1)允许完整的CLR，当且仅当它是不变的-维交换李代数,在那里 而且

证明。假设这个系统(1．1)承认CLR (2．1）.引入新分函数 和消除从(2．1),我们得到 将获得的PDE系统与收益率 注意积分常数被吸收到函数中．显然,系统(2．7)在交换律下是不变的维李代数 ．更重要的是代数基元的系数满足条件(2．4）.
现在让我们证明逆命题也是正确的。假设(1．1李代数承认，其基本元素具有(2．3)及满足(2．4）.然后，有一个变量的变化(见，例如，[8]） 还原基元的形式，．在接下来的内容中，我们去掉小节。
现在,(1．1)必然采取形式 区分(2．9关于对因变量进行(非局部)变更，我们终于得到了 这就完成了证明。

注1。对称算子是特定形式(2．3)对于将一个演化方程组简化为“守恒”形式的整个过程是至关重要的(2．1）.由某算子生成的对称群不保留时间变量(这意味着系数在对于某些非零)，则不能将该运算符简化为规范形式，而减量程序不起作用。

定理2.4。系统(1．1)允许部分CLR当且仅当它是不变的-维交换李代数,在那里 而且

3.潜在的对称性

演化方程组的潜在对称性(1．1)的出现方式与它们在单个进化方程中的表现方式相同。为简单起见，我们考虑完全CLR的情况。通过(2．1)，我们可以引入新的因变量因此 注意非局部变量是什么 ．

现在假设这个系统(3.1)承认了李对称 这样的一个导数 不会完全相同地消失。重写集团(3.2)的变量,考虑到这一点得到演化方程初始系统的非局部对称性(1．1)这特别意味着，在李无穷小方法中无法获得所讨论的对称性。我们将要证明的是，如果正则李方法与因变量的非局部变换相结合，则该对称性可以通过正则李方法导出。

事实上，让我们看看这个系统(1．1)允许完全CLR(2．1）.此外，我们认为(1．1)具有势对称性。使依赖变量发生非局部变化，， 我们重写(2．1)的表格(2．6）.作为初始系统(1．1)承认可能存在对称，系统(3.1)在形式为(3.2）.

积分(2．6关于生成演化方程组 接下来，我们重写Lie对称(3.2)通过消除据(3.4)产生 通过构造，李变换群(3.6)映射出(3.5向本身)。因此,(3.6)是演化方程组的接触对称性的李群(3.5）.

众所周知，偏微分方程系统的任何接触对称都可归结为经典对称的首次延伸[24].因此,关于第三个参数不变地消失，我们得到 这个群就是系统的标准李对称群3.5）.

同样的断言适用于部分CLR的情况。

定理3.1。Let发展方程组(1．1)承认完全或部分CLR，并在势对称下保持不变。然后，存在一个(非本地的)变量映射更改(1．1)转化为另一个形式系统(1．1)使势对称性(1．1)成为变换系统的标准李对称。

这个断言实际上是演化方程系统势对称的不可行定理。它指出势对称的概念并不产生本质上新的对称。允许势对称的系统等价于允许标准Lie对称的系统，它是所讨论的势对称的图像。

然而，还有更多的原因。定理3.1给出了允许非局部对称的非线性演化方程群分类系统的正则算法。同样，为了简单起见，我们考虑完全CLR的情况。

的确，让演化方程系统(1．1不变的维李代数．在这里是表格(2．3)其系数满足约束条件(2．4）.基础操作符是通用型的吗

适当地改变变量，我们可以减少运算符到规范形式，即，，．然后,系统(1．1)必然采取形式(3.5）.

让(3.7)为由该对称算子生成的李变换群．计算公式的第一次延伸(3.7)我们得到了一阶导数的变换规则：

现在，我们微分(2．6关于并对因变量进行如下更改: 的收益率 公式(3.7)， (3.9)提供转换组的图像(3.7)映射下(3.9),所以, 在这里．

因此，如果其中一个导数，，，，不完全消失，则(3.12)为演化方程组的非局域对称群(3．11）.

同样的推理也适用于系统(1．1)允许部分CLR。

我们用与给定的形式为(1．1）.

Let发展方程组(1．1不变的-维李对称代数．为简单起见，我们考虑完全CLR的情况。

过程。的势对称分类(1．1）（1)计算不相等代数中代数学．（２）选择那些子代数，其中包含交换子代数表格(2．3）.（３）对于每个交换子代数执行变量更改，将其基本元素减少为规范形式并对初始系统进行改造(1．1相应的)。（４）执行非局部转换(3.10）.（５）消除“旧的”因变量从(3.7)为了得到对称群(3.12)的演化方程转换系统(3．11）.（６）确认列表中至少有一个派生项，，它不会完全消失。如果是这样的话，那么(3.12的非局部(潜在)对称3．11）.

对于演化方程组允许部分CLR的情况，实现上述步骤所需的步骤是相同的，唯一不同的是中间公式(3.7) - (3.12)更麻烦的是，我们需要区分两组因变量和(见(2．2））.

注意，通过定理的力量2．3和2．4，形式为(1．1)可通过上述方式获得。

作为一个例子，我们考虑[25］ 哪里，，是任意实常数吗是任意复数函数。方程(3.13)允许伽利略群的李代数具有以下基算子[25]：

操作员，通勤与算子系数矩阵的秩，，,等于2。因此，变量的变化会减少，规范的形式，．实际上，就是变量的变换 转换，成为，．我们可以应用Procedure1(3.13)根据(3．15）.因此，转换后的运算符成为转化后的两个演化方程的非线性系统的潜在对称性。

4.一些概括

表示形式为(1．1),.然后是任何形式的系统 属于，和（ii）非局部变换下的图像也属于．这种非局部变换的存在性是演化方程系统非局部对称性分类方法的核心。

问类是否有其他类型的非局部转换是很自然的可以用来生成非局部对称。值得注意的是，这种非局部变换确实存在。武器(26提出了一种用于单演化方程生成这种变换的群方法的思想，简单地修改了他处理演化方程组的方法，作为一个例子，我们考虑了系统。4.1).它在下列条件下不变维李代数．最简单的集合代数的函数独立不变量可选择如下：，，，，.现在，我们定义转换 因此，，是所研究系统对称群的不变量。在所考虑的情况下，我们有，,.正如我们在第节中确定的2，将此变换应用于以下形式的任何方程(4.1)得到的进化方程系统属于．的李对称群4.1)映射到变换系统的对称群中，后者的一些基算子成为非局部基算子。

考虑下一个进化方程组的例子 该系统在一定条件下是不变的维李代数．最简单的集合函数无关的第一个积分是，，，．因此，变量的变化(4.2)以形式 请注意，我们删除了条形图并重新添加了条形图与．

转化(4.3.根据…4.4)我们得到 或者,同样, 整合两倍的收益率 注意积分常数被函数吸收了吗．

因此非局部变换(4.4)映射出方程的子集进入．因此，它可以用来生成初始系统的非局部对称(4.3.）.

让系统(4.3.)在李变换群下是不变的 通过计算上述公式的第二次延拓，得到了函数的变换规律， 结合(4.8)和(4.9)得到演化方程组的对称群(4.7）， 哪里非局部变量。现在，如果其中一个导数 不完全消失，则(4．10)为演化方程组的非局域对称群(4.7）.

重要的是要强调对称代数并非必须通勤。必要条件是相应的变换群必须保持时间变量，，即基本要素必须是这种形式吗

举个例子，考虑以下二阶演化方程组: 该系统在一定条件下是不变的维李代数.注意代数不是交换。的集合代数不变量可选择如下： 做变量的变换 我们重写(4.13)在形式上 考虑到操作者和通勤(4.16关于,替换与，我们终于得到了 以上系统是通过因变量的变化从初始系统得到的，．因此，如果系统(4.13)承认对称(4.8)，然后是系统(4.17)允许以下转换组： 与．再一次，如果其中一个导数 不完全消失，则(4.18)为演化方程系统的非局部不变性群(4.16）.

系统非局部对称性的计算方法(1．1)产生那些潜在的非局部对称，因为选择了非局部变换先天的．允许非局部变换由所研究系统的对称群来确定，得到了构造非局部对称的更一般的算法。

Let发展方程组(1．1不变的-维李对称代数．那么可以使用下面的步骤来构造(1．1）.

过程。(的非局部对称的分类1．1）（1)计算不相等代数中代数学．（２）选择那些子代数，包含基本元素形式(4.12）.（３）为每一个构造功能独立的不变量，然后进行变量替换 （４）消除“旧的”因变量从(4.20)来推导对称群转化后的演化方程组。（５）验证列表中至少有一个函数这取决于对于一些.如果是这样，那么为的非局部对称3．11）.

5.结论

本文的主要结果之一是定理3.1说明演化方程式系统的任何可能的对称性(1．1)通过适当的因变量和自变量的非局部变换简化为李对称。所讨论的非局部变换是局部变量变换的叠加 因变量的非局部变化 变换的显式形式(5．1)由相应系统所承认的李对称定义(1．1）.

作为副产品，我们获得了系统的详尽表征(1．1)，可以用守恒定律的形式表示，用保留时间变量的李对称表示，， (见定理2．3和2．4）.

节4，我们推广上述推理，以获得非势的非局部对称。基本思想是替换(5．2)和更一般的非局部变换。这种变换是由所研究系统的李对称代数的不变量决定的。

我们打算在未来的出版物中致力于非线性演化方程系统的非局域对称性的系统研究(1．1)在本节所发展的方法框架内4．

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