演化方程组的非局部对称性

摘要

证明了演化方程组的任何潜在对称都通过变量的非局部变换转化为李对称。这一事实是我们计算势和具有非平凡李对称的演化方程系统的更一般非局部对称方法的核心。我们考虑了几个例子。

1.介绍

李对称及其各种推广已经成为现代物理描述从量子物理到流体力学的广泛的自然现象不可分割的一部分。李和恩格尔在19世纪提出的连续群的纯数学理论的成功[1绝大多数物理、化学和生物过程的数学模型都具有非平凡的李对称，这是一个显著的事实。

人们甚至可以争辩说，这一财产，在谎言对称下的不变性，将数学和理论物理的流行模型与差分或整体方程的形式区分开来（参见，例如，[2，3.])。基于这一观察结果的是对称选择原则，即如果描述某些物理过程的方程包含任意元素，则应选择任意元素以使所得到的模型具有最高可能的对称性。在这个意义上，Lie理论有效地预测了哪个方程是作为一个特定的物理、化学或生物过程的数学模型的最佳候选人。

从规定的一类偏微分方程中选择具有最高李对称性的偏微分方程的过程称为群分类。在涉及到非李对称的情况下，使用更一般的术语，对称分类。

本文研究了单空间变量演化方程组的对称性在哪里，，，．请注意，我们使用粗体字体表示多组件变量。

型偏微分方程的李群分类问题1．1)已被广泛研究(见，例如[4- - - - - -7]及其参考文献)。在这方面使用的任何方法的核心是经典的无穷小李方法。后者可以减少(1．1）集成一些PDE的线性系统（进一步的细节可以在[8- - - - - -10])。

然而，尽管传统的Lie方法很重要也很强大，但它并不能为现代非线性物理学日益严峻的挑战提供所有的答案。正是由于这个原因，人们对李对称进行了无数的推广尝试，使推广对称保留了李对称最重要的特征，并允许更广泛的适用性。在这个方向上的一个自然的移动是让李氏对称的无穷小生成器的系数不仅包含自变量和因变量及其导数，还包括因变量的积分。这样，所谓的非局部对称性就被引入了数学物理中。

线性偏微分方程的非局域对称性的概念已经被相对地很好地理解了(参见[11])。这不是非线性微分方程的情况。开发非线性偏微分方程非局部对称的正则化方法的问题还有待于它的Sophus Lie。然而，对于特定方程的非局部对称仍然有一些结果。

Bluman等人提出了一种构建非局部对称的可能方法[12，13］.他们提出了势对称的概念，势对称是非局域对称的一种特殊情况。构造偏微分方程势对称方法的基本思想可以用以下方式表示。考虑一个演化方程假设它可以以保护法的形式重写通过(1．3），我们可以介绍新的依赖变量和重写(1．1)如下: 如果两个方程组(1．4）承认说谎对称性，使得其无限算子的至少一个系数取决于然后，该对称性是初始演化方程的非识别对称性（1．2）.在这里是,也就是说,．这种非局部对称也称为(1．2）.

Pucci and Saccomandi [14Saccomandi [15]证明了势对称可以利用偏微分方程(1．2）.最近，我们通过将势能对称与经典接触对称联系起来，建立了更强的断言[16，17］.更准确地说，我们证明了进化方程(1．2)可以通过适当的因变量和自变量的非局部变换化为接触对称。因此，可以得到(1．2)，通过对形式为(1．2）.

对PDE类别的特定子类潜在对称的一些应用（1．2)可在[18- - - - - -23］.

在本文中，我们推广了16]对于进化方程的系统（1．1)，并证明在因变量和自变量的适当非局域变换下，系统的任何潜在对称都可退化为经典的李对称(节)2和3.）.接下来，我们在Section中提出建议4一种构造非局部对称的更一般的方法，它远远超出了势对称的概念。它可以生成与系统的给定系统相关联的演化方程系统(1．1)，前提是后者承认非平凡的李对称。本节将介绍该方法的一些应用4．

2.守恒定律表示与经典对称

定义2.1。一个人说系统（1．1)承认完整的守恒定律陈述(CLR)，但须在表格内填写在这里,是分向量。

定义2.2。一个人说系统（1．1)允许部分CLR，如果它可以写在表格中在这里和是-Component和分别分向量。

下面我们在古典谎言对称方面提供了提供保护法的详细描述的定理。我们提供关于完整的CLR的断言的详细证明;部分CLR的情况以类似的方式处理。

定理2.3。系统(1．1)允许完整的CLR，当且仅当它是不变的-维交换李代数,在那里 除此之外

证明。假设该系统(1．1）承认clr（2．1）.引入新分函数和消除从(2．1),我们得到对得到的偏微分方程系统进行积分收益率注意积分常数被吸收到该功能中．显然，系统（2．7）在换向下是不变的维李代数．更重要的是代数基元素的系数满足条件(2．4）.
现在让我们证明逆命题也是正确的。假设(1．1李代数承认，其基本元素具有(2．3)及满足(2．4）.然后，有一个变量的变化(见，例如，[8]）还原基元的形式，．在接下来的内容中，我们去掉小节。
现在,(1．1）必然采取表格区分(2．9关于对因变量进行(非局部)变更，我们终于得到这就完成了证明。

注1。对称算子是特定形式(2．3）对于将演化方程系统减少到“保守”形式的整体程序至关重要（2．1）.由某算子生成的对称群不保留时间变量(这意味着系数在对于某些非零)，则不能将该运算符简化为规范形式，还原例程不起作用。

定理2.4。系统(1．1）仅当它是不变的，允许部分CLR-维交换李代数,在那里 除此之外

3.潜在的对称性

进化方程系统的潜在对称性（1．1)的出现方式与它们在单个进化方程中的表现方式相同。为简单起见，我们考虑完全CLR的情况。通过(2．1），我们可以介绍新的依赖变量,所以请注意,非局部变量是什么．

假设现在这个系统(3.1)承认了李对称这样一个衍生物不会完全相同地消失。重写集团(3.2)的变量,考虑到这一点得到演化方程初始系统的非局部对称性(1．1）.这意味着，特别地，所讨论的对称性不能在李无穷小方法中得到。我们要证明的是，这种对称性可以通过正则李方法得到，如果后者与因变量的非局部变换相结合。

的确，让系统(1．1承认完全的CLR (2．1）.此外，我们认为(1．1)具有潜在的对称性。对因变量进行非局部变化，，我们重写(2．1）在表格中（2．6）.作为初始系统(1．1）承认潜在的对称系统（3.1）在形式的谎言转换组下不变（3.2）.

整合（2．6关于生成演化方程组接下来，我们重写Lie对称(3.2)通过消除根据(3.4),收益率通过构造，李变换群(3.6）映射（3.5）进入自己。最后，（3.6)是演化方程组的接触对称性的李群(3.5）.

常识是，PDE系统的任何接触对称性归结为古典对称的第一次延长[24］.因此，的导数,关于第三个参数不变地消失，我们得到这个群就是系统的标准李对称群3.5）.

同样的断言也适用于部分CLR的情况。

定理3.1。让演化方程组(1．1)承认完全或部分CLR，并在势对称下保持不变。然后，存在一个(非本地的)变量映射更改(1．1)转化为另一个形式系统(1．1)，以使(1．1)成为变换系统的标准李对称。

这个断言实际上是演化方程系统势对称的不可行定理。它指出势对称的概念并不产生本质上新的对称。允许势对称的系统等价于允许标准Lie对称的系统，它是所讨论的势对称的图像。

然而，还有更多的原因。定理3.1暗示非局部对称性的非线性演化方程组分类系统的常规算法。再次，为了简单起见，我们考虑完整的CLR的情况。

的确，让演化方程系统(1．1不变的维李代数．在这里是表格(2．3)，其系数满足约束(2．4）.基础运营商是通用形式

通过适当的变量变换，我们可以简化运算符到规范形式，即，．然后,系统(1．1)必然采取形式(3.5）.

让(3.7)为由该对称算子生成的李变换群．计算公式的第一次延长（3.7的一阶导数的变换法则：

现在，我们微分(2．6关于并对因变量进行如下更改: 的收益率公式(3.7），（3.9)提供转换组的图像(3.7)下的地图(3.9),所以, 在这里．

因此，如果其中一个导数，，，，不完全消失，则(3.12）是演化方程的非局部对称组（3．11）.

同样的推理也适用于系统(1．1)允许部分CLR。

我们用与给定的形式为(1．1）.

让演化方程组(1．1不变的- 二维谎言对称代数．为简单起见，我们考虑完全CLR的情况。

程序。的势对称分类(1．1）（1）计算不相等代数中的代数．(2）选择那些代数中，包含换向子晶结构表格(2．3）.（3)对于每个交换子代数执行变量更改，将其基本元素减少为规范形式并改造初始系统(1．1）因此。（4)执行非局部转换(3.10）.（5）消除“旧”依赖变量从(3.7)，以推导对称群(3.12)的演化方程转换系统(3．11）.（6）验证列表中至少有一个派生项，，这并不像是相同的。如果是这种情况，那么（3.12）是（潜在）对称性的（3．11）.

实现上述过程所需的步骤，用于承认部分CLR的进化方程式的情况是相同的，唯一的区别是中间公式（3.7) - (3.12)更麻烦，因为我们需要区分两组因变量和(见(2．2))．

注意，通过定理的力量2．3和2．4，形式为(1．1)可按上述方式取得。

作为一个例子，我们考虑[25］在哪里，，是任意实际常量，是任意复数函数。方程(3.13)承认伽利略群的李代数具有下列基算子[25]：

运营商，运算符的系数和矩阵的秩，，,等于2。因此，有一个变量的变化，减少，规范的形式，．实际上，就是变量的变换转换，成为，．我们可以应用Procedure1(3.13)根据(3．15）.因此，转换后的运算符成为转化后的两个演化方程的非线性系统的潜在对称性。

4.一些概括

表示表格的部分微分方程的类别（1．1),．然后是任何形式的系统属于， (ii)非局部变换下的图像也属于．这种非局部变换的存在性是演化方程系统非局部对称性分类方法的核心。

问类是否有其他类型的非局部转换是很自然的可以用来生成非局部对称。值得注意的是，这种非局部变换确实存在。武器(26提出了用群方法对单个演化方程生成此类变换的思想。也可以直接修改他的方法来处理演化方程组。举例来说，我们考虑系统(4.1）.它是不变的维李代数．最简单的一套代数的函数无关不变量可选择如下:，，，，．现在，我们定义这个变换这，，是所研究系统的对称群的不变量。就本案而言，我们已经，,．正如我们在Section中所建立的2，将此转换应用于形式为(4.1)得到的进化方程系统属于．的李对称群4.1)映射到变换系统的对称群中，后者的一些基算子成为非局部基算子。

考虑作为进展方程的下一个示例系统这个系统是不变的维李代数．最简单的一套功能独立的第一个积分读为，，，．因此，变量的变化(4.2)以形式请注意，我们丢弃了酒吧并更换和．

转换(4.3.）根据（4.4),我们得到或者,同样, 整合两次产量注意积分常数被函数吸收了吗．

那么非局部转型（4.4)映射出方程的子集成．因此，它可以用来生成初始系统的非局部对称(4.3.）.

让系统(4.3.）在谎言转换组下不变对上述公式进行二次延拓，得到函数的变换规律，结合(4.8)和(4.9)得到演化方程组的对称群(4.7），在哪里是非本体变量。现在，如果其中一个衍生品不完全消失，则(4．10）是演化方程的非局部对称组（4.7）.

重要的是要强调对称代数并非必须通勤。必要条件是相应的变换群必须保持时间变量，，即，基础元素必须是这种形式吗

举个例子，考虑以下二阶演化方程组: 这个系统是不变的维李代数．注意代数不是交换。的集合代数的不变量可选择如下: 做变量的变换我们重写(4．13)的形式考虑到操作者和上下班,区分(4.16关于，更换和，我们终于得到以上系统是通过因变量的变化从初始系统得到的，．因此，如果系统(4．13）承认对称性（4.8)，然后是系统(4．17)接纳以下改造组: 和．再一次，如果其中一个导数不完全消失，则(4.18)为演化方程系统的非局部不变性群(4.16）.

系统非局部对称性的计算方法(1．1)产生那些潜在的非局部对称，因为选择了非局部变换先天的．允许非局部变换由所研究系统的对称群来确定，得到了构造非局部对称的更一般的算法。

让演化方程组(1．1不变的- 二维谎言对称代数．然后，以下过程可用于构建（）的非识别对称性1．1）.

程序。(的非局部对称的分类1．1）（1）计算不相等代数中的代数．(2）选择那些代数中，包含基本要素表格(4．12）.（3)对于每一个人构造功能独立的不变量，然后进行变量替换（4)消除“旧”依赖变量从(4.20)来推导对称群变化方程变换系统的影响。（5）验证列表中至少有一个函数这取决于对于一些．如果是这样的话，那么为的非局部对称3．11）.

5.结论

本文的主要结果之一是定理3.1说明演化方程式系统的任何可能的对称性(1．1)通过适当的因变量和自变量的非局部变换简化为李对称。所讨论的非局部变换是局部变量变换的叠加因变量的非局部变化转换的显式形式(5.1）由相应系统允许的Lie对称定义（1．1）.

作为副产物，我们得到了系统的详尽表征(1．1)，可以用守恒定律的形式表示，用保留时间变量的李对称表示，，（见定理2．3和2．4）.

节4，我们概括了上述推理，以获得不是潜在的非局部对称性。基本的想法正在取代（5.2）具有更普遍的非本体转型。该转换是通过在研究中的系统的LIE对称代数的不变性确定的。

我们打算在未来的出版物中致力于非线性演化方程系统的非局域对称性的系统研究(1．1)在本节所发展的方法框架内4．

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