组合在其真空

文摘

我们简要地回顾一个算法策略,探索其确定的景观真空,在紧光滑比丘与矢量束三倍。比丘三倍是代数实现超曲面在复曲面的品种,和一个大的类向量包上构造的单体。寻找的精神标准其空间,强调的整数组合模型项目。

1。介绍

紧的其理论(1,2),其m理论(3- - - - - -7在光滑的比丘三倍)提供一个简单的和令人信服的方式达到在四维超对称性。一个比丘三倍必然承认里奇平坦度规,在那里分别是全纯和antiholomorphic指数。你也打开一个内部测量领域,子代数完整的的减少,导致四维计组换位的。超对称,表字段应该满足埃尔米特杨振宁米尔斯方程: 在哪里是磁场强度有关。虽然不能解决这些方程分析,Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理(8,9),在一个全纯(聚)稳定的包,存在一个独特的连接,解决了(1.1)。

所以每个其空间有两块:一个比丘三倍和一个全纯稳定向量包在其上。研究的详细几何,然而,不是一件容易的事。首先,我们甚至不知道比丘三倍的里奇平坦指标。不久将会看到,幸运的是,事实证明,真空的拓扑已经决定了四维有效理论的许多有趣的特性。

为了让其模型是“标准”,他们必须产生正确的计组,,可能是一个额外的因素,以及正确的光谱光粒子三代。首先,选择和群的结构减少四维指标组和分别在大统一的观点是可取的¹。然后光粒子产生分支的伴随的成,光谱是由各种bundle-valued上同调的比丘三倍(2),如列于表1。当然,仪表组应该进一步分解为一个标准和离散Wilson-lines使用,是否曾经存在,第二个打破。

在本文中,我们将使它清楚的建设标准其空间变成一个离散的整数组合系统。具体来说,比丘三倍torically构建和描述的组合反射性的晶格多面体(10]。²接下来,单孢体矢量包(11)将建造在其上,相当于打开内部测量通量比丘三倍)。

本文的其余部分的结构如下。在接下来的两个部分,我们打下基础,解释了基本的数学工具来描述其真空。接下来,节4,进一步将对内部几何约束,这样产生的四维有效理论模拟标准模型。我们将总结部分5总结和展望。

2。复曲面的比丘三倍)的建设

后不久,著名的7890比丘三倍都意识到完成十字路口multiprojective超曲面的空间(12- - - - - -16),Kreuzer和Skarke分类产生的比丘三倍codimension-one超曲面在复曲面的四倍,组成一个更大的数据集(17- - - - - -19]。这个建设,首先提出Batyrev [10),包括一个广泛使用的复曲面的几何图形。在这里,我们不打算通过任何方式给复曲面的几何教学的介绍。这个主题的细节感兴趣的读者也提到数学文本(20.- - - - - -23)或优秀,介绍评论物理学家(24,25]。

2.1。环境复曲面的四倍

比丘的三倍是嵌在复曲面的四倍超曲面和,因此,我们将从这些环境的描述复曲面的品种。一个环面的四倍是称为组合所描述的数据风扇在,这是一个凸的集合视锥细胞在与他们共同的顶点在原点。然而为了比丘从属品种,每个球迷都是不合适的。我们首先定义一个特定类的凸多面体在,其中一种特殊的粉丝。

这里的多面体认为必须包含原点独特的室内格点和所有的顶点必须躺在晶格。这样的多面体被称为反射性的。它可以表明,对于一个给定的反射性的多面体在,双多胞形定义为 格也有它所有的顶点,就像最初的多面体所做的事。这种双重多面体,我们可以把一个集合的凸锥的脸,形成了球迷对我们的复曲面的四倍。

现在,随着建设从给定的扇入复曲面的四倍,几个等效方法是已知的。什么是最适合我们的目的其中考克斯的homogenous-coordinate方法26),一个复杂的齐次坐标是关联到每个维锥的粉丝。因此,如果风扇边,然后有齐次坐标为。下一个任务是识别某一测量零子集的这应该被删除。让是一组不跨越任何锥的边缘,让粉丝通过设置定义的线性子空间。现在,让子空间的结合等所有的。然后,建造商的复曲面的四倍由以下行动: 的系数是由线性关系在边缘。因此,形成一个这通常被称为矩阵费用矩阵(27]。识别规则(2.2)可以合法写成 注意,建设环面的四倍(2.3)对这一自然的射影空间,最简单的复曲面的四倍,在这种情况下和;也就是说,

2.2。比丘三倍

一个比丘超曲面的复曲面的四倍以简单明了的方式构造不需要任何进一步的数据:只要多胞形是反射性的,它还定义了。注意,在这种情况下,也是一个反身多面体自。一个反身多面体在,我们可以把一个家庭的比丘三倍)定义为消失的多项式形式的位点 在哪里是齐次坐标的相关的网格顶点的和数值的复杂结构系数parameterising吗。

其紧要求紧凑的比丘光滑的三倍。然而,复曲面的四倍由(2.3)通常熊奇点和他们通常下降到超曲面了。为了使非奇异的,我们部分desingularise这样超曲面可以避免奇点的环境空间10]。这个过程对应于呈三角形(双)多面体在一种特殊的方式,称为一个MPCP-triangulation。³

至于统计,共有反射性的多面体已经被分类(17- - - - - -19),每一种都产生一个复曲面的四倍以及一个比丘三倍的家庭。事实证明,只有124的描述光滑流形,不需要MPCP-triangulations。

3所示。单轴矢量束的建设

物理文献中,特别是在其字符串现象学的背景下,建设矢量包一直试图在几个方面。它们包括光谱覆盖建设(28- - - - - -34),包的扩展(35- - - - - -37),及其混合物(38]。他们中的许多人,这是必不可少的基础3倍torus-fibration结构。另一方面,单孢体建设(11)不承担任何额外的结构和被证明特别有用算法扫描大量的矢量包(39- - - - - -43]。

一个单孢体矢量束本质上是两个惠特尼的商的线包。更准确地说,一个单子包在一个比丘三倍被定义为短的序列形式 在哪里和是整数向量的长度代表第一个陈省身被加数线包的类和。包是一个全纯包, 的排名是。

从(3.1),一个可以容易读出的陈氏示性类: 在哪里代表了谐波形式,定义的三重相交数字吗 和是4-forms装饰的双重基础Kahler发电机吗,对偶关系 我们可以看到从(3.3),的陈氏示性类只依赖于整数参数和,以及拓扑流形的基地。选择一个适当的射在定义序列(3.1)对应于更精确不变量的优化。

4所示。对标准模型

部分2和3表明,真空拓扑基本上是描述晶格顶点和整数参数,两者都是离散和组合。人能因此试图构建其空间的算法。Torically构造比丘三倍)形成一个数据集的反身多面体格所代表的顶点,和单子包是探索在每个基地集合管的不同整数参数。

4.1。现象学在空间约束

与几何约束到目前为止解释说,一个只能保证正确的数量的超对称性较低的能量,也就是说,在。因为字符串现象学的目标是获得超对称版本的标准模型,更应该进一步实施标准真空。为了让事情更清楚一点,我们强调本文的术语“标准”模式将意味着以下:(我)下规范不变性,可能是一个额外的因素;(2)夸克和轻子的三代,没有外来植物;(3)取消其异常。

在这里,我们将上述三个现象学约束转化为真空拓扑上的条件。

以下4.4.1。计组

节中解释1,结构组可见部门包坐在和它的换位成为低能耗指标组。为了获得和,一个人必须选择和,分别。特别是,包的排名应该是4或5,因此,(3.2), 在哪里和两个向量的包在定义序列(3.1)。更重要的是,自组织结构应该是“特别”的统一,第一个陈氏示性类的是消失。由(3.4),这对应于 在哪里和是元组整数标签被加数线包,因此,parameterising单子。

我们仍然需要打破肠道组进一步下降到一个标准,这第二次打破需要-Wilson-lines。然而,鉴于torically比丘三重构造的观察,大多数有一个微不足道的第一个基本组(44),他们必须商freely-acting离散对称,这样我们可以打开相应的威尔逊。因此,我们最终将不得不寻找一个离散对称群这行为自由和商空间,然后有一个非平凡的第一个基本组。

4.1.2。取消其异常

其模型需要满足一个众所周知的异常条件。到目前为止,我们只提到一个全纯矢量包可见部门但理论另一个包隐藏的部门。其空间也可以有five-branes M5-branes是谁的强耦合的起源。为了保持四维洛伦兹对称,他们的世界卷必须沿着外部闵可夫斯基伸展。剩下的两个维度应该包装全纯两个周期为超对称性。因此,与这两个相关的同源类周期必须有效的因此,属于Mori锥。换句话说,对应的四种形式必须属于中相应的锥。

在这个最一般的设置,其异常取消强加一个拓扑约束相关的比丘三倍),这两个矢量包,five-brane类。当异常条件可以表示,在上同调的水平, 在哪里是five-brane类的总和。请注意,本身也应该属于Mori锥因为所有的加式做的。然而,在我们的讨论,没有提到第二包隐藏的部门,我们假定一个微不足道的包。因此,异常约束(4.3)表示,是有效的。

4.1.3。粒子光谱

表1显示了低能粒子光谱确定各bundle-valued上同调群。假设是一种稳定的包⁴意味着,因此,获得三网一代又一代的夸克和轻子,我们必须有 在Aiyah-Singer指数定理(45)已被应用于微分算子在和离散对称群的顺序吗,我们将不得不商“楼上”三倍。

4.2。离散系统标准真空

在本节中,我们简要地总结到目前为止讨论的模型要求。(我)比丘三倍:一个反身多面体描述了一个比丘三倍。在电脑包触须(46),通过插入晶格的顶点的列表,或等价于相应的“重量系统”(18),一个人可以获得所有的拓扑不变量有关其紧化。(2)单轴矢量包:整数向量和的长度,每个标签线包被加数,parameterise单子包。(3)标准约束:内部背景也受到标准现象学。事实证明,给定一个比丘三倍,即固定拓扑的,单轴参数和必须遵守学位的代数方程0,1,2,3所示表2。

注意,整数组合小度的代数约束下形成了一个简单的离散系统为标准其真空。然而,这个系统的真空还远非有限。首先,没有上限和计算单轴参数的数量。启动前的探索景观,一分之一需要添加更多的约束使系统有限和那些额外的约束相关最好是首选的现象学。现在,如果在(线包加式3.1)是足够的,或者说等价于,如果所有的单子参数和是积极的,⁵然后,通过Kodaira消失定理(45,47),上同调群消失,因此,低能有效理论获得没有antigenerations。当然这是一个首选进而特性,尽管不是必要的。我们所说的单子积极的如果只有parameterised正整数semipositive如果所有的参数都是正面或零。其次,人们还可以限制这些单子的相对大小参数,以便每个条目的向量可能是负的,所有和。在这种情况下,我们会把单子通用的由于单子地图在(3.1),认为是一种矩阵多项式的,一般可能有非零的所有条目。

4.3。探索一个地区的景观

至于第一步,一个能想到的探索通用的,积极的“小”类单体的比丘三倍。就像提到的部分2.2,总torically比丘三重构造数据集太大,完全掌握。因此,在最初的阶段,那些“平滑”环境空间第一个被认为在5亿(40]。事实证明这些的集合管,通用的,积极的单体数量是有限的约束下表2和标准真空确实被分类,导致61个候选模型。

根据这一经验,一个人可以变得更加雄心勃勃的和延长真空搜索,bundle-wise和Calabi-Yau-wise。首先,积极条件有点放松,通用,semipositive单体一直探索在相同比丘三倍(40]。标准的真空与这种类型的单体,形成一个无限的类,,因此,他们一直在探索下一个人工上限单细胞生物参数,导致85年的模型。其次,该计划也被扩展到包括单数和小环境集合管(41]。总共霍奇torically构造比丘三倍的数量的,通用的,积极的单体分类上,引起新的候选模型。

5。总结与展望

在这篇文章中,我们已经讨论了一个系统的方法对标准其真空。提出的算法确实被实现在一个电脑包48]。简单的整数组合其空间的本质特征,这种方法易于管教的计划。是出于一般观察任何精心挑选的单一模型很可能失败的详细结构标准模型。因此,项目的精神是获取大量的标准模型,之后进一步约束应该实施完善的候选人,最终达到“真正的”标准模型(s)。

复曲面的几何图形的组合已经宝贵的建设环面的环境四倍,比丘的三倍已经嵌入超曲面,并计算拓扑不变量与四维现象学。光滑环境四倍一直视为起动器(40),和一般环境四倍也被处理(41通过部分解决奇异性,如果他们承担任何,所以超曲面的光滑比丘三倍是保证。在这两种情况下,通用的,积极的单体(和一些semipositive也在前)一直在标准条件下探测。我们因此获得了一组候选模型,异常的自由和有机会产生三代夸克和轻子没有任何antigenerations。

保证这些候选人的三代的性质,进一步研究离散集合管的对称性是至关重要的。布劳恩最近分类自由小组行动完成十字路口比丘三倍multiprojective空间(49),他的算法在原则上可以全面复曲面的情况。构造上的线丛上同调torically比丘三倍也模型构建的重要组成部分。的起点是工作上同调的复曲面的品种,已被调查的数学和物理学文献[23,50- - - - - -52]。实践这些信息转化为线丛上同调的超曲面是一个有益的工作单子束,其沿线的字符串。至于完成详细的粒子谱,上同调的单体在不同表示也透露。

承认

作者感谢杨辉他和安德烈·卢卡斯协作和劳拉安德森和詹姆斯·格雷讨论项目,本文是基于。他特别感谢马克西米利安Kreuzer,去世的协作工作的一部分了,宝贵的信件和建议。

尾注

1. 选择也产生了肠道模型。然而,他们有一种内在的麻烦doublet-triplet分裂的希格斯粒子多重态(看,最近的一个例子,39),因此,我们不会解决这种类型的模型。
2. 在代数几何,比丘三倍,一般来说,意识到完整的十字路口的超曲面环面的品种的尺寸大于或等于四,但本文只会处理single-hypersurface病例。
3. MPCP是最大的短、射影crepant和部分。据说一个三角最大如果所有的格子点多面体,射影如果卡勒锥的解决多方面的有一个非空的内部结构,和crepant如果没有点外的多面体。在实践中,所有可能MPCP-triangulations搜索给定反身多面体的计算机程序包触须(46]。
4. 测试包的稳定性确实是我们的模型建设的关键步骤之一。然而,它不是一项容易的任务,以检查是否一个给定的包是稳定的。所以,我们的策略是首先利用一些稳定的后果,然后检查有效性故事的最后。本文聚焦于离散空间的组合,我们不会说更多关于稳定性的问题。
5. 更精确地说,Kodaira消失假设向量和躺在卡勒锥。以防Kahler锥不配合积极的地区,你可以重新定义的标准基向量卡勒锥发电机。然而,为此,锥发电机应该形成一个线性无关的基础,因此,我们隐式地限制自己的比丘这种类型的三倍。

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