圆簇上同调的计算工具

摘要

总结了计算环簇上同调类的非标准新技术。摘要在介绍了环几何学的基本定义和性质之后，讨论了确定环簇上线束值上同调群维数的一种具体计算算法。讨论了在弦紧化过程中手性无质量物质谱计算中的应用cohomCalg，其实用程序着重介绍了一个新的目标空间双对其确定字符串模型。

1.介绍

某些上同调群的计算是弦模型构建的关键技术步骤，与之相关的是，例如，确定(手性)零模谱或有效四维理论的部分，如汤川耦合。常见的方法常常试图通过一系列同构关系将手头的计算与已知的结果联系起来，以避免大部分从头开始的繁琐计算。谱序列是处理这类问题的既定技术，但往往很快就变得费力。因此，要想取得进展，拥有合理有效的算法是至关重要的。

四维空间中的超对称性对弦紧化的几何可容许性有很强的限制。在没有额外的背景通量(除了一个规范通量)的情况下，这导致了Calabi-Yau类流形，其中特别感兴趣的是超对称是卡拉比丘的三次和四次。根据atiya - singer指数定理，手性也可以通过开启一个非平凡规范背景来实现，它可以被理解为流形上一个非平凡全纯向量束的曲率。大多数已知的Calabi-Yau流形是基于环面几何的。特别地，它们被构造为环面变种超曲面的完全交点。然后可以用不同的方法来描述向量包，其中最常用的是三种方法（1）单子结构，自然地出现在()测量线性sigma模型，（2）给出了具有结构群SU的稳定全纯矢量束的谱覆盖结构在椭圆纤维的三层卡拉比丘上（3）通过延伸的结构，这是膜重组的自然对等物。

这三种结构都有一个共同点，那就是它们都以这样或那样的方式涉及线束。例如，单子是通过线束的惠特尼和序列定义的，而-fold光谱覆盖还配备了一个非平凡的线束，通过傅里叶-向井变换给出了一个SU向量束在Calabi-Yau流形上。因此，每一个上同调计算的基本起点是环域簇上的线束值上同调类的知识。

使用一个简单而强大的算法，我们可以计算线束值的上同调维数基于Stanley-Reisner理想中的信息的任何toric品种。科祖尔复形允许将环面簇上的上同调与超曲面或完全交点上的上同调联系起来。该算法的特殊形式还允许轻松处理这种几何图形上的有限群作用，即考虑轨道折叠空间和扭曲的弦状态。

本文组织如下。节2介绍了一些环面几何的基础知识，包括斯坦利-赖斯纳理想和环面扇形。部分3.介绍了将贯穿全文的环簇上同调群维数的计算方法。部分4展示了如何处理有限群作用和由此产生的商空间。节5引入了Koszul序列，使环境簇的上同调与超曲面和完全交点的上同调联系起来。本节介绍了单束结构和欧拉序列6．节7我们将演示如何计算一个()模型，其对偶于()模型。报纸关闭在Section8并简要展望潜在的进一步应用和发展。

2.复曲面的品种

环面几何最重要的一个方面是能够从纯组合的角度来理解它，这非常适合由计算机来处理(见[1- - - - - -4)。环面几何也与测量的线性直接相关物理模型(GLSMs) [5］．在一个更基本的概念上，环簇是由齐次坐标系组成的射影空间的推广以及投影关系 的为和GLSM的指控，也就是阿贝尔的指控(1)装药在关联的GLSM中，并对应于投射权值。与射影空间直接比较，可以将环面变化描述为由于使用多个射影关系而不是单一射影关系而产生的。因此射影空间的特殊情况对应于在上面的符号中。

齐次坐标成为= ()和Fayet-Iliopoulos参数可解释为几何空间的Kähler参数。这个参数空间然后分为由于与GLSM相关的d -项消失了。在每个锥内可以求解d -平坦条件，锥对应于几何Kähler锥。每一个这样的锥体通常被称为一个几何相位，并且可以由一组坐标集合来完全描述 它们不允许同时消失。请注意，此类集合通常以产品形式编写;也就是无平方项完全指向同一个集合。所有这些构成了斯坦利-赖斯纳理想 它可以等效地用于唯一地指定一个几何相位。请注意，Stanley-Reisner理想是无关理想的亚历山大对偶用于数学文献中。

给定GLSM电荷和Stanley-Reisner理想来识别几何相，圆环变化的维度可以被描述为陪集空间吗 在哪里被移除点的集合是由SR指定的吗通过 这组是否可以理解为在射影空间中移去原点的环面推广这是斯坦利-赖斯纳的理想选择就是所有坐标的集合。

一开始提到的关于环面几何的组合观点是用环面扇形、锥形和三角形来表示的。在这种语言中，几何相位对应于一组晶格向量的三角剖分扇子的跨度．GLSM指控以……的形式重新出现线性关系 通过关联晶格向量到齐次坐标，很明显，线性关系(2．6)之间编码投影等价(2．1)之间的齐次坐标。在扇子的语言中，Stanley-Reisner理想由所有的坐标不包含在环面扇子的任何锥中的无方单项式组成．

3.线束值上同调群的维数

给一个toric变种还有一个线束，一个常见的问题是计算值上同调群维数为．在[6，7],在[8一种全新的确定…的算法提出了。这后来在[9和独立地在[10］．

下面给出的计算算法的几何输入数据是GLSM费用以及Stanley-Reisner理想发生器．该算法的基本思想是计算单项式的数量，其中总GLSM电荷等于的除数类，它是指定行束的除数．这些单项式的形式受到Stanley-Reisner理想的高度限制，即结构越简单，计算就越容易。

更准确地说，负整数指数只适用于包含在Stanley-Reisner理想生成器子集中的那些坐标。因此，最经济的方法是在第一步就确定一组无平方单项式它来自于任意子集的坐标系的并．每一个给出一组负指数的坐标有一个相关的权重因素它指定了哪个上同调群的维数单项式的个数GLSM电荷的贡献。上同调群维数公式可以总结为 其中，其和范围覆盖从Stanley-Reisner理想生成器的并可得到的所有无平方单项式。在本节的其余部分中，两者都有和将被正确定义。

3．1.多重因子的计算

多重因子由中间相对同源性的维度来定义。让的一组索引产生Stanley-Reisner理想的无平方单项式。然后，对于每个子集 发电机,是由每个生成器中所有坐标的并产生的无平方项的子集。

相对复杂的构造,的定义，如下所示。从完全单形开始，只提取这些子集与；即考虑Stanley-Reisner理想生成器的所有可能组合，它们的坐标统一为相同的无平方单项．对于一些固定，则定义的集合维的脸复杂的,也就是说, 此外,让是有基向量的复向量空间为．相对复杂的 在哪里是尺寸−1的面，然后由链映射指定 一个基向量消失,如果的元素删除不包含在．此外，sgn定义为当是th元素当按递增顺序书写时。

同调群维数 然后提供决定哪个上同调群的多重因子与之相关的单项式贡献。应该强调的是只取决于环面变化的几何形状(斯坦利-雷斯纳理想)而不是在线束上，也就是说，对于每个几何图形，多重因子只需要计算一次。

３．２．计算单项

计算多重因子后，剩下的就是计算相关单项式的数量。算法的第二部分依赖于齐次坐标的GLSM电荷和特定的线束．让还是一个无平方的单项。为了简化符号，设是一个重新标记的指数，使第一个产品坐标为．然后考虑这种形式的单项式 在哪里和单项式(不一定是无平方的)和指数一样吗．显然可以找到无平方单项的坐标在分母上，而它们的补数在分子上。根据特殊形式的相关单项式进行定义 它计算与除数具有相同GLSM度的相关单项式的数量它指定了行bundle．

3．3．Step by Step示例:del Pezzo-1 Surface

为了详细说明工作算法，我们考虑了del Pezzo-1曲面。其环面数据如表所示1为了方便读者。两个Stanley-Reisner理想生成器产生了四种可能的组合，它们在计算中变得相关，即: 计算这些无平方单项式的多重因子得到 以及所有其他空间消失。在计算了同源性之后，这导致了单项式的下列贡献(3．7)到上同调群: 考虑计算．由于GLSM的所有电荷都是正电荷，所以对．同样的，分母的一项贡献已经有GLSM电荷(3,2)，它“超过”目标值，因此也没有贡献。也不好，但是完全吻合，所以只有一个贡献

上面提到的计算上同调的所有步骤都可以在一个高性能的跨平台软件包中方便地实现cohomCalg［11］．

4.有限群作用的等变上同调

由于由算法计算的相关单项式的显式形式，我们可以考虑一个相当简单的推广，也将有限群的行为考虑在内[12，13］．在定向折叠和轨道折叠设置中，时空的内部部分通常由作用于“楼上”几何的离散对称来指定。这就引出相应的上同调群的分裂 的生成环在对称性下既可以是不变的，也可以是非不变的。还需要指定在上层几何上定义的束上的诱导作用。

所谓的等变结构将基底几何上的作用提升到束上，并保持群结构。事实上，对于一般群体来说，每组元素导出对合映射在基底几何上并具有相应的隆起这必须与bundle结构兼容。这就是这个图表(4.2)交换,结构如果保持群结构，称为等变结构，也就是说，如果保持这样的映射是群同态。

等变结构的选择提供了有限群如何作用于相关单项式的方法(3．7)由算法计算。对于给定的行束，则必须检查所有单项式在诱导作用下是否不变。以bundle为例在和行动 在基底坐标上。同样的作用用于单项式，因此它定义了等变结构。该算法的相关单项式然后从对合中提取以下值: 这样遵循。这给出了商空间的上同调(4．3）.

这种算法的强大推广举例来说，允许计算非扭曲的物质谱在异源轨道折叠模型或(部分)瞬态零模谱的欧几里德d膜瞬态在II型定向折叠模型(见[14]用于具体应用)。

5.Koszul复杂

在大多数弦理论的应用中，感兴趣的几何不是环面变种本身，而是被定义为其子空间。它们被定义为具有一定度数的超曲面的完全交。为了联系环簇的上同调对于子空间的上同调，利用了Koszul序列。

使这篇论文自包含，因为它已经实现在cohomCalgKoszul扩展包，让我们简单描述一下它是如何工作的。让是一个不可约超曲面，让的全局非零部分,这样．这就引出了一个映射和它的双，后者可以证明是单射的。给出一个有效的除数 所有，有一个短的精确序列 叫做科祖尔序列。在这里是麦捆的商吗全纯函数的由所有的全纯函数至少按序消失沿着不可约超曲面．这允许治疗作为除数上的结构束，有效地识别了层上同调与．所涉及的映射的正确定义可以在[15］．除了平原科祖尔序列(5.2)，还有一个扭曲的变体 通过张紧(5.2)与线束．诱导的长精确上同序列

然后允许将环面簇的上同调联系起来直接到超曲面的上同调。

给出几个(相互横向的)超曲面的更一般的情况，可以通过广义Koszul序列计算完全交点上的上同调 与超曲面序列相比，这不再是一个短的正合序列，因此在上同调中不会产生长正合序列。一种方法是通过谱序列技术，它允许一个人在完全交集上计算想要的上同调类。然而，对于我们的实现，我们决定采用不同的方法。我们把这个长序列(5.5)分成若干短而精确的序列使用几个辅助的层： 上同调的单独诱导长精确序列可用于步进计算，它是完全交点上的上同调．

6.向量束的单子构造

在我们开始在构建杂种优势弦模型的具体应用之前，让我们通过所谓的单子来构建全纯矢量束。这种结构直接出现在() GLSM描述，可以认为是环簇中完全交集的切线束的推广。

鉴于(2．1)时，切线束可定义为商序列的 单个线束被限制在完全交叉的地方．得到的向量束的秩为．使用到目前为止提出的方法，很明显，它们允许计算上同调类的维数，其中长精确序列集的初始输入数据是环面上的线束值上同调类。

(0,2) GLSM推广了这一点，即左移世界表费米子对的捆绑不再是Calabi-Yau的切捆绑，而是一个更一般的全纯(稳定)向量捆绑，它类似地通过线束的惠特尼和序列来定义 的排名是．这些指控和必须满足异常消除条件吗 在哪里，表示对应于的分量GLSM的行动。这种结构最微妙的问题是证明稳定。然而，应该清楚的是，除了单子结构提供了大量的杂种优势()的背景，以及到目前为止所描述的方法对于确定由向量束值上同调类的维数给出的零模谱确实是泰勒式的．

7.一个(模型对偶于()模型

现在让我们展示一下具体的杂种优势()模型，对此我们首先回顾几个问题。理论自然配备了一个计理论。其中的一个可能会被认为对现实世界是无形的，因此只有一个仍然存在。现在全纯向量束被赋予了一个特定的结构群这打破了变成了GUT组。剩下的GUT组则仅仅是在．根据我们对什么类型的GUT组感兴趣，我们可以选择结构组SU(3)， SU(4)，或SU(5)到， SO(10)或SU(5)。

为了得到GUT群不同表示下的零模数，我们需要计算包含全纯向量束的上同调类[16］．所有三个GUT组的向量束上同调与零模的精确相关性见表2(有关杂种优势理论的粒子谱的一个很好的综述，参见，即[17])。

在这种框架中出现的模是由Calabi-Yau流形的可能变形给出的，这些变形是由Hodge数计算的 以及可能的束的变形，即束的模，它是由自同态束的上同调的维数来计算的的．此外，可以证明 这就简化了它的判定。在标准嵌入的情况下，向量束是简单的切线束，因此具有SU(3)结构和规范组．许多向量束可以使用单轴来构造，通过将向量束定义为复向量(6．2）.仅使用此复杂结构，就可以使用表中所示的结构组构造包2，因此计算所有这些上同调简单地归结为计算线束上同调在完全交点上。另一方面，这可以是相关的，使用Koszul序列(5.5)，到线束在环上的上同调。

下面我们给出一个由所谓的目标空间对偶性所关联的一对异源模型的例子[7，18，19，源自于[20.］．第一个是a模型而第二个被称为，是典型的配备了一个假定是稳定的SU(3)-bundle。

让我们从一个例子开始，在这个例子中，我们已经可以看到结构的大部分，但不是太复杂。考虑 由于这个配置是奇异的，我们必须通过引入一个新的坐标来解决它。这将产生表中所示的平滑配置3.，导致了以下的切线包单子:(7.4)其中科祖尔序列(5.3.)也必须应用。使用cohomCalg Koszul扩展，我们可以得到该模型中手性谱的零模数以及模空间的维数: 在这种情况下，读者应该记住什么就是切束。双()模型的几何形状可以确定为表中的数据4，其单子由序列指定(7.6)此配置满足以下条件(6．3)，得到如下拓扑数据: 与数据(7．5)可以看出，手性谱中的零模数没有变化，即使各霍奇数及其和不同，但全模空间的维数不变。

这是一种迄今为止只有非常不了解的摄动的表现的目标空间对偶性四维空间中的超对称性。

8.前景

到目前为止，在构建弦模型中计算方法的大多数实现都是基于环面几何[21]，特别是Batyrev和Borisov的组合公式[22- - - - - -24］．当然，也有通用的代数几何软件工具，如[25- - - - - -27］．显然，这些功能非常强大，但也有其局限性。首先，它们只适用于()，其中向量包与切线包相标识。其次，对于完全交点，组合公式仅适用于所谓的nef分区，以确保表示空间的相应多边形是自反的。

本文中回顾的计算工具也可以应用于其他包失败的情况。如前所述，taylor还提出了确定线束值上同调类维数的强大算法，用于处理一般的完全交集和()模型，其中向量束是通过线束定义的，例如，单子结构或光谱覆盖结构。

当然，还有算法的实现cohomCalg有其局限性。首先，在皮卡德生成器的数量(投射关系，由)变得很大(大约10个数量级)，计算变得太复杂，程序太耗时。第二个缺点是计算时间随着Stanley-Reisner理想发电机数量的指数增长，目前大约40个发电机需要几个小时。第三，如果在众多的中间长精确序列中没有足够的零，结果就不是唯一的，因此必须手工确定映射的核像。

请注意，还有麦考利2包[3.，可以作为本文算法的一种替代。初步测试表明，它似乎能够处理高皮卡德秩和大量斯坦利-赖斯纳理想生成器的几何图形，但对于简单几何图形，cohomCalg似乎更快了。需要进一步的研究来充分评估[中实现的两种算法的优缺点。28和本节中描述的算法3.．也看到[29,道具。4.1]。

承认

作者想要感谢Helmut Roschy的贡献，他的原始工作提出在这篇论文。

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