模糊逻辑与经典逻辑:乘法理想理论的一个例子

摘要

我们通过展示一个例子来讨论一个模糊结果，这个例子显示了当一个人从经典逻辑过渡到模糊逻辑时，经典论证是如何失败的。确切地说，我们提出一个例子来说明，在模糊的语境中，“至”自然地被用来代替“并”这一事实可以改变一个在经典语境中可能有效的论点。

1.介绍

Rosenfeld在1971年写了一篇关于模糊群的论文，是第一个引入模糊代数的经典代数家[1］．模糊群体的引入促使一些研究人员将他们的兴趣转移到扩展Zadeh的开创性工作[2]关于环、模等代数结构集合的模糊子集[3.- - - - - -7］．在这方面，李和莫德森[3.，4]引入了分数模糊理想的概念和分数模糊理想可逆的概念，并利用这些概念根据某些分数模糊理想的可逆性来刻画Dedekind域，导致了乘法理想理论的一个主要结果的模糊化。为解决乘法理想理论的模糊化而引入的其他重要概念是模糊星形运算的概念[8和模糊半星运算的概念[9，10在积分域上。摘要本文讨论了交换代数中乘法理想理论的模糊化问题。1，3.，5，8- - - - - -11])。

在交换环领域中，星运算不仅是对经典域的推广，而且是对经典域的共同处理和更深层次的理解。其中一些例子是Prüfer的概念-乘法域，它概括了Prüfer域的概念[12和概念-完全整体封闭域，它推广了完全整体封闭域的概念[13，14］．经典理论中恒星运算的重要性使得学者们对[8，并将其推广到[10];这种推广使得乘法理想理论的主要结果更加模糊化。

在这篇笔记中，我们集中讨论乘法理想理论的一些经典论点，它们在模糊的背景下是不成立的。所选的例子是为了推断，在古典逻辑的背景下看起来相当简单甚至相当容易的东西，在模糊的背景下可能不正确。因此，模糊化的一个挑战是检测任何缺陷或不协调的陈述，可能首先看起来是良性的，但在用于证明模糊陈述的论证中是真正的毒药。准确地说，在我们的例子中，我们展示了在模糊背景下的自然定义如何使它比等效的经典定义更具有挑战性。对于模糊子模块、模糊理想和(有限字符)模糊(半)星型运算的所有定义的概述，读者可以参考[8- - - - - -10，15］．

2.预赛和符号

回想一下积分域是一个恒等式和非零因数的交换环。因此，它的商环是一个字段。一组是一个-模块如果有映射，，满足以下条件:；；和对所有和式中，1是恒等式．注意商域积分域的是一个模块。一个-子模块 一个模块的子群是这样对所有和．有关积分域和模块的更多资料，读者可参考[7，15］．还记得吗星操作在是一个映射的成这样，对所有人来说和所有，(我) 和；(2) ；(3) 和．有关星型运算的概览，读者可参考[15,部分和］．

一个模糊子集的是进入实闭区间．我们说如果对所有．的十字路口 模糊子集的集合的定义为和联盟 模糊子集的集合的定义为对于每一个．让；然后,被称为水平子集的．我们让表示子集的特征函数的．的模糊子集是一个模糊子模块的如果，,,每和每一个．注意一个模糊子集的是一个模糊子模块的当且仅当和是一个子模块的对于每个实数在．让的模糊子集定义如下在,如果和否则。我们称之为一个模糊单例．一个模糊子模块的是有限生成如果由有限模糊单例生成;也就是说，它是最小的模糊子模块的包含那些模糊的单例。在这篇文章中,表示所有模糊的集合子的和表示所有有限生成模糊的集合子的．

定义1(见[9])。一个模糊semistar操作在是一个映射，，它满足以下三个属性,：（ ） ；（ ） ；（ ） 和．

记得从[9那是一个模糊的半星操作在是工会的保护如果．注意union的保存是在一个可数集上。现在，定义一个映射从成如下: 然后,如果保留并集的模糊半星操作对吗,然后是模糊半星操作吗［9,定理］．这导致了下面的定义。

定义2(见[9])。让是一个模糊的半星操作．(1）如果是模糊半星操作吗,然后被称为关联的有限字符(或有限类型)的模糊半星运算 ．（2） 被称为有限特征的模糊半星运算如果．

例3。从定义上看，很明显；也就是说,何时具有有限的性质是模糊半星操作吗对于任何模糊的半星型运算在．
(2)常数映射也是一个模糊的半星操作上这不是有限的性质。
(3)让表示具有商域的所有整数的集合所有有理数。让为单位区间(注意单位区间是一个完全分布的格)。定义通过 对于任何．然后,是模糊半星操作吗有限性质(读者可参考[9的例子．为了证明这一事实)。

3.模糊逻辑与经典逻辑:一个例子

记得从[9那是一个模糊的半星操作在据说是工会的保护如果．注意union的保存是在一个可数集上。此外，请回忆在[9］．

定理4(见[9,定理])。让是一个保持联合的模糊半星运算．然后,是模糊半星操作吗．

让是一个带商域的积分域．回想一下,表示所有模糊的集合子的和表示有限生成模糊集子的．现在，我们说，我们不能摆脱定理中的假设4因为我们不能用下面经典论点的模糊对应。

3．1.模糊与经典命题

一个经典的论点．让的子模块在,让的有限生成子模块在这样,在那里是经典的半星操作吗．然后,包含在一些与和．这个经典的论证是乘法理想理论中一个著名的简单论证。事实上，假设我们作为一个有限产生的理想．然后,为每个，与和．所以,．现在，利用众所周知的事实和，一个经典的半星级操作在，我们得到．现在,因为每个是有限生成的，是的也是有限生成的，这就完成了证明。

上述经典论证的模糊对应物．让是一个模糊子模块的,让是一个有限生成的模糊子模块的这样,在那里是模糊半星操作吗．然后,包含在一些,和．

３．２．一个反例来否定模糊对应物

现在我们给出一个例子来证明模糊对应陈述是错误的。请注意，为什么对应的词可能是假的，很明显，这一事实是，在模糊的上下文中的联合是最高的。所以，这里真正的挑战是构建一个反例，来清楚地证明论点的错误。

反例．让为例中定义的有限字符的模糊半星运算3.(4):

通过 对于任何．

让表示所有有理数的商域。我们定义(注意单位区间是一个完全分布的格)，我们使用已知的事实是一个模糊-submonoid的当且仅当是一个-submonoid的对于任何和．让被定义为 SGN是哪里的签名功能和的绝对值．这是很容易看到的为和为．考虑一个无限序列子的如下: 很明显,是一个子模块的对于任何,因为和．此外,,每当．的确,,这意味着．然后，我们可以定义对于任何通过 注意,如果对于任何,然后(例如,)．另一方面， 自对于任何(而0是唯一具有此属性的元素)，其结果是．因此,当且仅当．应该注意的是，如果，则存在这样．其实，从定义上就不难看出和那和存在这样(见上文关于收敛的备注到0和1);因此,和．因此,为一个合适的的，因为上界是在一个有限的线性有序值集上计算的。

证明是一个模糊子模块的，让我们先考虑案例和．我们可以简单地检查一下和．如果，则恰好存在一个这样和．因此,每个层次的子集是一个-submonoid的．自，．

现在，让我们考虑一下 在哪里和的定义。把．让我们展示一下．自对于任何,我们有；因此,．为了表示相反的不等式，让不失一般性，让和．考虑为．这是很容易看到的和是有限生成子模块的对于任何．此外,和,在那里．那么，根据定义,我们获得

现在，让我们来证明这个错误的论点。让我们考虑对于一些．很明显,和．根据我们的错误论点，" since "应该是真的是有限生成,包含在有限的多中与和但这是不可能的，因为在有限的众多选择中，任何一种选择都是不可能的我们可以找到(只要考虑……的因素就足够了用于生成这样．

3．3．最后的评论

经典论证的证明之所以成立，是因为涉及到经典并集，允许选择有限生成的子模块的对于每个元素．然而，在模糊对应命题中，模糊并集是用上限值来定义的，而经典论证中使用的证明方法不能应用于模糊语境中，因为清晰并不意味着存在，,．

我们还必须注意，模糊对应性陈述是自然的，它掌握了一些关于语境的思想，在这种语境下，清晰的结果可以被扩展。实际上，模糊星型运算保持并的条件是，，在模糊情况下并不总是成立，在清晰情况下不需要得到经典的有限字符半星型运算。这个模糊星型运算保持并的附加条件将使我们的模糊对应命题成立。

相互竞争的利益

作者声明本论文的发表不存在利益冲突。

参考文献

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15. r·基尔默乘法理想的理论。更正再版的1972年版，第90卷奎恩的纯数学和应用数学论文，皇后大学，金斯敦，加拿大，1992。

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