模糊约束的概率库存模型，具体取决于梯形模糊数字

抽象的

我们讨论了概率连续审查混合物短缺模型的两个不同案例，当交货时间需求遵循一些不同的连续分布时，具有不同和约束的预期订单成本。第一种情况是，当总成本组件被认为是清晰的值时，另一个情况是成本被认为是梯形模糊数。另外，推导了一些特殊情况。为了研究Crisp情况和模糊情况中提出的模型，添加了说明性的数值示例。从数值结果中，我们将得出结论，统一分布是获得确切解决方案的最佳分布，模糊模型的确切解决方案被认为更实用，更接近生活的现实，并获得最低预期的总成本小于Crisp模型。

1.简介

库存系统是应用科学最多元化的领域之一，在各个领域中广泛使用，包括运营研究，应用概率，计算机科学，管理科学，生产系统和电信。五十多年前，库存系统的分析已出现在参考书和调查文件中。哈德利和怀丁[1]被认为是讨论库存系统分析的最早研究人员之一，他们在其中展示了一种用于分析库存系统数学模型的方法。另外，巴尔基和本克罗夫[2]引入了生产量库存模型，其中产品以恒定的速度恶化，并且允许随时间变化的需求和生产率。库存模型可以是确定性的或概率的，因为商品的需求可能分别是确定性或概率。这些案件是由哈德利和怀丁处理的[1]，Abuo-el-Ata等。[[3]和Vijayan和Kumaran [4]。

一些经理允许库存系统短缺；这种短缺可能是后订单案件，销售案例丢失以及混合物短缺案例。许多作者正在处理各种短缺案例的库存问题，在这些情况下，成本组件被认为是不完全描述真实库存系统的清晰值。例如，Fergany研究了使用拉格朗日方法的有限的概率库存模型，使用拉格朗日方法有不同的订单和短缺成本[5]。此外，讨论了持续分布的受限概率库存模型，而埃尔加尼（Elgany）和埃尔·萨达尼（El-Saadani）讨论6]。在2006年，使用Fergany和El-Wakeel的Lagrangian Method，在持有成本约束下，在订单成本限制下有不同概率损失销售库存模型的连续分布模型[7，，，，8]讨论了。最近，El-Wakeel [9]推导的受约束库存系统在持有成本限制下具有不同订单成本的不同订单成本：使用拉格朗日方法统一分布的交货时间需求。另外，El-Wakeel和Fergany [10]推导了有限的概率连续审查库存系统，混合物短缺和随机提前时间需求。

有时，成本组件被认为是模糊的值，因为在现实生活中，各种物理或化学特征可能会影响成本成分，然后精确的成本特征值作为确切的订单数量，保持成本特征的精确值很难衡量，尤其是短缺。因此，在控制库存系统时，它可以允许成本参数值的灵活性，以便处理始终适合真实情况的不确定性。由于我们想满足对此类矛盾的要求，因此模糊集理论在某种程度上满足了这些要求。1965年，扎德[11]首先引入了模糊集理论，该理论研究了在非构思含义而不是随机变量的存在中适应不确定性的意图。Syed和Aziz [12]已使用签名距离方法检查了模糊库存模型，没有短缺。Kazemi等。[[13]已经用具有模糊参数和决策变量的后订单处理了库存模型。gawdt [14]当提前时间需求遵循伽马分布时，在不同的保持成本限制下提出了一个混合审查库存模型，其中成本被模糊为梯形模糊数字。连续审查库存模型在限制下具有混合物短缺，涉及基于Fergany和Gawdt的概率三角模糊的崩溃成本[15]讨论了。Fergany等人提出了使用拉格朗日技术和模糊自适应粒子群优化的概率定期审查库存模型。[[16]。Kumar和Rajput建立了用于依赖时间的需求和部分积压的因时间依赖的需求和部分积压的模糊库存模型[17]。Indrajitsingha等。[[18]通过使用签名距离方法在完全积压的情况下，给出模糊库存模型。最近，Patel等。[[19]在模糊环境下介绍了连续的审查库存模型，而没有用于恶化的物品。

正如我们之前发现的那样，许多作者研究了具有不同假设和条件的库存模型。这些假设和条件在约束和成本（恒定或变化）中表示。因此，由于库存模型的重要性，我们将在本文中提出和研究，在预期的订单成本限制下具有不同订单成本的混合库存模型，交货时间需求遵循指数级，拉普拉斯和统一分布。我们研究库存模型的目标是最大程度地减少总成本。订单数量和重新订购点是该模型的策略变量，可最大程度地减少预期的年度总成本。我们在两种情况下评估了最佳订单数量和重新排序点：第一种情况是成本组件被认为是酥脆的值，第二种情况是当成本组件被构成梯形模糊数时，这称为模糊情况。。最后，这项工作由数值示例说明，我们将对所有结果进行比较并获得结论。

2.模型开发

为了开发任何库存模型模型，我们需要在符号部分中列出一些符号和假设。

2.1。假设

（1）考虑允许在订单成本限制和短缺下进行连续审查库存模型。（2）需求是具有已知概率的连续随机变量。（3）交货时间是恒定的，并遵循已知分布。（4） 是不满意的一部分，在剩余的部分时将被取消（）完全迷失了。（5）带大小的新订单（当库存级别降至一定级别时，放置）称为重新排序点（）；假设系统在库存位置之间的意义上重复自身和在每个周期中。

3.模型（i）：混合短缺模型，其中成本组件被视为清晰的值

在本节中，我们认为允许短缺的连续审查库存模型。一些客户愿意等待新补给，而另一些则没有耐心。该案例称为混合物短缺或部分替补。

预期的年总成本包括三个组成部分的总和： 在哪里 我们假设订单成本功能变化，订单成本是订单数量的降低功能。然后，预期订单成本由

我们的目标是最大程度地减少预期的总成本[]在预期订单成本限制下，订单成本的变化，需要找到订单数量的最佳值和重新订购点。要解决这个原始功能，让我们按以下方式编写： 我们使用Lagrange乘数技术来获得最佳值和最小化（4）在约束下（5） 如下： 放置每个相应的第一部分衍生物（6）等于零。和，我们分别得到 在哪里 显然，很难找到一个精确的解决方案和的 （7），因此我们可以假设交货时间需求遵循一些分布。

3.1。交货时间需求遵循指数分配

假设交货时间需求遵循参数的指数分布，然后其概率密度函数由 可以通过替换来获得最佳的最佳订单数量和最小化预期相关年度总成本的最佳重订购水平（可以替代（9） 进入 （7）。同时解决它们我们得到 为模型（i）提供了确切的解决方案。

3.2。提前时间需求遵循拉普拉斯分布

如果交货时间需求遵循带有参数的拉普拉斯分布，概率密度函数将是 可以通过替换来获得最佳的最佳订单数量和最小化预期相关年度总成本的最佳重订购水平（可以替代（11） 进入 （7），同时解决它们，我们获得了 为模型（i）提供了确切的解决方案。

3.3。交货时间需求遵循统一分布

同样，假设交货时间需求遵循从0到0的范围内的均匀分布， 那是，;然后其概率密度函数由 可以通过替换来获得最佳的最佳订单数量和最小化预期相关年度总成本的最佳重订购水平（可以替代（13） 进入 （7）。同时解决它们，我们发现 为模型（i）提供了确切的解决方案。

因此，可以通过分别在不同的值以不同的值以不同值的不同值求解，可以从混合物短缺和变化的订单成本中的约束连续审查库存模型的确切解决方案获得和变化直到找到最小的正值才能保持约束为止。

4.型号（i_F）：混合短缺模型，其中成本组件被视为模糊数字

考虑与模型（i）相似的连续审查库存模型，但假设成本组件， 和都是模糊的数字，以控制各种物理或化学特征的各种不确定性，可能会对成本组成部分产生影响。

我们通过梯形模糊数字表示这些成本，如下所示： 在哪里和是任意的正数，应满足以下限制：

相似地， 如图所示，我们可以将订单成本表示为梯形模糊数1同样，剩余成本。

请注意，成员资格功能  在点1和，随着点的偏离而减小和，并在端点达到零和。

左右限制-的， 和给出如下： 根据预期订单成本限制，此案的预期年度总成本以及所有成本组件模糊时的预期总成本可以表示如下： 我们使用Lagrange乘数技术来找到最佳值和最小化（19）在约束下（20） 如下： 我们可以获得左右的形式-模糊成本功能（21），分别如下： 自从和存在并且可以集成，如Yao和Wu [20]， 我们有 我们得到了分类的值  通过使用 （23） 为了 （22） 如下： 在哪里 同样，如模型（i）中，以获取最佳值和将每个相应的第一部分衍生物的每个衍生物24）等于零。和， 分别;我们获得 短缺的可能性是 显然，没有封闭式解决方案（26） 和 （27）。我们可以使用与模型（i）中相同的方式来求解这些方程。

5.特殊情况

（1）放开，，，，和和， 因此，，，，因此 （7）还原为 这是一个不受约束的销售持续审查库存模型，其成本单位与哈德利和怀特汀相同，结果是相同的。1]。（2）放开，，，，和和， 因此，，，，;因此 （7）还原为 这是一个不受约束的背订单连续审查库存模型，其成本单位与哈德利（Hadley）和惠廷（Whitin）相同[1]。

（我）方程式（10）给出不受限制的背订单连续审查库存模型，其成本单位和提前时间需求遵循指数分配，这与Hillier和Lieberman的结果相同[21]。（ii）方程式（12）给予不受约束的背订单连续审查库存模型，具有恒定的成本单位，提前时间需求遵循拉普拉斯分布，这与nahmias的结果一致[22]。（iii）方程式（14）给出不受限制的背订单连续审查库存模型，具有恒定的成本单位，交货时间需求遵循统一分配，这与Fabrycky和Banks中的结果相同[23]。

6.数值示例

考虑具有以下数据的库存系统： 每年单位，  SR per unit ordered,  SR per unit per year,  SR per unit backorder,  SR per unit lost,后订单分数具有值，，，，， 和，，，，让 SR,

并采取

决定和对于以前模型的两种情况，当交货时间需求具有以下分布时：（我）指数分布单位。（ii）拉普拉斯分布和单位。（iii）均匀分布单位。

根据上述数据，我们可以通过在不同的值下求解以前的推导方程来获得所有结果，，，，， 和如表中所示1，，，，2， 和3给出的最佳值和当交货时间需求分别遵循指数，拉普拉斯和统一分布的模型（i）和模型（i）和模型的统一分布时）。

从桌子1我们有在，我们将使新订单数量的10％的背订票；在，我们将使新订单数量的30％的背订票；在，我们将以新订单数量的70％的额订票。

在比较了酥脆的案例和指数分配的模糊案例之后，我们可以推断出最少的获得了。我们可以提取模型的最低预期总成本（）和模型（） 反对对于指数分布如图所示2。

从桌子2我们有在，我们将使新订单数量的10％的背订票；在，我们将使新订单数量的30％的背订票；在，我们将以新订单数量的70％的额订票。

在比较了拉普拉斯分布的清脆案例和模糊案例之后，我们可以推断出最少的获得了。我们可以提取模型的最低预期总成本（）和模型（） 反对对于拉普拉斯分布如图所示3。

从桌子3我们有在，我们将使新订单数量的10％的背订票；在，我们将使新订单数量的30％的背订票；在，我们将以新订单数量的70％的额订票。

在比较了清脆的案例和模糊案例之后，我们可以推断出最少的获得了。我们可以提取模型的最低预期总成本（）和模型（） 反对对于统一分布如图所示4。

7.结论

在这项研究中，我们讨论了在不同的订单成本限制下，当提前时间需求遵循指数，拉普拉斯和均匀分布时，混合物短缺模型的两个案例。我们已经评估了和每个值和这产生了我们的预期订单成本限制，然后通过使用拉格朗日乘数技术获得最低预期的总成本。

通过比较模型的最低预期总成本（）和模型（）在每个分布中，我们可以推断出最少的当交货时间需求遵循均匀分布并等于844.584 SR时，获得了订单数量和重新订购点对于模型（i），而模型的最低预期年总成本（）为634.709 SR，订单数量和重新订购点如表中所示3。这意味着我们可以得出结论，模糊案例中的最低预期总成本小于清脆的情况，这表明模糊性非常接近生命的现实，并且获得的最低预期总成本小于Crisp案例。

对于数值示例的结果，我们注意到增加，增加，因此减少表明减少。

另外，不同的值的不同值导致变化在每个分布中。但是在所有分布中，我们都会注意到由于订单成本的限制，几乎是固定的。另外，我们注意到什么时候增加，减少；这表明可以以最低的成本来满足70％的短缺。

最后，我们的研究特别为进一步的研究和探索提供了足够的范围。例如，我们考虑了不同订单成本限制下的概率混合物短缺模型。可以通过考虑在约束和成本（恒定或变化）中代表的各种不同的假设和条件，例如在两个限制下改变两种成本或在约束下有两种成本或在两个约束下变化的成本变化，可以进一步开发这项工作。此外，我们可以使用系统多技术 - 元素来研究一些库存模型。

符号

：	一个随机变量表示每个时期的需求率
：	代表每个周期订单数量的决策变量
：	代表重新排序点的决策变量
：	放置订单和收据之间的交货时间
：	连续的随机变量代表需求
：	交货时间需求的概率密度函数和（）是其分布函数
：	短缺的可能性
：	每个周期短缺的预期价值
：	每单位订单成本
：	每个周期的订单成本各不相同
：	选择的恒定实际数字可提供估计预期成本功能的最佳拟合
：	每个单位每单位的持有成本
：	每单位短缺成本
：	单位的后订单成本
：	单位销售成本损失
：	预期的年订单成本的限制
：	Lagrangian乘数。

利益争夺

作者宣布，关于本文的发表没有竞争利益。

致谢

该研究项目得到了沙特国王大学科学研究院长“女科学和医学院的研究中心”的赠款。