一个注意凸模糊过程

文摘

我们首先定义的概念凸模糊的过程。第二,我们现在这些过程的一些基本性质。

1。介绍

近年来,也出现了许多概括的凸性文献针对应用对偶理论和最优性条件。1997年,扎和辛格(1]介绍了凸函数,研究了它们的一些性质。他们表明,一些著名的类广义凸函数(例如,B-vex函数(2),测地线凸函数(3),和invex函数(4类的子类)形式凸函数。1999年,尤尼斯(5]表明,许多结果凸集和凸函数实际上拥有更广泛的类集和函数,调用凸集和凸函数。

凸过程研究首先Rockafellar [6)感兴趣的扩展属性的线性变换很大一类地图保存凸性和自然产生的经济理论。

这个模糊的概念框架的扩展是由Matłoka [7,8和被Syau等调查。9和Chalco-Cano et al。10]。

在这项工作中,我们扩展的概念凸集,凸模糊集和凸模糊的过程。首先,我们将初步定义和未来的主要属性凸模糊的过程。

2。预赛

让表示的一个子集维欧氏空间。假设是一个映射满足以下假设:(我) ,(2) ,,,。

对于任何一个子集的,让我们定义

定义1(见[1])。一组是凸如果对所有,。

备注2。的交集凸集仍然是凸。

备注3。让是一个凸子集,。然后一个凸集凸。

备注4。如果,是将集对凸(见[11]),,然后是一个凸集。
假设。

定义5(见[5])。一组据说是凸如果,对于每一个和。

定义6。一组据说是凸如果,对于每一个和。

注7。如果和身份映射,那么一个凸集是吗凸。

定义8。让是一个凸集。一个函数据说是-quasiconcave上如果对任何和 让表示一个模糊集。

定义9。一个模糊集被称为凸当且仅当 对所有。

定义10。一个模糊集的削减定义如下:

命题11。如果是凸模糊集然后是凸(脆)。

证明。我们必须证明,如果然后对任何,。因此,考虑到上面的定义,我们观察,如果然后和和。所以,。这意味着。

3所示。主要结果

在本节中,我们提出的定义和一些性质凸模糊的过程。

让表示凸集和所有非void的模糊集的集合。

定义12。一个映射从来被称为当且仅当任何凸模糊的过程和和

示例13。让,,让,,, 考虑定义为 在哪里,,表示的特征函数。
然后一个映射是凸模糊的过程。
现在,让我们考虑定义为 对所有和 为,在那里,。
上面的映射凸模糊映射。

定理14。如果是一个凸模糊过程从来和是一个身份映射任何 是一个凸模糊集在。

证明。我们将证明,如果,然后对任何 让我们注意的 。
因此,使用的定义凸模糊过程,

定义15。的图凸模糊过程从来,表示,是一个模糊集这样,对于任何

在类似的方式定义9,我们可以定义凸模糊子集的,也就是说, 为,,。

定理16。的图凸模糊过程从来是一个的凸模糊子集。

证明。考虑到图的定义和对任何凸模糊的过程中,我们观察到和

定义17。的组合凸模糊过程从来和凸模糊过程从来是映射从来这样 对于任何。

定理18。如果是凸模糊过程从来和是凸模糊过程从来,然后是一个凸模糊过程从来。

证明。让和。然后对任何我们有 所以,是一个凸模糊的过程。
对于任何设置,我们把 对于任何。

定理19。如果是凸模糊过程从来和是一个的凸子集和是一个身份映射呢是的凸子集。

证明。让和。然后我们有 所以,是一个的凸模糊子集。

定理20。如果是凸模糊过程从来然后对任何 对于任何,。

证明。根据的定义切,我们有 此外, 这意味着,如果然后,也就是说,
现在,对于任何和任何-quasiconcave函数,让我们定义一个函数

定理21。如果是一个凸模糊过程从来,那么这个函数是-quasiconcave。

证明。让,。然后我们有