为什么模糊变换是有效的在大规模预测问题:理论解释

文摘

在许多实际情况下像天气预报一样,我们感兴趣的是大规模的(平均)值的预测数量。例如,它是不可能预测未来确切的温度在不同的空间位置,但我们可以合理地预测平均温度在一个地区。传统上,获得如此大规模的预测,我们首先进行一个详细的整合相应的微分方程,然后平均结果的详细解决方案。这个过程非常耗时,因为我们需要处理原始数据的所有细节。在我们之前的论文,我们已经表明,类似的大规模质量预测结果可以得到,相反,我们应用一个更快procedure-first平均输入(通过应用适当的模糊变换),然后使用这些平均输入解决相应的微分方程的离散化。在本文中,我们提供了一个通用的理论解释为什么我们semiheuristic方法,也就是说,为什么模糊变换效率大规模预测。

1。配方的问题

1.1。预测是必要的

科学的主要目标之一就是预测未来值的物理量。例如,它是可取的预测明天的天气,天气提前好几天,等等。流感疫情传播,它是可取的预测这种流行病传播如果我们不引入任何限制——这个传播将如何改变如果这样的限制。

1.2。详细的预测通常是不可能的

当然,在理想的情况下,它是可取的尽可能详细的预测。例如,理想情况下,我们想知道明天的温度和风速的确切值在所有可能的在一个给定的区域或空间位置准确预测流行病蔓延,究竟有多少人会生病如果我们不引入任何旅行限制。

然而,在许多实际情况下,这样一个详细的预测是不可能的。在这些情况下,预测可能是可能的,但它需要大量的计算,即使在最快的现代计算机,计算完成后很长时间未来事件(我们试图预测)已经发生。

1.3。大规模的预测通常是足够的

在许多实际情况下,我们无法预测确切的未来的值,通常是足够的预测平均未来的数量值,平均在某些领域。

例如,从实用的角度来看,即使我们不能预测明天的温度的精确值在所有可能的空间位置,预测将是有益的平均温度在一个给定的小的地理区域。同样,流行病,即使我们无法预测准确,有多少人会以不同的小城镇,生病是非常有益的能够预测有多少人平均在该地区将会生病。

预测时间序列,例如,金融时间序列形成的不同股票的价格在不同时刻的时候,虽然不可能预测未来价格的准确值,需要至少能够预测趋势,即价格平均在一个特定的时期内。

1.3发表评论。明晰和简洁,在下面的文本中,我们将描述输入时的情况和输出只取决于时间。同样的公式也可以应用如果我们有一个空间相关性;在这种情况下,和是对应的空间点。

1.4。对量的精确的数学描述预测的大规模的预测

而不是预测的值不同时刻的时间了,我们预测的加权平均,值的平均值的值这是接近。

它是合理的假设不同的时刻我们使用相同的平均,即体重与价值有助于只取决于不同而不是绝对的值或。在这种假设下,加权平均的一般公式 所有的重量都是非负的,对于每一个在哪里,所有的总重量值= 1:

1.5。和有用的平均等效再形成一个例子

一个自然的平均是一个例子高斯平均,我们使用高斯权重: 常方便代表这个高斯加权函数 新的加权函数在哪里描述了一个简单的公式吗 这个新的加权函数满足财产和

1.6。大规模的数量和模糊变换

类似的表示通常是有用的其他权重函数。一般来说,一旦我们知道这个新权函数,我们可以用规范化的条件(2)发现 因此,新的权函数加权平均(1)的形式 表达式(8)是一种特殊情况下的表达式模糊变换(1- - - - - -3),一般来说,定义为 对于一些功能的。对于一个特殊的制服情况(2,3),我们有几个功能的形式,在那里是一个给定的函数。相应的值模糊变换等于 配合的值对应于不同的点。

因此,从数学的角度来看,加权平均只是模糊变换的值。

1.7。典型的预测过程:解决微分方程

大多数物理学关系是由微分方程描述。特别是,观察到的信号之间的关系和预测的值也可以用微分方程描述。

1.8。传统的大规模预测的过程

因为预测通常意味着解决已知的微分方程,通常为大规模预测过程如下:(我)首先,我们使用的已知值解决微分方程,得到的值;(2)然后,我们应用加权平均过程(8)产生的值并得到所需的大规模预测。

1.9。缺点传统的过程

传统程序的主要缺点是,我们花了大量的计算时间得到一个详细的解决方案但最后,我们只返回几个值对应于大规模的预测。

例如,在天气预报,我们花上几个小时的电脑时间高性能超级计算机来解决一个复杂的系统的微分方程几千的变量,然后只使用这个解决方案的大规模的加权平均。

1.10。自然的想法

我们只是感兴趣大规模的预测,也就是说,只有在加权平均结果的解决微分方程,平均忽略解决方案的精细结构。为什么不从平均的输入值,为什么不忽视的精细结构从一开始,因此,节省计算时间。

换句话说,(1)传统上,我们第一次集成微分方程平均解决方案;(2)我们提出的是,我们第一次平均也只有到那时集成;通过这种方式,我们将需要更少的价值整合和,因此,减少计算时间。

1.11。经验,这个想法似乎工作

几个微分方程,我们实现了上述的想法如何加速计算。具体地说,(我)而不是原始输入,我们使用模糊变换值,(2)然后我们使用的值在原始微分方程的离散版本,(3)我们使用的结果这个解决方案的的估计所需的大规模的平均值(=模糊变换)。

令人惊讶的是,我们有一个很好的近似值基于详细的计算(2- - - - - -12]。

1.12。我们所做的摘要

在本文中,我们提供了一个理论解释的经验成功fuzzy-transform-based加快计算的方法。

这个解释让我们相信,这种模糊变换技术可以成功地用于其他大规模的预测问题。

2。理论的解释

2.1。线性化

通常,每个输入值的影响预测结果很小。在这个意义上,我们可以说,输入相对较小。因此,我们可以使用标准的技术处理依赖小的值:(1)扩展的依赖在在泰勒级数,(2)忽略二阶和高阶术语,因此(3)只保留在这种依赖线性术语。

在这种情况下,我们得到了以下的依赖: 对于一些功能和。

2.2。Shift-Invariance

我们感兴趣的是系统的预测,预测,需要重复一遍又一遍。在这些预测,没有固定的时间:如果我们从相同的输入重复后(即开始。,将随着时间的推移,从来),我们得到了相同的结果(转移)。

公式(11),这shift-invariance意味着(1)首先,我们必须有对所有和;特别是,对,我们得出这样的结论:,也就是说,不应该依赖于时间:;(2)第二,我们必须有对所有,,;特别是,对,我们得出这样的结论:的函数应该只依赖于不同吗。

因此,我们得出以下依赖:

2.3。主要结果:配方

在传统的方法中,我们首先找到详细的输出(12),然后通过应用平均平均水平

另一种方法是首先应用相同的平均原始信号,导致 并尝试使用这个平均信号作为输入到对应的动力系统(即。实际上,转换(12)): 我们要求这两种方法总是导致相同的结果,也就是说, 所有的时刻。

证明。的归一化权重函数(7),原始信号的形式 在哪里是由公式(12)。用表达式 到公式(17),我们得出这样的结论: 也就是说, 在哪里
同样,在归一化加权函数,我们有 用相应的公式 表达式(15),我们得出这样的结论: 也就是说, 在哪里
针对公式(20.)和(25),证明价值和总是一致,足以证明相应的功能和同时对所有和。这些函数是由表达式(21)和(26)。
证明这些表达式一致,让我们试着将它们转化为彼此。在表达式(26),我们需要归一化加权函数的值在点。相比之下,在表达式(21),我们使用价值相应的辅助变量。转换表达式(26)的形式(21),我们引入一个新的辅助变量的。从这个公式,我们得出这样的结论:,因此的形式。因此,在新变量综合表达式(26)的形式 因此,这两个表达式的积分也必须一致: 这个等式的右边就是表达式(21)——唯一的区别是,我们为集成变量(使用不同的名称而不是)。因此,功能和确实有相符之处,,因此,。
平等是证明。

2.3发表评论。在理想的情况下,当二次术语可以被完全忽视,没有绝对时间的依赖,导致的新方法确切的大规模的预测一样的传统。在实践中,如果我们考虑到
(我)二次项很小但非零,(2)可能有一个潜在的trend-like依赖绝对时间(比如全球变暖天气预报),我们结束了近似平等之间的传统和fuzzy-transform-based预测和这近似平等是我们在我们的实验观察到(2- - - - - -12]。
由于大规模的预测是近似,这种近似平等意味着,在准确性方面,新的预测,实际上,和传统的一样好。自从新预测计算快得多,他们有明确的实用的优势。

确认

这项工作是由美国国家科学基金会支持部分授予hrd - 0734825,由格兰特1 T36 GM078000-01来自美国国立卫生研究院,格兰特MSM 6198898701从MŠMT捷克共和国。作者感谢匿名裁判的有价值的建议。

引用

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