向一个(甚至更多)自然概率解释模糊变换(和模糊建模)

文摘

在许多实际应用,证明使用的概念是有用的模糊变换:一旦我们有功能与,我们可以代表每个函数的系数一旦我们知道系数,我们可以(大约)重建原来的函数作为。这个变换的原始动机来自模糊建模,但是转换本身是一个纯粹的数学变换。因此,这种转型的成功经验表明,这种转变也可以解释在更传统的(nonfuzzy)数学。本文给出了这样的解释。具体来说,我们表明,2002年的概率解释模糊建模的桑切斯等人可以修改成一个自然的概率解释模糊变换公式。

1。作品简介:模糊变换和其概率解释的必要性

1.1。模糊变换:一个定义

模糊变换的概念F-transform)被证明是非常有用的在许多应用领域,如图像压缩和最初的不确定性下解微分方程;见,例如,(1,2)和引用。

一般来说,函数的F-transform是一个向量与当地加权平均值的作为组件。第一步的F-transform的定义是一个选择吗模糊分区通用组(e。g,有界区间在由一组有限的)基本功能 连续和满足条件基本功能被称为隶属度函数各自的模糊集,,或者颗粒、信息碎片等。他们的选择反映出不确定性的类型相关的知识。

一旦被选中的基本功能,我们定义一个连续函数的F-transform作为一个向量,在那里 F-transform满足以下属性(1,2]:(我) 最小化,(2)两次连续可微函数,,在那里支持的长度吗。

F-transform用于应用程序的“骨架模型”。这个模型提供了一个压缩是一个图像(3),如果值的趋势是一个时间序列(4),如果一个数字模型用于数值计算(集成、分化)5)等。

一旦我们知道F-transform组件,我们可以(大约)重建原来的函数作为 在[1)、公式(3)称为F-transform反演公式。公式(3)代表一个近似的连续函数。在某些合理的情况下,函数序列表示为(3)一致收敛于(见[1更多细节)。

例1。让我们举个例子F-transform的在域关于。为简单起见,我们假设基本功能三角形,构成一个统一的模糊划分的。他们的分析表示如下: 由(2),组件的值F-transform的 图1提供了一个图形表示的基本功能的函数,,其F-transform组件,逆F-transform的。

1.2。F-Transform:最初的动机

F-transform来自模糊建模的原始动机(1,2]。例如,在逆F-transform,对应的情况规则

这些规则是Takagi-Sugeno(啧啧)规则与单例(常数)的右手边。啧啧规则,对应于一个给定的输入是。自,我们得到公式(3)。

目的是表明,这种类型的建模可以作为有用的应用程序更传统的傅里叶变换和小波变换等技术。此外,F-transform傅里叶和小波变换具有潜在的优势:与纯粹数学基本功能用于傅里叶和小波变换,最基本的功能在模糊分区通常来自于自然语言像“低”或“高”(模糊建模的详细描述,请参阅,如(6,7])。

就像任何其他工具的应用数学,F-transform不是万能药。更成功的一些问题,和其他问题,不太成功的。因此需要结合F-transform与其他数学工具,结合不同的技术的相对优势。F-transform结合其他的数学工具,它是可取的,一个纯粹的数学变换(nonfuzzy)解释。

特别的,因为大多数的数学数据处理工具是基于概率和统计,需要想出一个F-transform概率解释。

1.3。已知的概率解释模糊建模会导致F-Transform的概率解释

我们有提到F-transform最初的设计是模糊建模的具体情况。开创性的论文(8)提供了一个合理的特定情况下的模糊概率模型建模。具体地说,本文表明,如果我们使用分段常数描述输出概率密度函数,然后我们得到一个特定情况下的模糊模型情况下当我们使用产品”和“和”或总和。“既然F-transform正好对应于这种类型的模糊建模,我们因此得到F-transform概率模型。

1.4。我们所做的摘要

在本文中,我们表明,修正的概率解释(8]使我们能够证明公式F-transform无需任何额外的关于概率分布的假设。在数学术语,这一修改由使用贝叶斯公式和假设之前发行版(一种自然的方式来描述统计先验知识)而不是认定了实际分布。

因此,我们得到一个更自然F-transform的概率解释。具体地说(我)摘要(8)显示,实际上,存在一个合理的概率解释F-transform公式;(2)然而,原则上,这种解读的可能性存在其他同样关于概率分布合理的假设会导致不同的公式;(3)在我们修改的解释,我们表明,基本的概率设置独特的决定的F-transform formulas-without需要做出任何关于概率分布的假设。

我们还表明,类似的修改可应用于一般的模糊建模的概率解释公式。

评论1。从数学的角度来看,结果非常相似的公式(公式8)(除了贝叶斯公式步骤)。然而,在我们看来,这在数学上小修改导致主要解释的变化:现在,概率的研究人员,F-transform(我)不是一个可能的模式,对应于一个可能的概率分布的合理的选择,(2)但是这个模式独特的新兴的自然概率设置。
类似的结论可以对概率的解释更一般的模糊模型。换句话说,我们的小修改揭示一个更深的概率解释最初提议的基本含义8]。

2。一个自然的实际问题导致F-Transform

2.1。物理环境:一般讨论

让我们假定我们有一个物理过程,特点是由两个量和,我们知道这些量函数依赖是相关的。

在理想的情况下完整的知识,(我)我们知道的确切值,(2)我们有确切的描述函数。

在这种情况下,我们可以得到相应的确切的价值第二数量。

在实践中,我们知道价值与不确定性,也就是说,不同的价值观符合我们的知识。因此,我们必须提供一个合理的估计为。找到这样一个估计的第一个问题我们将会处理。在这第一个问题,我们假定函数是已知的完全。

如果这个函数必须确定经验,那么我们将改变经验(通常,部分)的知识为这个函数一个合理的估计。这将是第二个问题我们将在这一节中。

2.2。第一个问题:估算值对于一个不知道

如果我们只知道一条信息关于,什么是合理的估计吗?

2.3。第二个问题:评估函数基于部分信息之间的依赖和

假设为每个信息块,,我们有相应的测量值的。因为我们只知道数值特征未知的函数,我们不能完全重建这个函数。相反,我们需要提供一个良好的估计为每个值这个函数。

3所示。一个自然的概率问题,导致F-Transform的概率解释

3.1。的不确定性:一般的概率描述

假设我们有一个模型的估计过程,使我们的实际价值,计算概率这个过程导致的该车条件的实际(未知)值估计数量。

为了简化公式,我们表示 因为每一个,我们必须只有一个可能的结果,我们得出这样的结论,概率必须添加到一个不同的评估结果,也就是说,我们必须有 在上面的简化符号,这个公式的形式

3.2。第一个问题:估算值对于一个不知道

让我们考虑的第一个问题。在实践中,我们不知道准确的数量。相反,我们只有一个部分的信息,。假设我们知道,什么是合理的估计吗?

在概率论方面,我们想找到条件期望值的条件下。

根据定义,这等于期望值 因此,要计算这个期望值,我们必须知道的概率。相反,我们知道的概率。

一般来说,重建概率的问题不同的假设基于观测从条件概率观察在不同的假设概率论是众所周知的;它是解决应用贝叶斯定理。这个定理的连续版本 在这是一个先验概率的假设(严格地说,和概率密度)。

在我们的例子中,不同的假设对应于不同的可能值数量的兴趣。因此,(11)的形式

由于没有先验的理由更喜欢的一个值,它是合理的假设值是等可能的,也就是说,所有之前的值是相等的:。

替换到公式(12),这两个分子和分母除以共同因素,我们得到的表达式

用这个表达式为公式(10)(重命名变量分母),我们得到的

的简化符号(7),我们因此得到 也就是说,完全公式(2)相应F-transform。

3.3。第二个问题:评估函数基于部分信息之间的依赖和

在一些实际情况下,我们不知道确切的函数的表达式。相反,我们必须估计从经验数据,也就是说,从之前的同步测量的结果和。

在每一个这样的测量,唯一得到有关的信息的价值观。针对每种情况的信息是,我们有一个或多个值。

理想情况下,我们应该有大量的值对应于每一个测量结果。基于这些价值观,我们应该能够重建的条件分布条件下的。基于这些条件分布,我们应该能够重建的值对所有。

然而在实践中,我们只有一些值对应于每一个测量结果。在这种情况下,在最好的情况下,而不是整个条件概率分布,我们只能重建单个参数条件的意思。因为我们只知道特征未知的函数,我们不能完全重建这个函数。相反,我们需要描述一个好的估计为每个值这个函数。

类似于第一个问题,我们的意思是作为一个合理的估计。因此,在上面的实际环境中,估计函数的问题采用以下形式:(我)对于每一个,我们知道条件的意思;(2)基于这些条件意味着,每一个,我们想估计均值。

对于这个问题,全概率公式导致以下结果: 通过使用符号为,为,为,我们可以变换公式(16)的形式 也就是说,完全F-transform反演公式(3)。

3.4。结论

上面的(小)概率模型的修改8)唯一确定这两个基本公式(2)和(3F-transform相关)。

3.5。与模糊集的随机集的解释

值得一提的是,的概率解释(8)与随机集的解释模糊集(见,例如,9])。

在这种解释,一个不精确的(模糊)术语的意义就像“小”是基于以下的想法。这个词是不精确的意味着对于相同的值,有些人会说,这个值很小,而别人会说这个值并不小。考虑这个不精确,我们可以存储,对于每一个人,一组的所有值,这个人认为小。

之前由于没有理由喜欢其中的一个人的意见,我们认为他们的意见同样合理。我们可以把比率的人认为渺小的小作为合理的措施(这实际上是一个标准的方法来构造隶属函数对应于一个特定的术语)。

我们可以描述这个比例在概率方面如果我们假设所有的人都同样可能。在这些方面,价值可以解释为概率一个随机选择的人会考虑要小。

这个解释的隶属函数的条件概率正是我们F-transform用于我们的概率解释。

3.6。术语的评论

出于完整性的考虑,让我们解释为什么上面的解释叫做随机集的解释。

脆(明确的)属性,每个属性所描述的可以满足这个属性设置的值。

对于每一个不精确的财产像“小”,而不是一个单描述所有满足这个属性的值,几个集描述几个人的意见。我们认为所有这些人的意见是同样有效的,所以每个人人有相同的概率是正确的。在这种情况下,我们有不同的设置,每一个发生的概率。

在数学方面,我们可以描述这种情况,说我们有一个概率分布类的所有可能的设置。在概率论中,这种分布称为随机集同样的一个概率分布的类被称为所有可能的数字随机数。

4所示。讨论

让我们讨论上述结果的后果F-transforms的意义和用法(作者大大感谢匿名裁判提出本文的主要观点)。开始这个讨论,让我们回忆为什么F-transforms首先提出。

4.1。需要F-Transforms F-Transforms和由此产生的主要优势:提醒

F-transform的主要目标之一是近似一般函数,函数从一个选定的finite-parametric家庭。这是一个著名的数学问题,许多成功的技术已经发展为解决这一问题。例如,我们可以扩大原多项式函数,然后使用这个扩张的前几项所需的近似。我们还可以使用转换如傅里叶变换和小波变换,只保留第一个几项在相应的扩张所需的近似。

所有现有的近似技术功能和这个函数近似。在情况下,唯一的信息,我们有期望的依赖的值是数的值来衡量,这是我们唯一能做的。然而,在实践中,我们经常有额外的专家知识的依赖。因此需要考虑这种理解当我们近似函数。

专业知识往往是不精确的(模糊),也就是说,不精确的专家规则的制定。一个自然的方式来描述不精确的规则是使用模糊逻辑和模糊建模,,我们已经表明,模糊建模方法自然导致F-transforms。

考虑到专家知识的能力是因此F-transforms的主要优势,F-transform的主要原因导致了许多成功的应用。

4.2。的概率解释F-Transform导致额外F-Transform与其他近似技术相比的优势

上面的概率解释F-transforms显示每个组件的F-transform可以解释为平均值的近似函数未知条件下的价值测量结果是一致的吗。众所周知,在概率论中,均值可以或者描述为价值最小均方这个值与实际值之间的差异,也就是说,最小化表达式。因此,上面的关系提供了一个额外的优势F-transforms相比与其他近似工具:(我)F-transforms不仅反映了专业知识,(2)F-transforms还提供一个解决方案最优(在一个良好定义的合理意义上)。

4.3。测量结果的准确性近似

我们已经表明,每个组件F-transform提供了近似这是最准确的。下一个自然的问题是如何准确是吗?换句话说,什么是相应的均方不同吗?事实证明,这个问题的答案也可以提供F-transforms。

也就是说,众所周知,,我们有

也就是说,。表达式也可以描述F-transforms。的确,我们的结果之间的关系F-transform期望值和条件适用于所有可能的功能,包括广场原来的功能。因此,每个值等于th组件F-transform的广场。

所以,我们得出以下结论。如果我们只知道测量结果是一致的吗,然后(我)一个合理的近似是价值:th F-transform的组件,(2)均方根精度这种近似是由公式,在那里是组件的F-transform函数。

同样,第二problem-reconstructing当我们只知道许多值对应不同的有限——均方相应的近似精度的实际(未知的)功能由其逆F-transform等于

第一项在这种差异等于逆F-transform 值的位置形成一个F-transform平方的函数。

因此,我们得出以下结论:(我)如果我们只知道值F-transform的实际(未知)的依赖那么,作为一个合理的近似,我们可以把逆F-transform。(2)如果,除了值我们也知道F-transform广场的,然后我们可以估计根意味着广场准确性通过使用公式 在哪里的逆F-transform平方函数。

5。类似的修改Mamdani-Style模糊建模的概率解释是可能的(模糊控制)

5.1。从F-Transform模糊建模

我们表明,上述修改的概率解释(8从F-transform]可以扩展到更一般的情况下Mamdani-type模糊建模和模糊控制。

评论2。在本节中,我们专注于Mamdani F-transform以来的方法可以看作是这种方法的一个特定的情况下,由于Mamdani的方法,概率解释是可能的(8]。请注意,虽然Mamdani的方法是历史上第一个,目前,有许多不同的模糊建模和模糊控制方法;在这一章我们提到他们中的一些人,但有很多人;见,例如,(10- - - - - -12]。如何最好地解释这些其他方法在概率项,这样的解释是否可能是一个有趣的问题。
例如,一个有趣的问题是如何解释2型模糊建模和模糊控制方法;见,例如,(13- - - - - -16];也许通过区间值的概率?

5.2。Mamdani模糊建模和模糊控制的方法:一个简短的提醒

在Mamdani的方法中,我们从规则

“如果是小的,那么应介质”,

然后用隶属度函数为“小”和“媒介”将这些规则转换成一个精确的控制策略。

一般来说,我们有规定

“如果有一个属性然后有财产”(),

与已知的隶属度函数和对相应的属性。Mamdani的方法是基于说对每个输入,该值是一个合理的价值控制当且仅当一个以上的规则是适用的,(我)第一条规则是适用的,满足财产和满足财产,(2)或第二条规则是适用的,满足财产和满足财产,(3) (iv)或者是规则是适用的,也就是说,满足财产和满足财产。

一旦我们选择功能和代表”和“和”或“(这些函数被称为t-norm和t-conorm),我们可以这样描述我们的信念的程度那是合理的(对于一个给定的输入), 特别是,如果我们选择和(如果添加值不超过1),我们得到的 一旦我们知道这个成员函数,我们可以找到合适的值通过使用所谓的重心去模糊化:

5.3。一个自然的概率模拟Mamdani的模糊建模方法

在[8),结果表明,概率设置,我们得到公式类似于Mamdani规则对应和如果我们假设均匀分布的输出。我们表明,利用贝叶斯公式,我们可以避免这个额外的假设,因此,使生成的概率模拟Mamdani的模糊建模更加自然。

类似于上面的概率解释F-transform,让我们假设我们有可能的信息大约的数量,这对于每一个信息,我们也知道相应的概率我们会用吗。

同样,让我们假设我们有可能的信息关于,我们知道相应的概率我们将表示。

我们知道取决于,但是我们不知道确切的依赖。相反,对于每一个信息关于,我们知道相应的信息对相应的。

因为我们没有选择任何具体的订单信息,我们可以选择相对应的值作为,相对应的值通过等。在这种选择,仅仅意味着如果可用的信息所描述的信息吗,那么相应的所描述的信息吗。

我们的目标是,鉴于这些规则和一个新值合适的,找到一个好的估计。

由于全概率公式,条件概率密度的条件下的形式 我们知道的概率。的概率密度可以由使用贝叶斯theorem-similarly F-transform情况 也就是说,在这些值,因为 用公式(27)和表达式(7)代入公式(25)(和改变乘法订单),我们得到的公式 一旦我们知道这些可能性,我们可以生产的意思作为一个合理的估计: 这些正是的公式推导8从额外的分段恒定输出分布的假设。因此,我们的(小)修改(8]事实上唯一确定相应的概率模拟Mamdani的公式。

5.4。在Mamdani-Type设置,模糊概率公式,在一般情况下,不同

值得一提的是,(我)在F-transform,概率和模糊推导导致完全相同的公式,(2)一般模糊建模的情况下,(所8),公式是不同的:(一)公式(29日)一模一样(24),而不是;(b)公式(28)从Mamdani略有不同的公式(23)——在分母上的积分。

5.5。情况下模糊和概率公式一致

F-transform(,更严重的是,在所有的情况下,当价值是相同的吗),这些额外的分母只是把所有的值的常数。这个常数出现在公式的分子和分母(28),因此,它不会影响结果值。

另一个例子,当模糊和概率公式一致的情况下Takagi-Sugeno(啧啧)方法;见,例如,(10]。实际上,这个等价证明(8]。在啧啧的方法,规则的类型

“如果有一个属性然后”(),

已知函数。概率的设置中,我们假设下信息,我们必须采取。因此,对于一个给定的输入,我们选择的概率,在那里。由此产生的意思因此,等于。时的情况,这正是啧啧的公式。

5.6。比较模糊和概率建模

Mamdani-type情况当模糊概率公式不同,相应的概率和模糊规则的比较,在细节,(8]。

让我们添加三个情况比较,情况自然与我们的修改后的推导。

5.7。当概率控制更好

时的值是不同的,概率控制和模糊控制,一般来说,不同的值吗。我们将展示,在最初提出的r .狙击兵,一个例子,在这种情况下,概率控制的结果更接近于常识,Mamdani控制的结果。

实际上,让我们考虑的情况,我们有两个规则:(我)第一条规则是一个更一般的规则说如果是小的,那么应该是小;(2)第二条规则是一个非常特定的规则,说如果非常接近0.11呢应该非常接近0.15。

直观地说,如果我们有一个值一个非常具体的规则是适用的,例如,值,那么这个特定的规则应该有一个优先于一般规则。然而,由于隶属函数的宽度小,相应的术语(23)将几乎不会影响产生的估计(24)。

相比之下,在概率控制的影响是标准化的,大致来说,相应的总宽度函数。因此,即使是最具体的规则将有希望这位重要的影响结果(29日)。

评论3。应该提到具体的规则的问题只发生在Mamdani的模糊控制方法。在选择逻辑方法,这个问题没有出现;见,例如,(17]。

5.8。另一个案件中,当概率控制更好

概率解释使我们自然会考虑更一般的情况下,规则本身就是概率,也就是说,当和,我们知道的条件概率 ,如果有财产,然后有财产。

换句话说,代替原来的规则

“如果有财产,然后有财产”,

我们现在有规则

“如果有财产,然后有财产的概率

事实上,在这种情况下,由于全概率公式,条件概率密度的条件下的形式 在这里,我们知道原始的概率和概率。的概率密度可以使用贝叶斯定理作为由表达式(27)。用公式(27)和表达到公式(30.)(和改变乘法订单),我们得到的公式 一旦我们知道这些可能性,我们可以生产的意思通过使用公式(29日)。

5.9。在某些情况下,模糊控制更好

我们已经表明,在某些情况下,概率比原Mamdani模糊控制的控制。然而,在其他情况下,模糊控制更好。让我们举两个例子。

5.10。当Mamdani公式更好

上面的概率公式只有工作时的情况,也就是说,在概率方面,当属性是相互排斥的。在实践中,我们可能无排他性的属性,在这种情况下我们可能。

目前尚不清楚如何处理这种情况的概率方法。然而,这种情况下是没有问题的如果我们应用模糊控制:它的公式适用于无论我们是否满足要求与否。

其他情况下当Mamdani公式更好
概率解释只能当我们使用乘法和加法”和“和”或“操作和。
模糊控制并不一定必须使用这些操作,它可以使用不同的t-norms和t-conorms。实证事实是控制在很多情况下,使用t-norm t-conorm的不同的产品和不同的金额会导致一个更好的质量控制的例子,一个更加稳定的或平滑。
在[18),我们制定的问题选择t-norm和t-conorm作为一个精确的优化问题,和几个目标函数如平滑或稳定,我们给这些优化problem-specifically显式解析解,我们描述了选择导致平滑或稳定的最优值。在很多情况下,最优选择确实不同概率情况下的产品和总和。因此,模糊控制方法的确会导致一个更好的质量控制。

6。结论

模糊变换(F-transform)技术最近已被证明是非常成功的在各种各样的应用,包括应用程序,直到最近,只有更传统的工具,如傅里叶变换或小波变换的应用。在许多其他应用程序,然而,传统的工具有一个明显的优势。因此需要结合F-transform与更传统的工具,以便结合这两种技术的相对优势。使这个组合更容易,它是可取的解释F-transform传统数学术语。

在本文中,我们描述的修改描述的概率解释(8]。在这个修改,相应的概率模型独特导致F-transform的公式。类似的修改被描述在一个更一般情况下的模糊建模。

确认

本文的部分支持由美国国家科学基金会授予hrd - 0734825,由格兰特1 T36 GM078000-01来自美国国立卫生研究院,格兰特MSM 6198898701从MŠMT捷克共和国。作者感谢约瑟夫Štěpan和罗恩狙击兵的动机和有价值的讨论,并匿名裁判有价值的建议。

引用

1. 即Perfilieva”模糊变换:理论和应用程序”,模糊集和系统,卷157,不。8,993 - 1023年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
2. 即Perfilieva“模糊变换:挑战传统的变换,“先进的成像和电子物理卷,147年,第196 - 137页,2007年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
3. f . di马蒂诺,s . Sessa诉Loia i Perfilieva,”一个图像基于直接编码/解码方法和逆模糊变换,“国际期刊的近似推理,48卷,不。1,第131 - 110页,2008。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
4. 诺瓦克Perfilieva,诉诉Pavliska, a . Dvořak和m .Štěpnička”使用模糊变换,时间序列的分析和预测”《IEEE国际会议上神经网络(IJCNN ' 08)香港,页3875 - 3879年,2008年6月。视图:谷歌学术搜索
5. Perfilieva, h·德·迈耶,b . de Baets和d . Plškova”柯西问题模糊初始条件和其近似解的帮助下模糊变换,”《IEEE国际会议上模糊系统FUZZ-IEEE (WCCI ' 08)香港,页2285 - 2290年,2008年6月。视图:谷歌学术搜索
6. g . Klir和b .元模糊集和模糊逻辑:理论和类比普伦蒂斯霍尔,上台北,美国,1995年。
7. h·t·阮和e·a·沃克,模糊逻辑的第一道菜,查普曼&大厅/ CRC,波卡拉顿,佛罗里达州,美国,2006年。
8. l·桑切斯·j·卡西利亚斯、o .警戒线和m . j .耶稣,“一些模糊和随机基于集合的分类器和模型之间的关系,“国际期刊的近似推理卷,29号2、175 - 213年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. h·t·阮介绍随机集,查普曼&大厅/ CRC,波卡拉顿,佛罗里达州,美国,2006年。
10. h·t·阮:r·普拉萨德c·l·沃克和e·a·沃克,模糊和神经控制的第一道菜查普曼和大厅/ CRC波卡拉顿,佛罗里达州,美国,2003年。
11. h·t·阮和m . Sugeno Eds。模糊系统建模和控制,kluwer学术出版商、波士顿、质量,美国,1998年。
12. h·t·阮m . Sugeno r, r .狙击兵,Eds。模糊控制的理论方面约翰·威利& Sons,纽约,纽约,美国,1995年。
13. o·卡斯蒂略,p .梅林。”特刊混合智能系统”,信息科学,卷177,不。10日,1997 - 1998年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
14. o·卡斯蒂略和p ?梅林。,“Special issue on high order fuzzy sets,”信息科学,卷179,不。13日,2053 - 2054年,2009页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
15. h . Hagras”二型模糊逻辑控制器:一个前进的模糊系统在真实世界的环境中,”《计算智能:研究前沿,计算智能,IEEE世界大会(WCCI ' 08)j . m . Zurada g . g .日圆,Eds和j . Wang。卷,5050全体/邀请讲座,施普林格在计算机科学课堂讲稿施普林格,页181 - 200年,2008年6月,香港。视图:谷歌学术搜索
16. r·赛普维达,o·卡斯蒂略,p .梅林,a·r·迪亚兹和o .打算”实验研究不确定性下的智能控制器使用1型和2型模糊逻辑,“信息科学,卷177,不。10日,2023 - 2048年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
17. 诉诺瓦克,i Perfilieva和j . Močkoř模糊逻辑的数学原理kluwer学术出版社,1999年荷兰多德雷赫特。
18. m·h·史密斯和诉Kreinovich”,在模糊控制开关推理方法的最优策略,”模糊控制的理论方面h·t·阮,m . Sugeno r, r .狙击兵,Eds。,pp. 117–146, John Wiley & Sons, Nwe York, NY, USA, 2005.视图:谷歌学术搜索

版权

版权©2011 Irina Perfilieva Vladik Kreinovich。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。