一种新型的多谐振子弹性超材料

摘要

本文提出了包含一个谐振腔和两个谐振腔的弹性超材料的两种模型，以获得带隙，以提供宽带振动抑制。该模型由多个单元组成，每个单元由一个矩形框架和一个齿轮齿条机构组成，齿轮齿条机构在框架两侧用线性弹簧连接。在二自由度模型中，增加一个小质量，其中心一端附在小齿轮的中心，另一端通过线性弹簧与矩形框架相连。在第一种机构中，小齿轮被视为单个谐振器，而在二自由度模型中，小齿轮和小质量被视为多个谐振器。通过获得各模型中单细胞的运动控制方程，深入研究了两种元结构的动力学行为。因此，将两种模型的运动方程写成矩阵形式，并在此基础上建立色散关系，分析系统参数对带隙起止频率的影响。最后对两个模型进行了比较，并利用MATLAB-SIMULINK和MSC-ADAMS软件进行了数值模拟。借助于开始/结束频率的闭合表达式，可以很容易地识别系统参数与带隙间隔之间的相关性。

1.导言

超材料是指综合制成的先进材料类型，包括一般表现为连续材料的小型子结构。声波和弹性波不能传播的频带称为带隙，这是超材料最显著的特征。不同波长的波的传播由超材料产生的低/高频带隙控制。鉴于这种独特的特性，超材料可以用于隔音、波过滤、减少振荡和声波传播领域[1- - - - - -3.]．声学超材料的胞体由一个或多个局部振动部件所在的基本结构组成。基底环境和局部振动子之间的相互作用使有趣的物理现象成为可能，如带宽、负有效密度、负弹性模量、定向滤波和波传导、增加的耗散和振动声衰减[4，5]．基本采用两种局部谐振器:(1)平移谐振器和(2)旋转谐振器，它们分别产生负的有效密度和负的有效弹性模量[6]黄等[7证明了使用不同的等效模型来表示由质量中质量单位组成的格系统的结果。然后他们研究了色散波的传播，并与各种等效模型进行了比较。他们发现，如果用经典的弹性连续体来表示原始质量中的质量结构，有效质量密度将与频率有关，并且在内部质量共振频率附近的频率可能变为负的。同时，如果采用多位移微结构连续体模型，可以充分描述波传播的色散行为和带隙结构。

主动周期结构和被动周期结构由相似的子结构或单元细胞组成，这些子结构或单元细胞以相似的方式相互连接。这些结构的周期性表现出独特的动态特性，因为它们可以阻止波的传播，并起到机械过滤器的作用[8]．波在无限周期结构中以特定的频率间隔传播是不可能的。光子带隙是声波/弹性波不能传播的频段。与无限周期结构不同的是，如果在带隙内激发有限周期结构，则波的透射或振动很少发生，可以通过检查带隙的频响函数图来获得波或振动的透射[9]．传播或通带允许波沿这些结构在一定的频率范围内传播而不会衰减;而阻带、衰减带或带隙是波可以衰减的频带[10.]．在周期结构中，产生声子带隙的两种常用方法是布拉格散射和局域共振[9]．上面提到的带结构和波折减是由于这两种机制明显不同[11.]．在高频模式下，可以使用布拉格带隙对波进行滤波，但在低频模式下，这是不可能的[12.]．另一方面，比布拉格散射的频率低得多，可以通过局部共振创建带隙[9].与Bragg型带隙不同，由于局部共振（LR）机制，很容易控制共振型带隙。为了调整带隙特性，可以改变局部共振结构的特性。陈、简[12.]提出了一种质量网格系统，在这种新思想被应用到弹性领域之前，它已经在声学领域被提出。

Lazarov和Jensen [10.]以线性和非线性两种模式进行研究，以在非线性振子连接的一维链中传播波。他们发现，在非线性状态下，带隙可以根据局部非线性的幅度和程度发生位移。此外，他们的研究结果表明，在线性模式中，间隙的位置是围绕谐振频率，这使得间隙产生在一个较低的频率域。Casalotti等人[13.]研究了一个带有非线性质量-弹簧子结构的欧拉-伯努利梁，以研究非线性超材料梁吸收多态振动的能力。作为局部谐振器或吸振器的梁连接子结构产生了带隙。首先，他们识别了单细胞的频率停止带，然后为了研究多频率停止带，提取了非线性超材料光束的频率响应。他们指出，对于超材料光束，适当调整局部吸收器的组成参数可以显著降低与最低三阶振动模态相关的振荡。Zhou et al. [14.提出了带有柔性带隙和高静刚度的局部谐振子的声超材料束的两种模型。首先考虑了变截面声超材料梁的质量-弹性梁等效模型，并进行了分析。提取了声超材料束的色散关系，研究了不同控制参数对带隙的影响。然后，为了在COMSOL Multiphysics中验证，他们模拟和检验了声学超材料梁的二维有限元模型。结果表明，解析模型与二维模型具有良好的相容性。最后，提出了声学超材料束的三维模型，并讨论了等厚度和不等厚度两种形式测量波的衰减。黄和孙[15.研究了多腔质量网格系统，得到了它的色散曲线和带隙。结果表明，通过改变内部质量的大小和弹簧常数可以使带隙发生位移。他们提出了一个与原始系统等效的单原子模型，发现带隙频率处的有效质量为负。最后，他们引入了一个微观结构连续模型，可以获得原始系统的色散行为和带隙结构。根据Sun等人的研究[16.研究表明，基于超材料的吸声器可以被认为是一个均匀的各向同性梁，在不同的点上有许多非常小的质量-弹簧子系统。他们还讨论了如何通过子系统产生带隙、负有效质量和刚度。结果表明，一般的机械吸振器是超材料梁实际工作机理的基础。然后产生剪力和弯矩，使梁保持直，防止波传播。Xiao等人在活性超材料和超器件领域进行了重要和深入的专题综述。[17.]．他们报告了从微波到可见波长的有源超器件和超材料的进展，包括里程碑和最先进的技术，并最后提出了未来的前景，以及几种新兴的调谐策略和材料。

大多数超材料模型的研究都基于阻尼器弹簧阻尼组合。但是，本文采用了齿条和小齿轮机构和质量的新组合来实现更宽的带隙并研究新组合的动态行为。在目前的研究中，提出了两种型号的弹性超材料，以获得用于振动抑制的宽带带隙。该模型由连接到集中质量的机架和小齿轮机构的组合制成。通过Matlab-Simulink和分散曲线和分散曲线和频率响应图解决了两个模型的控制方程。然后，在数学上研究了控制参数对带隙的起始和结束频率的影响。最后，在MSC-ADAMS软件中建模和模拟两种模型，并且在数值上提取所需的图形。模拟结果与数值算法获得的那些令人满意的协议。

2.型号:1DOF和2DOF

在本节中，将介绍由一个和两个自由度弹性超材料（EMM）组成的两个模型介绍和讨论。模型包括包含齿轮齿条机构和集中质量的矩形单元。齿轮齿条的存在可防止齿轮和单元之间滑动，从而将传递运动转换为纯滚动运动。本研究的目的是通过分析获得所提出模型的带隙为了减小或消除机械振动，分别建立了单自由度和二自由度模型的数学模型，并用闭式表达式从数学上提取了带隙的起始频率和终止频率。

2.1。一个DOF模型的EMM

2．1．1．一自由度模型:数学公式

建议的一系列自由度的弹性超材料模型如图所示1．如图所示，这个模型的主体由一个内部有齿轮齿条的矩形框架组成。然后用线性弹簧连接矩形框架。另一方面，小齿轮通过两个线性弹簧连接到矩形框架的壁上。

为该问题定义的参数如图所示2，表示单自由度模型的单元。因此，使用牛顿第二定律，单元的控制方程推导如下： 在哪里和分别为框架质量和小齿轮质量，和分别为小齿轮的半径和转动位移，的平移位移nth细胞，和表示小齿轮的质量惯性矩相对于点o．

现在,方程(1)和(2)以矩阵形式表示如下: 模型中使用的无量纲参数定义为 在哪里为本地固有频率， 分别为无量纲质量、转动惯量、刚度、位移、时间、频率。代入式中无量纲参数(3.)时，新的控制方程形式可表示为:

2.1.2.单自由度模型：色散特性

本节定义1DOF模型谐波对应解，提取色散关系和带隙频率: 在哪里和为解的稳态振幅，是相位因子，并且表示周期数。此外, 表示距离细胞起源(支持)[18.- - - - - -22.].代入方程式(6)进入(5)，其矩阵形式的控制方程的新形式为:

现在，通过分解和整理公式(7)时，所考虑系统的运动方程的最终形式为

单自由度模型的色散关系可由式(8)．对于一个非平凡解，系数矩阵的行列式必须等于零。因此，将色散关系提取为

通过解方程(9） 为了 ，EMM的声频率和光频率的关系可以得到如式(10.)和(11.)．然后，利用得到的封闭表达式，得到1DOF模型的色散曲线如图所示3.． 在哪里

方程式(10.)和(11.）分别表达声学和光学频率分支。然后呈现低频和高频分散曲线和 ，分别为(1]．在上面的等式中，在此处 ，色散曲线的斜率，即行波的速度，等于零。这意味着波不能传播，就像在带隙处发生的情况一样。这个区域是第一个布里渊区边界。因此,用 和 方程(10.)和(11.）然后求解这些表达式，提取1DOF模型的带隙的起始和结束频率[1，20.]．

2．2．EMM的二自由度模型

2.2.1。二自由度模型:数学公式

本节给出了EMM的二自由度模型(见图)4)．该模型是前一节中讨论的第一个模型的扩展模型。该模型的联合电池由矩形框架制成，内部的机架和小齿轮连接到浓缩物质量。如图所示5，小齿轮和集中质量通过刚度为的线性弹簧连接到矩形框架上 ．此外，矩形框架之间通过刚度为的线性弹簧连接并创建一个集成的MetaTretucture。因此，单元电池的控制方程可以描述如下： 在哪里是集中的质量吗表示浓缩质量的翻译位移。

现在,方程(13.) (15.)以矩阵形式书写如下:

要在无维表单中表达问题，为2DOF模型定义了以下非潜能参数： 在哪里和分别为第一模态和第二模态的固有频率，和分别定义为小齿轮总质量和集中质量与矩形框架质量之比和小齿轮与框架质量之比， ，和是否无量纲惯性矩、刚度、单元位移、集中质量位移和无量纲时间表示第一和第二无量纲频率。使用介绍的无量纲参数，等式（16.)可以按如下无量纲形式重写：

2.2.2。两个DOF模型：色散性质

在本节中，与2DOF模型的谐波对应的解决方案如下所示，用于提取色散关系和带隙频率：

与上一节类似， ， ，和代表解决方案的稳态幅度。替代方程式（19.)进入(18.)，给出了用矩阵符号表示的控制方程的新形式

通过简化方程(1)时，控制方程的最终形式得到

二自由度模型的色散关系可由(21.)．对于非零解，系数矩阵的行列式应设为零。因此，我们将色散关系提取为: 在哪里

与单自由度模型的解释类似，式(22.)显示了两者之间的关系和qa。通过绘制这个方程，就可以得到色散曲线。通过替换 同理(22.)，则起动频率表达式为:

将qa = 0代入式(22.)时，系统参数与结束频率的相关性为 在哪里

3.一自由度和二自由度模型的完整性

为了验证数学建模提取的研究结果，在MSC-ADAMS软件中，在刚体动力学假设下对弹性超材料进行建模和仿真，如图所示6- - - - - -9．此外，对模型进行了频响分析，并绘制了频响图。在下一节中，系统的瞬态参数用参数表示以及第5单元位移与第1单元位移的比值，然后与数值解进行比较。

对于数值模拟，使用MATLAB/Simulink软件，对所提出模型的控制方程进行数值求解。图中显示了由MATLAB/Simulink模型绘制的框图10.. 值得一提的是，图表中的每个部分都包含控制单个细胞动力学的方程式。

对于这两个模型，数值解和仿真得到的频响图如图所示11.和12.．如上所述，两种分析提供了相同的系统带隙间隔，证明了两种方法的结果令人满意的一致性，这表明我们的数学建模和数值计算的完整性。

4.结果和讨论

在验证数值解的可靠性后，全面研究了色散特性以及不同系统参数对带隙间隔的影响。在本节中，它的目的是检查引入的模型的带隙，并演示在哪些条件下它们可以扩展或传输。

4.1.EMM的单自由度模型

以下4.4.1。一自由度模型的色散曲线

数字2示出了自由度模型的色散曲线，其示出了声学和光波模式以及带隙间隔。所选参数的值是 考虑这些参数，单自由度模型的带隙位于频率6.15 ~ 11.94 (Hz)之间，与图中得到的频率范围相同11.．

4.1.2。一自由度模型中系统参数的影响

如图所示的表面13.展示了不同的无因次参数对其相应带隙的起始和结束频率的影响。顶面和底面分别表示开始频率和结束频率，它们之间的距离表示1DOF模型的带隙间隔。如图所示13.，带隙与无量纲刚度有直接关系，即随着无量纲刚度的增大，带隙也增大。另一方面，随着无量纲质量的增加，带隙减小。推导出刚度参数对带隙的扩展有积极的影响，质量参数的影响是削弱带隙的间隔。此外，从图中可以看出，一般情况下，无量纲惯性矩直接影响带隙范围，即随着无量纲惯性矩的增大，模型的带隙也会增大。虽然带隙间隔在较低值处略有减小，但当无量纲惯性矩取较高值时，带隙间隔得到了令人满意的增强。

4．2．EMM的二自由度模型

4.2.1。准备二自由度模型的色散曲线

为了显示带有多个谐振器的修正模型的色散曲线，可解式(22.） 为了并提取所需的曲线。所选参数的值是 考虑以上参数，带隙启动频率(和 ）是通过代换来计算的吗 分别在声波和光波模式下。结果图如图所示14.分别由Ds（1）和Ds（2）得到。另外，带隙结束频率(和 ）又是通过替换提取的吗 式(22.)绘制的结果如图所示14.分别为Ds(2)和Ds(3)。如图所示14.，所述第一起始频率与第一结束频率之差表示第一带隙，所述第二起始频率与第二结束频率之差表示第二带隙。根据图中所示结果12.，人们可以发现第一和第二带隙之间存在小面积。这结果也在图中证明14.Ds(2)的最高点和最低点略有差异。微小的差异导致Ds(2)曲线变平。

4.2.2.两种模型的色散曲线比较

如图所示15.，通过增加集中质量并将单自由度模型修改为双自由度模型，在新模型的动力学中产生了两个带隙，这使我们能够在更多的频率范围内减少或抑制改进系统的振动。对比两种模型的色散曲线，可以得出二自由度模型的第一个带隙的起始和结束频率都比单自由度模型的低。

4.2.3.2DOF模型中系统参数的影响

数字16.显示该参数时显示向上移动，第一起动频率也增加并且第一终端频率降低，这令人满意地扩展了修改模型的第一带隙。另一方面，通过增加第一带隙，第二个减少并且启动和结束频率最终达到恒定值。

随着参数的增加 ，第一个带隙可以扩展到更大的频率范围，如图所示17.，尽管第一起始频率最终将接近恒定值。但是，模型的第二个带隙的变化没有显示相同的趋势，最终会聚到几乎恒定的值，并且不再显着变化。

为了扩展修正模型的第一和第二带隙，对惯性矩进行了无量纲化必须增加。如图所示18.，通过继续增加无量纲惯性矩的过程，第一个结束频率和第二个开始频率将不会改变，并取恒定值。

随着第一和第二局部频率的增加，在该模型的第一带隙中无法观察到相同的行为，尽管它随着较小的值而减小，并且在较高的值下呈增加趋势（见图）19.和20.)．一般情况下，可以推断第一个带隙是展开的。最后，发现随着第一局域频率的增加，第二带隙的扩展并不均匀，但总的来说会变大。需要指出的是，当第二局域频率增大时，修正模型的第二带隙减小。

5.结束语

本文首先提出了一种新的涉及齿轮齿条机构的弹性超材料模型(1DOF模型)。然后，通过增加集中质量，将模型转换为具有多个谐振腔的新元结构，其中产生更多的宽带带隙。不同的系统参数允许我们通过改变它们来改变或扩大系统振动减少或消除的频率范围。不同系统参数对所考虑的超材料带隙间隔的影响总结如下:(我)通过增加集中质量并将模型由一自由度转换为二自由度，系统的动力学过程中产生了两个满意的带隙（ii）在1DOF模型中，为了实现更宽的带隙，一般采用无量纲参数和是增加还是无量纲质量参数应该减少(3)在2DOF模型中，通过增加参数，第一带隙的宽度增加 ， ， ，和和减少(iv)在二自由度模型中，第二带隙的宽度通过增加来提高 ， ，和或者减小参数 ．通过改变参数没有显着效果

数据可用性

这些数据将在通讯作者要求时提供。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

H. M. Sedighi感谢阿瓦士沙希德·查姆兰大学研究委员会的财政支持。SCU.EM99.98)。

工具书类

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