文摘
越来越多的关注被关注symmetry-adapted函数来描述磁结构的使用,结构扭曲,和不适应的晶体学。虽然计算等功能发达,可能出现重大困难等的生成过多或过少的基函数最小跨度线性向量空间。我们提出一个优雅的解决这些困难使用基础的概念集和讨论以前的工作在这一领域使用这个概念。此外,我们强调统一的不可约表示的意义在此方法中,并提供第一验证的晶体的空间群的不可约表示列表Kovalev是统一的。
1。介绍
symmetry-adapted函数的使用是建立在许多领域,如电子结构计算和振动模式分析。晶体学越来越多,其价值被认可。直接应用在磁结构的细化最初开发莎拉h(1),也可以在Fullprof [2TOPAS[]和相应的系统3]。最近的兴趣都集中在应用这种技术的发展推移相变作用[4- - - - - -9]。
在磁性、分析使用这些函数被应用到几个中子散射技术,包括球形中子偏振测定(10],单晶衍射[11,12),和粉末衍射13- - - - - -15]。
这种方法的基础是symmetry-adapted函数的推导使用表示理论的技术。磁性和晶体学这些函数通常被称为基向量(bv)和定义一些属性的命令参数产生的相变;bv的系数定义系统状态的一个参考。因此,通过二阶相变的朗道理论,他们在磁性物理意义,也可以与特征函数的自旋哈密顿(16- - - - - -19]。数量的一般性技术意味着不同的地方可以在相同的数学框架,研究了物理连接和对称性考虑基于标量的排序的有序无序转变,极向量(原子位移),轴向向量(原子的时刻),和更复杂的局部结构,如张量和四极顺序20.,21]。
构建bv是一个简单的,虽然辛苦,但任务(22]。一些系统属性的表示在其对称操作构造两个组件表示的直积。在这个符号,代表的对称排列的原子操作系统;代表着利益变换的一些性质相同的操作。幸运的是,不需要完整的矩阵表示和矩阵的特点是充分的。一旦这些已经确定,减少到一个不可约表示的线性组合(IRs):。最后一步是生成bv使用投影算子的方法。
一个常见的问题在执行这些计算是太少或者太多的基向量上的投影。Undergeneration彻底探索了斯托克斯et al。23];然而,overgeneration的问题没有被解决。在这个工作我们将讨论投影运营商使用“基础设置”的概念和应用使用的概念来解决,undergeneration;我们用一个例子说明了通用程序。此外,节6,我们将讨论表中列出的整体性国税局Kovalev [24),突出这个属性的重要性。我们首先定义什么是一组合适的解决方案和它们是如何。
2。基础设置的属性
任何属性的水晶,如磁结构或原子位移,可能被一个字段。轴系统这样一个字段是任意的,系统和可分割成子空间,每一个红外的对称的线性扩张。每个子空间与适当的对称,由套bv张成基础设置。整个系统的对称的基础由所有基础集,给出完整的线性向量空间。子空间转换为所需的依据是一组向量的
在这里是系统的对称群,表示操作的矩阵吗在红外,的顺序是。一组bv服从(1)将被称为基础设置;注意,基础设置总是的顺序出现。我们将使用基础的属性集,探索在和undergeneration部分4和5。
3所示。演讲的运营商
我们现在的关键方程投影算子的方法在两种形式25),讨论单一国税局的重要性在使用这些标准形式。换算公式定义为 在哪里矩阵表示的字符吗在表示。减少操作符的作用是确定系数,,当应用于一些表示。当矩阵是它的逆矩阵的共轭转置,那么它是统一的;组成的红外酉矩阵本身是统一的。酉国税局的假设下(2)可以改写其一般形式如下: 同样有两种形式的投影算符(严格来说,运营商提出了(4)和(5)不是投影算子;这名字是留给他们的幂等衍生品的;然而,这个短语“投影算子方法”是技术的代名词,因此我们将把他们从这里这个名字)。第一个适用于任何IR,第二行是投影算符派生酉国税局的假设下。
投影算子生成一个向量的集合从一个向量之间通过交换bv自己;特别是一群bv的对称性。因此,投影算符将“项目”一个完整的基础设置从一个BV。然而,一般情况下我们不会知道任何bv和我们必须考虑投影算符的作用在试验向量,。
投影算符的作用是将组成部分沿着并将其转换成;所有其他组件都转化为零。投影算子是最常见的形式(5),这限制了美国国税局是统一的;我们将讨论这一限制6。
4所示。Overgeneration
Overgeneration bv的投影比需要最低限度跨系统的自由度。相应地,一些派生的bv是线性相关的。问题是如何减少我们的解决方案是最小的,同时保留基底中的对称性特征。
通常相当于解决方案将成对出现,相关的复杂系数:。在这种情况下,简单的算法来确定等价关系。然而,当三个或三个以上bv是线性相关的,因为我们不需要bv是正交的,没有简单的方法来确定它们之间的线性关系。特别是,没有简单的算法来确定等价关系,从而计算bv是等价的。最常用的技术来解决这个问题是克施密特orthogonalisation,其中包括生成一组线性无关的函数通过先后将组件之前确定的正交向量。其困难在于消除了bv的自然对称。它还未能认识到,只有整个基础集可以被消除;否则我们的解决方案不是一组基础集和不能有正确的对称性。
描述问题,作为投影算符必须获得一组订单或为每个审判,很明显,当overgeneration发生太多的试验功能已经被使用。通过试验向量的明智的选择,如果我们都可以减少BV形式或者类似的东西,然后就可以确定哪些试验向量给出等价的答案和消除所有但其中之一。通过消除试验向量而不是基向量,bv的对称性。
4.1。Symmetry-Adapted试验向量
我们的目标是确定的方法构建一组适当的试验功能。如果两个bv是线性相关的,那么系统属性在每个点必须具有相同的线性关系。因此,通过控制如何生成属性在一个单点我们可以控制整个BV的一代。在投影算子的方法,生成的财产在一个单点和行动的所有运营商产生点的初始位置;如果我们考虑本身这些运营商们所谓的“稳定剂”,表示。
原子的属性是定义的向量(,,),由晶体轴定义。Izyumov和Syromyatnikov22)开发了一种形式主义的减少和投影运算符使用稳定剂。
的稳定剂形成一个集团,从而细分空间不变的子空间;通过选择试验向量躺在线路的不变性和飞机我们预计bv自然简化之间的关系。在许多情况下,这将是明显的不变性的线条和飞机所在稳定剂组,当它不是我们可以构建他们使用两次投影算子的方法。首先,审判自己预计的使用功能审判向量,,在这个职位。这些symmetry-adapted试验函数可以用于执行系统的bv的投影。
这种技术时尤为适当的降低系统对称相关职位分为轨道。考虑一些位置,在那里由一个rotation-reflection和一个翻译。如果是一组操作的“稳定”然后。因此,如果两个轨道相关的操作适当的试验功能是相关的。
在下一节中,我们将通过一个例子,标准试验函数产生过度的解决方案和确定一个更合适的试验。下面的例子分裂成两个轨道扭曲的订购,我们表明,该试验函数给出了轨道都有关系(9)。
4.2。工作的例子
考虑到空间群(214)和向量,与一个原子的位置。根据操作的空间群向量,,有三个职位,,。利用萨拉h,可能的原子位移分解如下:
每一个红外的秩序,因此我们预计从每个红外bv是投影。
基向量生成的使用标准的试验向量,,表中列出1使用以下符号:
BV从红外投影吗,使用每个试验矩阵和向量的矩阵元素在这个职位。它由一系列的向量,对晶体轴定义的位置。投影使用标准的试验函数生成六个明显不同的bv,而不是所需的四个换算公式;显然一个审判的功能是多余的。它可以显示;然而,这种解决方案既不是明显在检查也不是简单的决定。
以下部分的策略4所示。2,我们试图确定一组symmetry-adapted试验函数简化BV的关系。稳定剂组的位置是一群旋转。这群的不变的子空间和垂直的平面。因此我们选择一个试验向量说谎和其他两个躺在选择右手套形式,,。如表所示2,这些试验向量重整模量1。还列出bv symmetry-selected组试验产生的功能。通过检查,,我们可以消除或从我们的投影。因此选择合适的试验功能我们已经有了一套解决方案很容易明显过剩的bv。
进一步,我们的例子是分成两个轨道,以往被视为第二轨道被相关的原子位置通过以下操作:
使用(9),以下试验函数生成的第二个轨道:,,应该生成bv所需的线性关系。bv的第二个轨道,利用这组试验功能,展示在表3。检查显示,再次,我们可以消除或。我们注意到,这种方法也适用于轨道corepresentations下加入。
5。Undergeneration
Undergeneration显然无法完全使用bv跨系统的分解生成的投影算子的方法。的投影算符改变生成一个基础设置有不同的对称性;因此,只有自由变量来解决正当性不足。这个问题已经彻底的斯托克斯et al。23),定义,当不同的列索引将产生不相等bv。讨论这个问题是很有用的使用基础集来演示这个概念理解的力量投影算子的方法。
基向量集发生在基础变换在两个关系:
显然从考虑这两个方程的枚举bv不是任意的;它定义了如何bv相互关连在将它们所属的基础。此外,基础设置的数量的对称正是,在每组bv将标签。因此,虽然编号也不是任意不是独特的。的作用在一般的向量是项目的组件成。同样,的作用是项目的组件成。然而,没有限制和来自相同的基础集。
因此,我们得出结论,不同的行索引产生相同的另一个成员基础集,而不同的列索引从不同的基底集合生成一个BV(可能是等效的)。
6。统一的检查
节3强调,投影和减少运营商通常遇到的形式限制了美国国税局是统一的。他们使用nonunitary国税局会产生bv缺乏正确的对称性。不对称关系bv——或者overgeneration下可以实现;因此,关键是为这些计算讨论国税局的可能来源。
国税局源自Zak的方法(26),通过推导,单一;美国国税局输出的计算机代码KAREP [27)和repr (28)就是这样的例子。然而,当使用国税局从整理表统一的属性必须明确证实。这样做是为Kovalev戴维斯和遗嘱的表(1991)(29日,我们在这里繁殖方法的大纲。
验证的方法是蛮力计算。我们的算法为每个对称元素决定,一些对称元素的是一个identity-translation,由一个复杂的号码吗。如果红外是酉同态将会改变的共轭转置如下:
的矩阵是正常的仿射矩阵表示的操作。向量,被称为向量,定义了调制的平移周期性结构,翻译是一个函数的表示的点积向量。
这项工作表明,美国国税局在Kovalev的表确实是统一的和验证中使用的投影和还原技术为基础的计算机代码,比如萨拉h(1]。
7所示。结论
应用程序中的一个常见问题的投影技术在晶体学是身体问题,undergeneration基向量。理解方法的基础设置允许构建解决overgeneration通过使用,和随后的消除,symmetry-adapted试验功能。这种技术可以确保解决方案是一套基础集和所有必需的对称性。
进一步我们显示的整体性国税局Kovalev之前提出的限制在美国国税局的投影算符,任何困难bv的最小生成集合上的投影是这个结构的结果。
相互竞争的利益
作者宣称没有利益冲突。
确认
作者要感谢伦敦大学学院的资金的支持这项工作。