回顾Constraint-Handling技术进化策略

文摘

进化策略成功的全局优化方法。在许多实际数值问题约束并不明确。进化策略必须结合技术来优化空间限制的解决方案。著名的点球constraint-handling技术和多目标方法。过去的研究表明,特别是一个坏脾气的坐标系统之间的对齐高斯变异和约束边界导致过早收敛。协方差矩阵适应进化策略提供了一个解决这个对齐问题。最后,元建模的约束边界导致重要的约束函数调用和储蓄的加速修复不可行的解决方案。这个工作简要概述constraint-handling进化策略方法演示实验的方法在两个模范受限的问题。

1。介绍

许多连续优化问题在实际应用受到限制1]。约束可以使一个简单的问题变得困难和难题更加困难。令人惊讶的是,在过去只有小研究工作致力于开发高效和有效的能源投资约束函数处理技术对比了无约束优化问题的新方法的发展。这个观察也适用在进化计算领域。本文致力于constraint-handling技术开发,特别是进化策略。总结我们的研究的领域的最后几年constraint-handling和过早减少步长(2- - - - - -7]。在实值的解决方案空间受限的问题很难解决由于坐标系对齐问题导致过早健身停滞。我们不仅审查等一般方法惩罚函数,而且还专门方法开发解决坐标对齐的问题,通过总结每个constraint-handling方法,说明实验结果对两个典型测试函数和讨论的优点和缺点。

这一节的其余部分简要介绍进化策略,限制问题,constraint-handling技术的分类。部分2介绍了三个例子著名家族的惩罚函数。bioinspired多目标的方法是综述部分3。专注于坐标系对齐的方法介绍了部分4,而部分5致力于元建模的约束边界。

1.1。进化策略

进化策略(ES)是一个家庭强烈的随机全局优化的方法。由Rechenberg [8]和Schwefel [9),他们已经成为全球著名的数值优化,即非凸优化。在每个迭代中后代产生和解决方案以下一代的最佳选为父母。ES的一个重要基础是自适应高斯变异算子,在本文中,我们简要地重复。一个人的——与维目标变量向量突变在以下方式:

而提供一个高斯分布的数字。策略参数向量进行突变的典型变化——对数正态分布突变:

交叉算子运算重组是应用在大多数情况下。一个详细介绍由拜尔和Schwefel [ES我们推荐介绍10)或介绍性章节ES Eiben的书(11]。

1.2。约束问题

进化计算领域的约束通常不被认为是显式的正式形式。相反,约束是假定为黑盒:一个向量美联储的黑盒只是返回一个数值或布尔值。如果有一个数值响应,那么积极的价值信息可以用来评估距离可行的解决方案。许多constraint-handling利用这种信息的方法。一般来说,约束连续非线性规划问题定义如下:找到一个解决方案在维解空间最小化目标函数在符号:

一个可行的解决方案满足所有不平等和平等的约束。一个可行的解决方案,最大限度地减少称为一个最佳的解决方案。如果对于一些不等式约束的最优解据说,那么约束活跃。我们假设约束函数的评估计算昂贵,返回值是布尔和提供的信息是否解决方案是可行的。为了能够开发更高级的constraint-handling技术,例如,修理或可行性检查方法,元模型的约束函数可以由特定的假设,也就是说,是线性,二次等等。

以下两个测试函数的极好地演示过早健身停滞的现象,将在下面几节中,讨论是一个挑战对于大多数constraint-handling技术。这两个函数将用于方法的讨论了在当前的纸。问题2.40制出Schwefel人工测试的问题(10]-展览一个线性目标函数和一个最佳的五个活跃的线性约束。问题是最小化

受

用最小的和。

第二个问题就是切线问题(TR)。它是基于球面模型受到一个线性约束: 与和。的成功率TR近似最优时变得更糟。在本文中,我们将关注TR的问题TR2维度,表示。

1.3。一个简短的Constraint-Handling方法的分类

各种constraint-handling进化算法的方法已经发展在过去的几十年。他们中的大多数可以分为五个主要类型的概念。

()惩罚函数减少不可行的健康解决方案通过的数量不可行的约束或距离可行性考虑(12- - - - - -16]。惩罚函数的历史始于Fiacco和麦考密克的序列无约束极小化技术13)的约束问题是解决无约束优化的序列。惩罚因素逐步加剧。类似的方法惩罚因素可以定义静态(14)或根据满足约束的数量(16]。他们可以动态的数量取决于代Joines和Houck提出(15]: 在一代、参数和用户定义的;典型的设置,,或。是一个测量的约束违反。一个常见的定义是与因素和。惩罚可以根据外部冷却方案(15)或自适应启发式(12]。在死刑的方法(5)不可行的解决方案被拒绝和创建新的解决方案,直到足够的可行的存在。种族隔离的遗传算法的暴发户et al。17)两个惩罚函数,弱者和强烈,为了计算最佳。在共同进化的罚函数方法Coello Coello [18内部的惩罚因子进化算法是由外部适应进化算法。一些方法是基于假设任何可行的解决方案是比任何不可行(19,20.]。例子被Hoffmeister度量惩罚函数和Sprave [21]。比较可行的解决方案不可行的解决方案比较时使用目标函数考虑约束条件的满足。类似的方法是Oyman et al。22]。适应度函数取决于父母和孩子人口在每一代,因此,成为一个动态的方法。在他的方法称为stochastic-ranking Runarsson [23他使用元模型来预测两个适应度函数值和基于约束违反的处罚。从这个角度来看相关的方法是基于约束边界元建模的方法。

()修复算法代替不可行的解决方案或只使用不可行的修复解决方案评估吊坠(24,25]。这类算法也可以被视为本地搜索方法,减少约束违反。修复算法生成一个可行的解决方案不可行。Baldwinian情况下,修理解决方案取代了健身的健身最初的解决方案。拉马克的情况下,可行解决方案覆盖不可行。一般来说,定义一个修复算法可以解决问题本身一样复杂。

()译码器的功能基因型映射到表型的保证是可行的。解码器之间建立一个关系约束的解决方案空间和一个人工解空间容易处理(25- - - - - -27]。他们一个基因型映射到一个可行的表型。通过这种方式甚至完全不同的基因型可能映射到相同的表型。Eiben和史密斯11)解码器定义为一个类从基因型空间的映射可行的地区解决方案的空间有以下属性:每一个必须映射到一个单一的解决方案,每一个解决方案必须至少有一个表示,每必须有相同数量的表示(这个不需要)。

()可行性和运营商保留表示迫使候选人解决方案是可行的28,29日]。一个著名的例子是GENOCOP算法(27),降低了凸的问题搜索空间和线性约束。捕食者-猎物的方法来处理约束提出了Paredis [28使用两个独立的人群)。Schoenauer和Michalewicz29日]提出特殊的运营商,是为了限制搜索区域附近的活跃。全面概述decoder-based constraint-handling技术是由Coello [25)也由Michalewicz和福格尔(27]。

()多目标优化技术是基于处理每个约束的概念作为一个目标(30.- - - - - -35]。在这种假设许多可以应用多目标优化方法。这种方法是使用Parmee和购买34],吉梅内斯和Verdegay [32),Coello Coello [31日,萨里郡et al。36]。的行为记忆方法Schoenauer和Xanthakis [35]EA集中在最小化约束违反每个约束在一定的顺序和优化目标函数的最后一步。

当然,constraint-handling存在不符合分类的方法。蒙特斯和Coello Coello [37]介绍了技术基于结果ES与可行性比较机制。的约束的微分进化方法Takahama和酒井法子(38)结合使用的等式约束的微分进化。由梁和Suganthan[动态multiswarm粒子优化器39)利用一组subswarms专注于不同的约束。它是结合序列二次规划作为一种局部搜索方法。的方法Mezura-Montes et al。40结合微分进化,不同的变异算子的概率增加生产更好的后代,三个选择标准,一个多样性的机制。Mezura-Montes [41)方法给出了调查constraint-handling进化算法的方法。

在下一节中,我们将比较各种方法从不同领域和比较它们,特别是关于提到的过早步长问题。下一节将展示这个问题实验。

2。惩罚方法

进化搜索是根据候选人的质量解决方案。因此,一个显而易见的解决方案不可行方法的健康恶化[约束函数处理是11,25]。这里我们回顾三罚函数作为模范地。死刑是最简单的方法,但是浪费相对许多约束函数调用。段落2.2是一个典型的点球技术解决方案的惩罚对搜索的进度。死刑步控制方法,防止过早减少步长是综述部分2.3。

2.1。死刑

首先,我们将分析死刑的行为,也就是说,简单地丢弃不可行的后代的解决方案(42,43]。这是第一次我们可以观察到过早健身停滞。表1显示相应的结果(15100年)——问题2.40和TR2使用以下设置。我们使用突变引入部分1。1与设置和和算术重组随机选择的父母。本文中所有实验使用相同的实验设置,除非显式声明。终止条件是健身停滞:如果健身赢得世代算法终止代低于。在这种情况下步的大小尺寸太小,效果进一步提高。参数最好,意思是,和dev描述最优实现健身(区别健康和健身的最佳解决方案)25实验运行而ffe数的平均数适应度函数评价和约束函数的cfe评估,分别。结果表明,死刑不能满意的近似最优问题。相对高标准偏差dev表明算法产生不能令人满意地不同的结果。

我们可以总结死刑的行为提到的优势死刑很容易实现。缺点是死刑效率低下是许多不可行的努力都浪费了,患上了过早收敛。下列方法旨在防止过早收敛。

2.2。动态惩罚函数

问题出现动态惩罚函数是否也遭受过早收敛。要回答这个问题我们测试的罚函数Joines和Houck [15)基于不可行的解决方案添加一个点球

与参数,和约束违反。罚款的数量取决于迭代过程中,减少时间。表2显示了实验分析2.40和TR2罚函数的和。算法是基于一个(15100)——使用相同的设置在2.1最后一段。算法停止前,但结果更糟,显示,过早健身停滞时,。原因很明显:成功率附近的不可行搜索空间仍然很小,因为penalty-no不管由于丢弃或惩罚。因此,我们可以总结如下:动态惩罚函数容易实现,不需要可行的起点。但缺点是动态惩罚函数患过早收敛。相关工作在惩罚函数可以在找到12- - - - - -16]。

2.3。步控制死刑

最明显的修改,以防止过早减少步长是引入最小步长突变的优势与:

这正是死刑控制步进化策略(ds)的目标是在[5]。然而,下界的步骤大小也会防止无限逼近最优时达到的范围。因此,ds使减少使用控制机制在收敛到最优解。还原过程取决于数量的不可行突变时产生的面积达到最优可行解空间的边界。的还原过程取决于数量拒绝不可行的解决方案:在每一个不可行试验,减少的一个因素吗根据方程

ds是用(;]- ds。再一次,我们展示的行为constraint-handling TR2和2.40方法问题;见表3。的方法能够近似最优问题2.40相对适应度函数评价很少,但是浪费约束功能评估。直观地说,五个活跃的线性约束问题2.40造成许多不可行的样本,那么步距还原机制。在困难TR2低成功率等问题仍然防止任意的近似最优解。ds的成功取决于一个合适的减少的速度,适当的参数设置和。减少过快导致早熟收敛;减少太慢是效率低下。其他测试函数进一步的实验也证实了这一点。

再一次,我们总结出以下结果:步控制死刑很容易实现,并给出了一个改进的近似最佳状态与活跃的约束。但缺点是步控制死刑消耗很多约束函数的评价,它的成功取决于正确的参数设置,以及在一些问题可能仍然遭受低成功率。更详细的实验分析ds可以在找到4,5]。

3所示。多目标Bioinspired方法

熟悉的变体来处理约束是对待每个约束或一个聚合的总和所有约束和目标函数作为单独的多目标制定的目标。类似的方法介绍了过去(30.- - - - - -35]。这里我们回顾类似constraint-handling技术将实现约束和目标函数的优化作为单独的目标优化人口使用一个特定的选择方案。bioinspired概念提供了一个低成功率的问题的答案:我们的生殖进化策略(克莱默和Schwefel [5)允许候选人解决交叉约束边界。的机制执行最优源于自然的方法。不同性别的个体被选中的个体间不同的标准和自然只让配对不同的性别。constraint-handling意味着转移这一原则:每个人的两性进化策略(tse)是分配给一个功能叫做性。类似于自然,不同性别的人根据不同的选择标准。人与性目标函数的选择。人与性选择满足的约束条件。中介重组算子起着关键的作用。父母之间的重组只允许不同的性别。一些修改是必要的,以防止爆炸的步长,也就是说,一个两步选择算子对个人的性行为类似于运营商Hoffmeister和Sprave21]。列表的传染性海绵状脑病的变异和修改我们指5]。人口指出——指数决定了性,也就是说,对于目标函数和为约束条件。

表4显示实验结果TR2和2.40的传染性海绵状脑病的问题。虽然死刑完全失败问题2.40 (88、1387)的传染性海绵状脑病每个运行达到最优。现在,更好的近似困难TR2问题是可能的。然而,近似质量仍有可能进一步改善和分析测试问题,可以发现在4]形式的传染性海绵状脑病是成功在许多约束问题,但不是全部。幸运的是,tse相当强劲,被选中的人口比率。

我们可以总结两名性进化策略改善最适条件的近似与活跃的限制,允许不可行的起始点,节省了约束函数评估,例如,ds相比,是非常健壮的参数变化。但缺点是,两名性进化策略仍然得到了许多适应度函数评价;一些问题可能仍然遭受成功率低,例如,在TR2。

4所示。坐标定位技术

在实值优化坐标系统扮演重要的角色。如果变异算子的坐标系统,例如,高斯变异,坐标系统不一致的目标函数,这是经常在黑盒optimization-undesirable影响可能发生像过早减少步长。

4.1。过早减少步长

过早的现象减少步长在约束边界进行了分析(2)——特定的条件最优位于约束边界,甚至一个顶点的可行的搜索空间。在这种情况下进化算法经常遭受低成功概率约束边界附近。在简单的情况下,也就是说,一个线性目标函数,线性约束,和一个相对简单的变异算子,过早收敛的发生由于过早减少步大小的证明。图1说明了原因过早减少步长。我们假设突变产生的简化情况下的边界。的大变异的优势(),成功的区域,标记的部分的圈子里,是小相比,比在整个圆,圆不削减约束边界()。因此,创作出成功的突变的概率是高小步大小和这些突变时喜欢优化。这是一个坐标系统一致性问题:如果独立的步骤大小和坐标旋转突变圆可以适应突变的椭球地区成功是不受限制的约束边界。

阿诺德和布劳尔44]分析了线性约束的行为边界和模型搜索点和约束平面之间的距离与马尔可夫链。此外,他们讨论基于步长适应机制的工作成功的概率。

4.2。有偏见的突变

标准的形状突变椭球是高斯。最好的修改来提高成功率的情况将会是一个更灵活的突变分布函数。稍后,我们将看到一个突变的旋转椭球体是一个合理的任务。但是是一个变形也足够的解决低成功率?有偏见的突变旨在偏压高斯分布的均值为有益的方向自适应(7]。一个自适应偏差系数向量决定了这种偏见,增加自由度方向的变异算子。这些额外的自由度提高繁殖成功率的优良的后代。区间内的变异算子调整偏差方向(左)和(右)在每一个维度:

这个相对方向必须翻译成绝对偏差向量。为了这一步的大小可以使用。对于每一个偏差向量被定义为

因为偏差系数的绝对值小于或等于1,尺寸偏差将被绑定到一步。这个限制可以防止搜索被偏见太远离父母。因此,偏见突变工作如下:

允许自适应偏差系数是突变在下面meta-EP方法:

与参数确定突变强度偏差。有偏见的变异算子(蒙特利尔银行)偏见的均值突变,使标准外的ES繁殖后代变异椭球。直接搜索,有偏见的突变使椭球的中心移动的范围内的常规步骤大小。一个自适应最初的变体自适应有偏见的突变是血统变异算子。它估计两个人口下降方向的中心和一代又一代。让在一代人口的中心:

规范化下降方向两个连续的人口中心和是

类似于蒙特利尔银行、血统变异算子(DMO)现在变成

DMO是合理的,只要位置是正确的假设:全球最优的估计方向可以从当地的信息,也就是说,连续两个种群的下降方向的中心。再一次,我们分析有偏见的变异算子在测试问题在表2.40和TR2并显示结果5。为了适应增加后代个人的偏见是必要的。偏差突变参数设置为标准设置。我们的实验表明,蒙特利尔银行和DMO都能够改善结果2.40题。实验表明,突变分布变形提高了成功rate-intuitively通过转移突变椭球的中心,后者不切断不可行解空间。但结果表明,困难近似问题TR2仍不容易。

我们可以得出结论,有偏见的突变提高了近似的最适条件积极约束。血统的偏见突变是比较有效的,尤其是比蒙特利尔银行更有效。但缺点是有偏见的突变消耗很多健身和约束功能评估,一些问题可能仍然遭受低成功率。

4.3。突变旋转椭球体

相关突变Schwefel [45)旋转的轴超椭圆体适应健身景观的局部特性。三种方式都可以旋转椭球突变的帮助可能的旋转角度:

(1)这一情况下,自适应的旋转旋转角度成为策略参数和算法来优化本身,(2)一个旋转的帮助下共同进化的方法,(3)元模型的约束边界约束边界的方向。

表6显示了自适应相关突变的实验结果(SA-ES) metaevolutionary方法((3,15 (15))-MA-ES) (5),并使用元模型估计相关的突变(MM-ES)和二分搜索的步骤。利用突变相关其他策略参数,为超椭圆体的旋转角度。的自适应过程SA-ES未能自动调整角度。的参数空间大小和步角度太大成功通过自适应适应。MA-ES是一个嵌套,即外部ES演化的角度优化问题本身的内在ES。当然,这种方法相当无效也外的一个健身评价ES导致整个运行内部ES的原始问题,但结果证明超椭圆体的旋转有很强的影响近似TR2能力问题。MM-ES方法能够评估适当的旋转角度和控制变异椭球近似最优。我们使用的线性元模型中引入部分5。的旋转角度可以估计计算法向量估计的超平面和突变的轴椭球。这是一个简单的任务在两个维度。MM-ES方法之间的比较和二叉搜索步骤显示它有利于投资寻找精确的元模型估计:元模型具有较高的精度提供了更好的近似结果。

显然,与突变椭球坐标系对齐问题已经解决了旋转。但自适应旋转不会导致令人满意的结果,而metaevolutionary方法是低效的。在接下来的段落我们将调查的协方差矩阵是否适应技术,旨在使坐标系统,能够自动调整其协方差矩阵约束问题没有一个元模型。

4.4。协方差矩阵技术

过去的研究专注于协方差矩阵约束函数处理错过适应技术。这是一个惊人的事实,没有复杂的constraint-handling技术对这些算法介绍了到目前为止。然而,现在我们将分析坐标系对齐的问题是否可以解决协方差矩阵适应使用死刑。协方差矩阵的思想适应技术是适应的分布变异算子的概率重现步骤,导致实际的人口增长。这种想法类似于分布估计方法。协方差矩阵的适应进化策略(CMA-ES)介绍了汉森(46]和Ostermeier [47]。问题的结果CMA-ES TR2和2.40可以在表中找到7。令人惊讶的是,CMA-ES能够应付周围的低成功率TR的优化问题。我们观察到的平均数量在近似不可行的解决方案。这表明一个合理的适应突变的椭球体。分析的主要轴线的夹角突变椭球和约束函数表明,它收敛于零,同样的大小在近似最优的一步。因此,坐标系统校准成功。

我们可以得出结论,CMA-ES能够自动调整坐标系统没有一个元模型。最近的结果表明,可以实现加速如果协方差矩阵旋转的帮助下一个元模型完全达到约束边界时(3]。

5。元建模的约束

在黑盒的场景中给定的约束边界不明确。元建模的约束允许高级constraint-handling方法。元模型可用于不同的目的,例如,检查修复的可行性和不可行突变,而且我们已经看到在前面的部分控制变异椭圆体和协方差矩阵。元建模的目标函数进化优化[已经开发了一个成功的标准48- - - - - -50]。

5.1。线性约束估计

对约束元建模可以应用各种分类和回归方法。线性约束一个元模型的情况下,基于抽样不可行点和二进制搜索段到最后可行点了(3]。方法的工作原理如下:首先,确定模型的中心点估计量。当第一个不可行个体后代生产,可行的父母吗相应的元模型估计的中心,距离变得半径模型的估计量。然后,随机分表面生成超球面。点是一个超球面的中心和半径,这样的约束边界。在维额外的不可行点,必须生产。模型估计产生的不可行点采样表面上的超球面半径直到生产足够数量的不可行点。表面上的点与均匀分布随机采样使用马的方法(51]。在该算法产生的第一步高斯分布的点和长度尺度数字。进一步扩展和改变产量随机分布的超球面表面。

在下一步的二进制搜索应用程序来识别点在约束边界:可行点之间的界线和th不可行点真正的约束超平面在点。我们近似这段与二进制搜索。中心最后的时间间隔定义为最后一分二分搜索是一个估计的观点在。图2说明了情况。关于估计角误差,真正的超平面之间和。

在最后一步,我们计算法向量的使用点约束边界。我们假设点,,线性无关的向量表示为直线的端点他们躺在生成一个随机过程。一个连续的gram - schmidt正交化th向量上th之前产生向量法向量的。注意,我们估计法向量的线性约束模型只有一次,当第一个已发现不可行解决方案。后来更新步骤只关心当地的支持点仿真(因此,在迭代线性模型指定的法向量和当前的支持点)。起初,任何点可能是支持点。对后两种情况需要杰出的更新步骤。让突变椭球中心之间的距离和约束边界在时间,让是二叉搜索步骤的数目达到角的准确性。

(1)搜索(即。,the center of the mutation ellipsoid)方法:如果距离之间的和变得比的reestimation支持点是合理的。(2)搜索平行移动:一个超越的距离 与引起reestimation。

我们使用二进制步骤之间的线电流和不可行的解决方案找到新的支持点。

对非线性约束其他回归或分类技术可以考虑支持向量回归和支持向量机(52]。

5.2。可行性检查

元模型可用于检查新的解决方案的可行性,以减少约束函数评估(3]。为此约束边界的准确评估是必要的。检查潜在的可行的解决方案与一个真正的可行性评估约束函数。两个错误预测个体的可行性是有可能的。

(1)该模型预测,是可行的,但事实并非如此。要检查这一类的可行性。这将会导致一个不必要的约束函数评价。(2)该模型预测,是不可行的,但它是可行的。个人将被丢弃,但可能是一个非常好的近似最优。

作为模范地,我们采取前款规定的线性约束元模型考虑和测试可行性检查方法。一个安全裕度 可以减少2型的错误的数量。我们设置的距离突变椭球的中心和估计的约束边界。因此,之间的距离和移位的约束边界就变成了。定期更新的约束边界点的支持是必要的;见以前的部分5.1。表8显示的结果CMA-ES可行性检查使用约束元模型。我们可以观察到健身的一个重要储蓄和约束评价高的逼近能力。

5.3。解决方案修复

修复方法的项目不可行突变在约束边界。我们假设角度误差可以估计二叉搜索步骤的数量。解决方案修复方法的投影向量是细长的,长度。图3说明了情况。让支持超平面的点在时间,让不可行解。它认为,和。我们得到了

投影到潜在的可行域的伸长担保个人修复的可行性。然而,它可能防止收敛快,特别是在地区远离超平面支持点作为随着长度的增加。超平面的中心每一个更新一代又一代。CMA-ES修复算法的结果可以在表中找到9。我们观察到明显降低适应度函数评价,特别是TR2题。搜索集中在不可行的边界搜索空间,尤其是在可行的网站。

6。总结

许多constraint-handling方法存在进化策略,在惩罚函数。由于低成功率的约束边界,ES没有坐标对齐技术常常找不到顶点的最适条件的可行解空间。死刑步控制方法和多目标生物启发两个性ES防止过早步长减少一些问题,但它的成功取决于正确的参数设置。低成功率的约束边界可以增加与坐标系统校准技术。第一步到这个方向是偏向突变技术,也就是说,有偏见的突变和血统有偏见的突变。可以实现更好的结果与metamodel-based突变椭球旋转。这个旋转无法实现自适应,但与协方差矩阵自动适应机制。后者显示了出色的结果,甚至TR2等难题。进一步改进CMA-ES元建模可以实现:约束边界代理人可以用于预测突变和修复不可行解决方案的可行性。最后,表10总结了最好的结果,可以实现在两个问题结合CMA-ES协方差矩阵旋转,不可行解决方案的可行性检查和修复。

元建模的约束可能会成为未来的研究越来越重要。非线性模型会增加可行性预测的准确性。先进的回归方法将提高修复不可行的解决方案的准确性。进一步constraint-handling方法的适应突变的概率分布和协方差matrices-also非线性元模型。

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