谱表示与小波包相结合生成长周期地震动

摘要

远场的长周期的地面运动（以下称长周期地震动），具有低频分量负责高层建筑的谐振响应。在这种情况下，它是有益的与时程分析的援助，以评估这些建筑在长周期地震动的动态性能。本文提出了一种通过组合由频谱表示与由小波包模拟高频成分合成的长周期成分产生长周期运动的方法。稍后抵达长周期表面波（IaIp的表面波），它们在相分散体的理由决定的，在感兴趣较长表示在速度谱的感的主要长周期性质。为功率谱密度的解析表达式被用于捕获IaIp的速度表面波的窄带特性。同时，高斯随机过程的修改在时间和频率域中被执行以获得一个调制初始种子运动，其示出了目标的地面运动的可变性。高频成分的模拟是通过迭代的方式完成，其中小波调制种子运动的系数被调整，以匹配目标反应谱和累积能量曲线图。此外，合奏的实现和目标运动之间的比较表明了该方法的可行性，以产生长周期模拟共享类似的性质目标运动。

1.介绍

具有主导低频分量的远场长期地面运动可能使高层建筑能够激发持续数分钟的共振响应[1]。据报告，在长期地面运动下，结构部件或非结构部件损坏会导致不安全占用和大量维护费用[2- - - - - -5］.因此，有必要评估由时程分析的手段进行长周期地震动这样的结构的性能。然而，随着能力的网络来记录高信噪比在长周期范围是不够的。此外，在地震活跃区的大震级事件有发生的概率较低，占长周期地震动的低可用性。为了应对这一挑战，人工地震地面运动是必不可少的，丰富的长周期地震动的电子图书馆。

产生与规定的频谱兼容的地面运动对工程师是有吸引力的，因为它被认为是随机模拟的扩展。本质上，这个过程在频域中修改傅里叶分量的振幅，以达到与给定响应谱紧密匹配的实现[6，7］.然而，基于傅里叶的修改而不涉及时变频率内容的未能生成加速时间序列的非标准。为了规避这些缺点，引入了以时频离散化的特征的小波分析以产生人造地面运动。例如，Spanos等人。[8，9]，采用谐波小波对小波系数进行迭代修改，合成符合中国或欧洲抗震法规规定的设计响应谱的人工地震动。参考Yamamoto和Baker提出的基于小波包的随机模型[10，黄和王[11]在时域中的频域和累积能量中的响应频谱完成了人工加速度的产生条件。然而，这些方法的限制是与目标光谱的相容程度随着期间转向长期范围而降低。

根据地震机理，长期地运动的特征在于LAP表面波，其从盆地或平原的边缘的体波转换为[12- - - - - -15］.由于这些现象，考虑到来自LALP分量的能量主要相对于高频分量的能量，发展了具有宽带长周期特征的长周期地面运动的识别[16]然而，有人认为，在特殊情况下，以速度轨迹形式出现的LALP表面波相当于具有窄频率分量的正弦波的总和[17，因为LALP表面波振幅的放大发生在特定的长周期。因此，从频域长周期特性来看，长周期地震动与类脉冲地震动具有相似的性质。穆斯塔法和竹胁[18]采用了一个类函数克罗内克δ来描述基于平稳过程的具有一个或几个主要频率的类脉冲轨迹的频率分量[19- - - - - -21］.相比之下，长周期运动的有限差分方法则以计算资源和地震信息为代价[2，22，23]不适用于工程社区。在这方面，长期运动长期组分的光谱表示可用于满足工程实践中的需求。

本文的目的是通过生成长周期分量的谱表示和模拟高频分量的小波包来生成长周期地震动。为了实现这一目标，基于相位色散，从加速度时间序列中截断由LALP分量组成的时间段。然后，在稳态窄带过程的假设下，模拟了LALP表面速度轨迹。另一方面，由于在时间和频率域中对高斯随机过程进行修改，从而生成初始种子运动。通过迭代过程调整初始种子运动的小波系数，以生成与目标频谱和累积能量图兼容的高频分量。最后，与目标运动的仿真比较表明，该方法有可能产生与目标运动具有相似长周期特征的地震动。

2.长期组成部分

2．1．长周期组分的测定

类似于人工产生类似脉冲的地面运动[20，24- - - - - -26[确定时间历史的哪个分数捕获总长期特征是从体波分离表面波的关键问题。这有助于随后的数值建模。实际上，由于在大多数情况下，因此没有原则可以尽可能准确地从其时间历史中与时间历史进行分离，因为在大多数情况下取决于频率的组件总是重叠。但是，参考文章[14，15]，传播介质中波列速度的变化说明了相位色散，这被称为“包络延迟”[13]。具体而言，长周期表面波的速度随周期而增加，而体波的速度随周期而降低。

为了说明本质上的相位色散，我们通过一组窄带高斯滤波器估计相位的到达时间，这些相位依赖于周期[27，28］.Two acceleration time histories for CHB002EW and TKY023EW with epicentral distances 367 km and 377 km during the 2011 Tohuku, M9 earthquake, are considered representatives of long-period ground motions. Thus, we use them as examples to illustrate the proposed method in the following sections. As shown in Figure1，周期为2、5、7和10的阶段 使用高斯滤波器分别从两个记录中提取sec。相位的变化以包络峰值对应的到达时间的形式显示。可以看出，随着周期的减少，长周期相位的到达时间趋于较晚，而2 sec阶段与PGA阶段几乎同时到来。这一总体趋势与意大利Po平原长周期运动分析的结果一致[27］.

本文定义了确定长周期分量的原则。条件是截断的时间序列应与其原始记录在长周期特征方面很好地匹配。按照这条线，步骤如下。

第一，最大间隔计算加速度时间序列的零平交道口，以便 最早到达的长期分量基于上述相位分散来确定;其次，阶段的阶段利用设计的窄带高斯滤波器从其加速度时间序列中提取;最后，一个参考时间点用于确定LALP表面波应该满足条件， ．在这一点上，我们可能会寻找一个合适的 ，之后，由足够的表面波组成的时间段使时间段的速度响应谱与其主要长周期的原始记录一致。注意滤波相位的第一个波包是否如图所示2和是PGA的到达时间。

详细说明了条件那是我的名字吗通常被视为过滤阶段的到达时间，周期为[15，27]; 然而，由于相位色散和散射效应，预计被截断的时间段在主周期处包含尽可能多的足够表面波能量，从而导致 ；同时，后发面波由体波转化为面波是合理的[14，15，因此得到的下界为 ．

因此，示例如图1所示2．这对于CHB002EW，其值为3.04 秒，以及相应的 ；具有中心时段的高斯过滤器P.用于提取图中所示的相位2（a）；然后，如图所示2（b），主要由长周期表面波组成的时间段从其加速时间序列截断，参考 ，这是由其速度谱与原始记录相匹配的速度谱（图中所示3.）.类似地，TKY023EW的过程如图所示2（b）．确定的参数这些记录列于附表1．

这是从图中观察到的3.截断波在长优势周期的速度响应谱与相应的原始记录的速度响应谱一致。相比之下，在短期内会有明显的偏差。在这方面，截断的波能够捕获原始记录的总的长周期特征。

2．2.长周期组件的表示

如上所述，截短波具有长周期特性，其特征是窄带特性。因此，在平稳功率谱密度函数(PSDF)的基础上，生成了由LALP面波组成的长周期分量的模拟。因此，模拟LALP面波的PSDF的指数形式为式(1)，根据有关长周期波的工程得出： 哪里是用于调制振幅的缩放常数；表示角频率（Rad / s）; ， ，和是与频域相关的系数。

形式对角频率的导数给出如下：

很容易知道，最大的值获得当 等于零，则确定了主角频率。然后,方程(2)可以重写为

通过对该方程的求解，其固有频率为:

方程式(4），系数 ， ，和共同控制优势频率，PSDF的可变性是通过调制三个系数之间的相对比例。如图所示4，各参数的归一化psd ， ，和展示功能捕获窄带宽的功能的能力，其中集中了最大的能量。同时，当主导频率朝向更高的频率移动时，带宽变得更宽。

利用带有高斯平滑的Welch技术的修正周期图，从LALP速度表面波估计一个实际的PSD。通过拟合解析函数方程(1)的非线性最小二乘意义下的实际PSD。因此，拟合公式如下:

因此，参数 ， ， ，和对于记录CHB002EW和TKY023EW，在表中列出1．使用实际PSD的产生的PSD的比较在图中示出了5(一个)和5 (b)分别地一般来说，考虑到窄带特性，分析函数在模拟实际PSD时表现良好。

对于时域，我们使用希尔伯特变换来获得速度时间序列的瞬时振幅。信封对于LALP速度，时间序列中的面波计算如下： 在这是希尔伯特变换，速度是时间序列吗时间是瞬间的。

如图所示的瞬时振幅6，多个本地最大值增加了选择适当的包络模型的难度。为了减少偏差，通过使用多模式点法实现LALP速度表面波的第三级包络[29］.然后，用下式中的双指数函数来反映振幅随时间的变化: 哪里 ， ， ，和拟合系数和表示拟合的包络线。

相应地，装信封呈现在图6由于拟合过程而获得，表格中列出了拟合参数2．

它被观察到装配的信封能够捕捉振幅随时间变化的趋势，因此，通过调节参数，函数可以适应不同的形状。

考虑到LALP速度时间序列的PSD特征，时间序列被视为谱表示意义上的窄带频率余弦波的总和，定义如下： 哪里是LALP速度时间序列的拟合包络线； 表示具有以下参数的功率谱密度函数： ； 频带;和分别为PSDF的下限和上限截止频率；频率阶跃为 ； 依赖于时间序列的抽样率;和是0.01赫兹;每个离散频率为 ； 一组随机相角是否均匀分布在范围内 ；和是时间次数。

请注意，应通过带宽范围为0.1至1的四阶巴特沃斯滤波器在基线校正中执行加速时间历史 赫兹。这可以消除杂散漂移并保持长周期特性。因此，从图中可以看出7实现在时域上呈现随机特性，但控制LALP表面波的主要频率不会随时间变化。

图中显示了根据5%阻尼谱与截断长周期表面波的模拟比较8．发现模拟光谱与截短的波共享类似的主要时间。这与图中的结果一致5。同时，截断波几乎在中值加上或减去一个标准偏差之间波动 ．因此，基于随机特性，截断波可能被视为实现的一个样本。

3.小波包

小波包分析应用于时间序列的分解转换为一组小波系数 ．这意味着能量在时域和频域都是局部化的。卷积形式的基本表达式定义如下： 哪里是一世^th组修改的母小波，这是由两个所确定的j^th刻度参数扩展频域和K.^th平移参数通过时间轴线偏移。迈耶小波被选择为母小波本文，如在类似的工作提出[10］.

相反，一个时间序列的根据逆小波包变换从小波系数重建，如下：

另一方面，应考虑频率和时间分辨率之间的权衡，因为该决议符合Heisenberg不确定性原则。这意味着频率信息的高分辨率以时间域中的低分辨率为代价。因此，时间分辨率频率分辨率在方程式（11） 和 （12)，分别分解步骤。产品的产品和为方程中的常数(13）： 哪里为尺度参数，是时间序列的时间间隔，和是由时间序列的采样率确定的奈奎斯特频率。和时间分辨率相比，与频域相关的详细信息在工程实践中具有重要意义[11]。这有助于模拟与目标频谱的兼容性。

为了说明上述情况，CHB002EW的时间历史与采样间隔 在9中分解为512个频率行^th分解深度。相应的，频率区间下降到0.0976 Hz，而相邻小波包中心之间对应的时间区间增大到 ．

结果，数字9说明了小波系数的平方与时频分布有关。在频域，在4 ~ 7hz的频率范围内，大部分系数对应图中加速度响应谱的峰值9（c） )；对于时域，大部分系数出现在大约100 sec对应于一个强烈的冲击阶段，在此期间，累积能量曲线显示出数字的急剧增加9（d） 这表明小波包变换具有捕获与强度和频谱相关的特征的潜力，每个特征分别与时域和频域密切相关。

然而，应该记住，小波包检测长周期分量的能力不可能与检测高频分量的能力相同，因为小波包基于2的幂进行移位和缩放。为了说明这一点，得到的频率区间 从5.12跳到10.23 以句号形式出现的秒。这意味着小波分析不适合在频域中识别长周期分量。相反，它专门研究高频能量的局部化。

此时，为了在频域上兼容给定频谱，在时域上兼容累积能量，产生高频分量，参考Huang和Wang的方法[11］.

4.基于小波包的高频分量的形成

4.1。初始种子运动

在产生高频分量之前，需要产生初始种子运动，因为初始种子运动的变异性可能会影响期望运动的非平稳特性[11，30］.因此，高频分量的初始种子运动是高斯随机过程在时域和频域上调制的结果。

4.1.1.时域调制

通过目视观察图中所示的加速度波形2，采用分段函数在时域内对高斯随机过程进行调制，其数学表达式如下： 哪里表示对应于PGA的时间;和是控制时间段前后上升和下降阶段的参数吗 ，分别地指示地面运动的开始。对应如图所示10的各种参数的一组标准化信封 ， ，和演示波形形状的可变性。

此外，通过分段函数对时间的积分得到的归一化累积能量模型如下所示：

因此，通过最小化标准化的实际能量曲线和分段能量模型之间的集成差异来实现包络功能的参数，即 哪里是加速时间序列，D是加速度时间序列的持续时间，并为归一化累积能量。拟合参数如表所示3.．

它是从图中找到的11在强震动阶段，拟合曲线与实际曲线非常吻合，在强震动阶段，曲线呈垂直线。同时，在大约140处出现差异 秒，LALP表面波到达。尽管LALP表面波的振幅相对较小，与体波的振幅形成鲜明对比，但衰减率较低。这是由于表面波的长周期特性所致。

4.1.2。频域修正

时频域中的小波系数符合双变量逻辑分布，用于呈现地面运动的变化[10]为简化此过程，使用一组形状类似对数正态函数来描述每列（时间瞬间）的功率谱密度。因此，通过将每个拟合函数相乘以模拟目标运动的可变性来修改从调制高斯过程导出的一组平方小波系数。

形状类似对数正态函数的K.^th关于频率的列给出如下： 其中和为了K.^th列是通过拟合指定函数的平方系数在K.^th能量和能量意义上的柱的功率谱K.^th柱

因此，CHB002EW和TKY023EW特定列的归一化平方系数如图所示12，以及拟合函数。拟合模型通常反映功率谱的分布，因为随着时间柱的演变，能量往往集中在低频。

为了建立所识别的参数和列序列（时间瞬间）之间的参数关系，基于高斯函数的叠加上的通用表达式定义如下： 在下标一世表示一世^th高斯函数；是缩放因素;表示峰值的位置;为“钟形”高斯函数的宽度;和表示和在里面K.^th使用两个和三个高斯函数的叠加来模拟和 ，分别。拟合结果列于表中4和5．

如在图中所示13，发现参数随着列序列的增加而减少。这与高频分量主要出现的事实一致，因此占地面运动强度的巨大贡献;同时，随着时间的推移，低频分量逐渐占据高频分量。相比之下，参数的趋势看起来很复杂。有可能是时间瞬间带宽的变化导致时频域的变异性。这一趋势与纸上对数正态概率分布所描述的趋势相似[30］.

如图所示14将高斯随机过程的平稳性质转化为初始种子运动的非平稳性质。此外，初始种子运动的性质与它们的目标运动相似，如图所示15；注意，这个结果在后面详述。

4.2.模拟与目标运动兼容的高频分量

与兼容性相关的方法是根据单自由度系统的频率分量幅值与弹性响应之间的线性关系，在行之间按比例放大或缩小小波系数;同时，根据振幅与累积能量的平方关系，在列之间进行系数缩放[11］.

4.2.1。与频率响应的兼容性

具体来说，就是比例因子是由目标加速度谱的比值决定的吗到模拟光谱在频率 ．然后是新的时间序列的逆小波变换(N+ 1)^th迭代。执行迭代过程，直到平均误差满足指定的阈值。相应地，与频域调整相关的方程表示如下：

确定瞬间的位置很重要 ，其中5%阻尼的单自由度振荡器具有固有频率显示最大响应。这使我们能够仅使用中心频率修改振幅在K.^th柱，而不是修改振幅与中心频率在整个列中。另外，即时时间应该是在 ．这与相位色散的结果一致，即高频分量比长周期分量来得早。

由于小波包的局限性，长周期分辨率较低。这意味着在5到10秒的长时间内，该程序无法获得足够的准确性。因此，该过程的频率范围定义在[0.3,25 Hz]，小波包利用高分辨率使模拟尽可能准确地与目标频谱兼容。

4.2.2。与累积能量的相容性

比率时域上的修正是由时间间隔上的增量能量曲线的平方根来计算的 ，其表达式如下所示：

如公式所提到的（13），小频率间隔 会产生很大的时间间隔 ．因为这一点，比率通过使用立方样条曲线进行内插以获得比率在每个时间间隔 ．然后，一个新的时间序列在乘以比率后生成 ．其表达被写入等式（23）.注意新系列应通过低截止频率为0.1的高通滤波器进行基线校正：

因此，可以从图中找到16模拟加速度光谱与有针对性的运动相提并见，除了较长的时间范围（5-10秒）;对于累积能量曲线，模拟几乎与记录重叠，表明它们共享相同的加速波形。另外，如图所示15，由于模拟的大部分大系数与记录的大系数一致，因此模拟似乎与记录的小波系数分布相似。

如黄建议[11[分别用于分别评估两个平均逻辑误差以分别评估与加速谱和累积能量曲线的兼容性的准确性。在图中有20次迭代17光谱和累积能量曲线的误差分别小于0.02和0.001。

相应地，模拟高频分量的两个样本以图中加速度和速度时间序列的形式显示18．另外，从它们的加速度时间序列得到的速度谱如图所示19．模拟运动的速度谱在中低周期与原始记录相似;然而，在较长的周期内，原始记录的频谱明显大于模拟运动的频谱。这意味着，相对于原始记录，模拟的运动具有高频成分的特征。

5.合并与验证

对长周期和高频分量分别进行模拟后，在时域上将它们合并到一起。因此,图20显示了CHB002EW和TKY023EW记录的四个模拟样本。从视觉上看，四个实现在加速度波形上与实际记录相似，因为它们的强烈震动过程大约发生在100秒，这与图中所见的实际记录一致2．此外，模拟速度波形中明显存在LALP面波，突出了其长周期特性。然而，需要注意的是，估计周期为20秒的组件不在模拟速度序列中。这是因为小波包在识别周期大于10秒的分量时分辨率较低。然而，这种长周期构件在工程实践中似乎并没有引起人们的兴趣，因为结构的共振响应主要归因于周期在5 - 10秒之间的构件[31］.

然后，在图中示出了在累积能量曲线和傅里叶幅度谱方面具有实际记录的四种实现的比较21。很明显，考虑到累积能量曲线，每个样本都与实际记录很好地匹配。此外，在0.1到0.1的频率范围内，实现的傅里叶振幅谱与实际记录接近 赫兹至20赫兹 然而，当频率低于0.1时，会出现明显的差异 Hz，这是由于小波包的局限性。

此外，模拟长周期运动的变化主要依赖于谱表示产生的模拟长周期分量，当模拟长周期运动与目标响应谱的相容性得到验证时。

为此，将100个长周期分量的实现与一个由高频分量组成的模拟高频运动单独结合，形成一组模拟的长周期运动，得到100个具有5%阻尼的响应谱。如图所示22，模拟运动的中值光谱与目标光谱紧密对齐。高频和长周期分量的两个主周期，分别为0.2和5.3 CHB002EW和0.7和6.6的第二节 中位数模拟很好地捕捉了TKY023EW的sec。这表明模拟的长周期运动复制了实际运动的特性。同时，我们观察到，在4到10个孤立周期的实际光谱 sec大多在标准偏差范围内 ，因此，这意味着实际运动可能是随机意义上模拟运动的集合之一。

6.总结

本文提出了一种基于谱表示和小波包相结合的长周期地震动生成方法。图1说明了有关此方法的流程图23．可以看出，该方法分为三部分:(1)长周期分量的谱表示;(2)利用小波包模拟高频分量;(3)将长周期分量与小波包在时域进行叠加。为了清晰地描述这些过程，图中给出了日本东北M9地震的另一个记录SIT003EW的示例24如下。

对于第一阶段，LALP速度表面波从参考如图24（a）中，通过显示其原有的记录在图中显示的协议中的截断段空调24（b） )；截断速度段的功率谱密度估计如图所示24（c） 速度时间序列的瞬时振幅由多峰点法得到[29];因此，模拟的LALP速度面波的谱表示方式如图所示24(d)。

对于第二阶段，从修改过程中产生初始种子运动，其中通过使用一组拟合的功率谱功能，通过使用分段功能和频域中在时域中修改高斯随机过程;因此，调整后的种子运动如图所示24(e);然后，通过迭代调整，高频运动与目标短周期加速度谱和累积能量曲线匹配良好，其乘积如图所示24（f） 。

对于末相，通过对所得速度序列的微分得到LALP加速度时间序列，然后叠加到高频运动中;因此，本文方法模拟的长周期运动的一个样本以加速度和速度的形式显示在图中24（g）和24分别(h)。此外，生成了100个实现，以验证与目标光谱的良好匹配，如图所示24(我),24(j)。

需要指出的是，本文提出的针对代表性记录的方法，是为了证明产生长周期运动的可行性。此外，描述随机性质的参数值，LALP表面波和高频分量分别为每个记录确定。正因为如此，该方法可以应用于具有类似性质的其他运动集合。

最后指出，该方法适用于具有窄带长周期特性的长周期地面运动的模拟。这是功率谱密度分析模型的结果。此外，如果后到的长期部分不能代表长期财产总额，那么确定长期部分的标准似乎就不那么有效。另一方面，进一步研究识别参数与地震变量之间的关系，将该方法扩展到基于特定地震环境的长周期运动模拟，从而提高工程适用性。

数据可用性

本文中使用的数据可根据要求从作者提供。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

作者感谢中国国家自然科学基金支持，奖号51478068，并表示感谢国立研究所在地震科学和防灾（K-NET和KIK网），它提供了访问数据集的研究。

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