文摘

在本文中,我们主要讨论不动点的存在性和唯一性满足积分类型收缩在完备度量空间通过合理使用实值函数表达式。我们改善和统一许多广为人知的结果文学。其中,Rakotch的工作(1962年),Branciari(2002),和刘et al。(2013)扩展。最后,我们得出结论,给出了一个例子生动地支持我们的工作。

1。介绍

我们开始本节,回忆Lebesgue-integrable函数的定义。通知作为定义为函数 这是负的,可和在每一个紧凑的子集 ,和每个

Branciari [1)2002年独立和推导出以下结果,作为一个1922年最著名的巴拿赫的问题的延伸。

定理1 (1]。让 完备度量空间, ,和 是一个地图。如果为每个 在哪里 。然后, 是一个独特的不动点的 。

罗迪斯[2]在2003年成为主要扩展Branciari [1证明一个更普通的结果)。他证明了许多有趣的想法为其他研究者研究积分contracions类型。之前Branciari [1Kumar)的作品,et al。3)已经能够获得Jungck (4)定点整数类型导致的收缩。Mocanu和Popa5)提出以下引理,可用于推导我们的主要定理。

引理1 (5]。让 和是一个非负序列 然后

引理2 (5]。让 和是一个非负序列 然后

此外,刘等人。6]扩展Branciari的工作包括实值函数和改进的结果Rakotch [7]。

定理2 (6]。让是一个self-mapping完备度量空间 令人满意的 为每一个 , 酸处理 和 。然后 对所有 。

除了之前发现,古普塔et al。8]在2012年提出了一个适合2兼容self-maps和派生的结果是令人满意的积分类型收缩。Rakotch相反的结果,进一步在2013年,古普塔和玛尼9使用实值函数)放置一个理性的收缩和建立他们的定理。

定理3 (9]。让是一个self-map完备度量空间 。如果为每个 在哪里 和一个函数 与 对所有 然后,有一个独特的定点在吗 。

大约在同一时间,刘等人。10)有不同的方法,建立三种不同的积分类型收缩的结果。这些研究进一步给研究人员整体收缩的其他方面,特别是在实值函数的相关问题。一些积极的结果在整体式收缩和度量空间是指[11- - - - - -17]。

本文致力于国家包含实值函数的定理,证明这个定理满足积分类型合理收缩。我们的发现扩展和推广一些著名的结果。给出一个例子用图形表示支持我们的工作。

2。通过理性的收缩和定点使用实值函数

Geraghty [18)下面的类定义的测试函数比Rakotch[更一般的7]。

定义1 (18]。定义 满足条件

例1。定义的函数 很明显, 和

定理4。让是一个self-mapping完备度量空间 并且每个 在哪里 和 。然后有一个独特的定点。

证明。设置初始近似 为一个任意点 。一般来说,构建在这样 首先,我们断言 。
从方程(12), ,我们有 在哪里 现在,如果 ,然后 因此,从方程(15)和使用这一事实 ,我们到达一个矛盾。因此, 所以
因此,方程(15)意味着 自 ,我们有 同样的, 因此,一个单调递减序列非负实数的取得,所以存在 这样 假设 让 在方程(15使用方程()和20.),我们得到 ,作为 ,矛盾,意味着 因此 引理1意味着 接下来,我们断言序列柯西。
假设一个 存在子序列和的与 令人满意的 ,考虑 在哪里 三角不等式意味着 从方程(23), 。
在限制和使用方程(22),我们得到 再一次,我们知道 因此,在和使用(23)和(22),我们得到 因此,从方程(25),在并使用方程(23),(27)和(29日),我们得到 因此,在让 ,方程(24)意味着 我们到达一个矛盾在哪里 。因此,序列柯西。所谓的限制这样,从(12) 现在,断言是一个不动点的 。
事实上,的连续性意味着 其次,假设不是连续,也让 。然后,显然 。假设 。因此 在哪里 取 ,我们获得 因此从(34), 因此, 。
的独特性,假设存在一个点 除了s.t 。考虑, 在哪里 自 ,因此 使用这一事实 从(38),我们有 这意味着 ,因此,固定的角度是独一无二的。这完成了我们的证据。

定理5。让self-map在完备度量空间 这样,每 在哪里 和 与 。然后,有一个独特的定点。

证明。自 与 。让 然后从方程(42),我们有 在哪里 其他定理的证明是在同一行4。

如果我们把 ,我们有以下两个结果的结果我们的主要定理

推论1。让self-map在完备度量空间 这样,每 在哪里 和 。然后,有一个独特的定点。

推论2。让self-map在完备度量空间 这样,每 在哪里 和 与 。然后有一个独特的定点。

例2。让 。定义了度量 ,对所有 。很明显, 是一个度量空间。定义一个函数 作为 。也定义 作为 和 被定义为
图1显示不平等(的情节12)满足的例子2。因此,所有定理的条件4感到满意。很明显, 是一个定点的 。

备注1。定理4和定理5统一和扩展的结果刘et al。10]和Branciari [1]。

备注2。必然的结果2是一个扩展的结果Rakotch [7]更一般的测试函数。

备注3。在定理5,让 ,我们获得的结果1.2(刘等人的结果。10])。

备注4。如果我们把 在推论2,我们deduc Geraghty的结果18]。

3所示。结论

我们结束这个注意提及的证明结果是Branciari结果的进一步扩展到其他设置。一些评论并给出一个例子来证明,我们的结果是扩展和广义版本的一些已知文献的结果。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。