文摘
β函数在微分方程和其他一些应用程序的科学和工程领域使用某些定积分。然而,它的应用程序单价的功能尚未探索基于可用的文学。在这项工作,因此,作者定义了一个单价的功能与测试相关功能 与 。一些函数的几何性质进行了讨论。
1。介绍和预赛
让表示的类的函数形式
分析在开放单位磁盘 和正常的 和 ,让表示的子类组成的非零系数的函数,第二,定义的是负面的
相当多的生活问题导致在制定数学微分方程。这些方程是偏微分方程(PDE)的形式和常微分方程(ODE)。ODE也可以有不同的订单一阶或二阶等取决于许多因素。常微分方程线性方程组或非线性方程。有不同的方法的解析解阶微分方程和微分方程的特点。线性的颂歌,例如,最有效的方法获得的解决方案一旦变量系数是解析函数的幂级数的解决方案。他们被称为幂级数的方法,因为有某些级数形式的解决方案。大多数微分方程的级数解是有效的。贝塞尔方程等特殊功能,埃尔米特方程,弗罗贝尼乌斯方程,超几何方程,拉盖尔方程,勒让德方程是微分方程的形式。其他特殊功能,如切比雪夫多项式,埃尔米特多项式,勒让德多项式,阶乘函数,伽马函数和β函数也有用的数学方法解决问题的。β和γ函数被称为欧拉积分。一个β函数可以在形式的多项式,极地或γ函数。它通常被称为第一类欧拉积分,而γ函数是第二类欧拉积分。
用的测试函数 被定义为 这是收敛的 和 。有三种情况下β函数包括:(1)当是一个正整数(2)当是一个正整数(3)当两个和是正整数
使用情况3,我们可以表达β函数γ函数的形式如下: 这表明β函数的对称性质(5,6]。
比值判别法,让
然后, 是收敛的,如果
也就是说, 和发散
也就是说, 或 这意味着 收敛仅为例3和发散的案例1或2。
假设 ,然后收敛半径 或 。有三个可能的情况下的收敛半径:(1)当 然后,收敛半径是2(2)当 然后,收敛半径大于2(3)当 然后,收敛半径小于2
总的来说,我们认为收敛半径,是这样的, 在哪里 。然后,我们考虑收敛区间 我们考虑的 。
假设和不同的值,也就是说, 。然后,我们有
是一个属于正常单叶函数类与β函数作为其系数。因此,
如果 ;然后,方程(9)减少
从方程(9)和(11),我们有 和 的系数(9)和(11),分别。此外, 属于类负系数,这样 和 。
让
鉴于 ,让 在哪里 。然后, 。而是,我们考虑的情况 并给出了系数如下:
如果 ,下表显示了可能相关系数的正常化单叶函数的欧拉积分第一种(表1)。很明显,从下面的表 对所有 。
因此,方程(9)成为
考虑的特殊情况(9), 这样 ,我们有
在[2,7),作者引入了一个普遍的乘数转换作为一种工具来定义一个子类单价的功能。乘数转换的应用被认为是在8]。在复杂的利益分析之一是每一个解析函数的幂级数展开。这进一步鼓励使用正常的单价的功能形式(1);在这项工作中,我们考虑一个正常化单叶函数的系数是第一种的欧拉积分。Altunhan和艾克(9)的早期探索子类单价的泊松分布函数系数系列虽然许多其他作者也考虑各种形式的特殊功能,参见[4,10,11为例子。
2。主要结果
定理1。函数被定义为(13)。然后,
证明。让 ,然后 是负的。也就是说, 序列 是单调递减的顺序,这样 作为 并通过让 ,我们有 自 。然后, 为
定理2。函数 属于类 。然后,该函数定义为 还属于类与
证明。根据定义, 自属于类对于每一个 和 。然后, 对于每一个 和 。因此, 这就完成了证明。
定理3。函数 是在课堂上,让是一个实数,这样 。然后,该函数 还属于类 。
证明。从这个定义,我们可以表达如下 在哪里 因此, 这就完成了证明。
定理4。让是一个实数,这样 。如果 ,然后,该函数定义为(41)是单价的 在哪里
证明。让被定义为(13)。然后,从(41),它遵循 我们现在需要证明 在 在哪里 因此, 提供 从(29日),我们(48)很满意 这意味着 是必需的。因此,函数是单价的 最好的估计
3所示。分数阶微积分的应用程序
我们现在考虑一个分数阶微积分应用程序引入了早些时候(12,13单叶函数) 涉及β函数 如下。
定义5。的分数积分次序 为一个函数被定义为 在哪里 , 是一个解析函数在一个单连通区域上的吗飞机的起源和多样性是被需要时要真实
定义6。的分数积分次序 为一个函数被定义为 在哪里 , 是一个解析函数在一个单连通区域上的吗飞机的起源和多样性是被需要时要真实
定义7。的假设下定义6。分数导数的秩序 被定义为 在哪里 和 。
定理8。让 。然后,
证明。使用上面的定义和简单的计算,我们有 设置 这 是一个函数的和这样 。很明显,是一个严格单调递减序列自 所有的值 。因此, 因此, 因此, 是必需的。
4所示。结论
在这项研究中,一个特定的单叶函数的欧拉积分第一类,否则称为β函数,建立了一些函数的几何性质进行了讨论。调查的研究开辟了一个新的方向几何函数论(GFT)。
数据可用性
没有数据被使用。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
第一作者要感谢具有里程碑意义的大学,尼日利亚。