文摘

在这篇文章中,我们给Besov空间的一个等价的描述。这揭示了混合导数之间的等效关系变量规范和标准。傅里叶乘数,真正的插值,Littlewood-Paley分解应用。

1。介绍

在索伯列夫空间,众所周知, 在哪里 注意右边的定义 ,它包含混合导数常态 这个混合导数标准将会使计算更加复杂,甚至不可行估计偏微分方程与一些各向异性性质,像Vlasov-Poisson方程(1,2),在部分水列夫空间3]。因此,分离变量成为必要和有意义的。

在本文中,我们的目标是证明 实现了分离,即。,the right hand side does not contain the “mixed derivative” term, it only contains fractional derivative with respect to a single variable for each term. Thus, when it comes to estimate在求解偏微分方程,它相当于估计单独。对于其他等效为Besov空间特征,指的是(4- - - - - -7)和引用。

2。预赛

我们首先回忆定义Besov空间,看到8]。鉴于 施瓦兹函数,它的傅里叶变换 被定义为 和它的傅里叶反变换定义为

我们考虑 令人满意的 设置 与 ,我们可以调整前面的归一化常数并选择 令人满意的 这样

我们观察

鉴于 ,我们表示 为 ,然后我们定义的非齐次Besov空间 与通常的解释 或 在这篇文章中,欧氏空间上定义的所有函数空间 ;我们将忽略它时没有混乱。

接下来,我们想展示一些已知结果稍后将使用。第一个是单位分解。

引理1(见[8),145页)。假设 并采取如Besov空间的定义。然后,存在功能 ,这样 接下来,我们回忆起真正的插值特性Besov空间。

引理2(见[8),142页)。假设 在哪里 我们有

备注3。我们也有 引理的证明可以重复这个过程2完全。

3所示。等价的描述

现在,我们处于的位置状态,证明我们的定理。首先,我们运用傅里叶乘数(9)证明 直接;空间有一个优势因素到处都是正面的,这从根本上是重要应用傅里叶时乘数定理。

为了简便起见,我们表示

我们有下面的定理在索伯列夫空间等效标准。

定理4。假设 我们有 在哪里

证明。一方面,如果 ,也就是说, 在哪里 注意,对于任何一个 ,我们有 接下来,我们只需要显示 是一个乘数。为了证明断言,我们引入一个辅助函数定义为 很容易验证均匀度0和光滑的吗 衍生品的均匀程度 并满足 每当 和是multiindex 变量。特别是, ,我们获得 和设置 ,我们推断出 ,这意味着是一个傅里叶Mihlin-H乘数曼德定理(9)(446页)。
另一方面,假设 ,也就是说, 注意, 同样,我们可以验证 是一个傅里叶乘法器完成定理的证明4。

我们回到证明Besov空间的等价表征。然而,我们不能做相同的技巧空间自不是积极的地方 幸运的是,我们有 ,看到引理2。这个观察是有利的证明在一个方向上的等价关系;然而,对于另一个方向,我们需要一个更微妙的技术,实际上,我们建立一个身份通过应用Littlewood-Paley分解(10),这是非常重要的在我们的证据。接下来, 意味着存在一个常数这样独立的主要参数 意味着 和

定理5。假设 我们有 在哪里 和是二元的单位分解的变量如Besov空间的定义。

证明。我们将证据分为以下两个步骤:
一步即证明 假设 ,真正的插值引理2,我们有 在哪里 ,我们应用插值空间的等价的标准 ,参见[8)((3)39页,(5)40页)。
的评论3我们获得,对于任何 结合(18)和(19),它遵循 的任意性意味着(17)持有。
第二步。为了证明 为 它是繁琐。
为 ,我们需要以下关键要求。

索赔。存在一个正整数根据只有这样, 在哪里 这是二元块变量,通常是二元块Besov空间的定义,然后呢在引理是一样的吗1。

索赔的证据。由引理1,我们有
请注意 为了得到 ,对于任何选择和 ,我们必须有 这意味着 与 ,结束这一说法的证据。记住这一说法, 我们使用这一事实在哪里傅里叶乘数。
与年轻的不平等11),以规范双方的26)的收益率 这意味着(21)持有;因此,我们完成我们的主要定理的证明。

注6。方法可以适应加权索伯列夫空间和加权Besov空间,甚至在各向异性函数空间。

数据可用性

本文中的数据可以在请求。请联系Jingchun陈(电子邮件保护)。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。