可变指数函数空间与子线性期望相关

抽象性

页面中变量前缀函数空间 , ,并 介入子线性期望框架,并给出这些空格的一些基本和重要属性Kolmogorov变量指数函数空间标准版本证明持续修改随机过程

开工导 言

可变速率空间广泛应用到自然科学和工程学非线性问题研究中。空格基本属性先由KovQQQQK和Rákosnk提供一号..某些可变指数空间理论也可以从中找到2,3..Harjulehto等概述应用差分方程非标准增长4..Diening等[5归纳现有可变指数函数空间理论文献和局部微分方程应用中6友山证明可变推理器Lebesgue空间中 某些重要概率不平等

非线性期望在金融市场研究中发挥重要作用最重要的应用之一是一致性风险度量法(一致性风险度量基本理论见于[7)是子线性期望 定义日期 ,线性线性损耗本文对子线性期望空间行为感兴趣 并配有变量推理由下表示定理可见8sp.4),我们知道子线性期望可表示线性期望最优值,即有线性期望组 中位数

因此,我们仅在本文中考虑高期望值有关非线性期望的其他重要理论可见Peng's九九,10..

剩余论文划分如下:2动机为Fu11和Denis等[12... 先介绍 , 并 并给出这些空格的一些属性和每一元素 -完成 半连续版本证明内段3应用段结果2Kolmogorov持续修改随机过程标准版本讨论,这些流程与子线性期望相关可变前言函数空间,先证明线性期望

二叉可变参数函数空间

等一等 完全度量空间安装距离 , 博雷尔 代数 并 收集所有概率测量 . :空间全 -可测量实函数; :所有约束函数 ; :全部连续函数 .

面向给定子集 ,表示

定义一集成 极化 属性持有极外

上端期望 定义如下: 中位数 存于每一 ,

关于 ,我们知道下列属性

定理212))上端期望 家庭大全 子线性期望 并发 ,即

(1)面向所有 , 内 , , .(2)面向所有 , 内 , .3级面向所有 , , .(4)面向所有 , , .

leta网 -可测量实函数 ,可变提示符空间内 ,模鲁 定义由

定义3空间 表示集 满足 ,并配有卢森堡规范

设置 ,并表示 .和往常一样,我们不关心类与类代表之间的区别问题。

提案4if变量推理 满足度 ,后不平等 悬停对每一 并 ,去哪儿 .

证明以青不平等为例

单调性、子相加性及正同性 ,和规范的财产,我们有

不平等随之而来

提案5假设变量前缀 满足度 .if ,并发(1)if ,并发 .(2)if ,并发 .3级 ,仅if (4) ,仅if .特别是线性期望 并遵循此提议

证明拜拜 定义规范

正因如此 .原位

并发

即表示 证明完成(2)很容易用类似方法证明使用(1)和(2)很容易获取(3)和(4)

提案6假设变量前缀 满足度 .等一等 .接二连三

证明面向每个 ,由Markov不平等,我们有

取自suprem 双方都是

正因如此

emma7建议1712))等一等 并 顺序插进 并发 内 .并存子序列 并发 半肯定感知它会聚到极地集

提案8if变量推理 满足度 . ach空间

证明等一等 广度序列 .接下去,通过提案4, 去哪儿 常量常量即表示 康奇序列 .通过建议14中12万事通 ach空间正因如此 归并 .假设 , 并深入Lemma7,我们猜想 准肯定性(必要时减子序列)面向每个 ,并存 中位数 For .修复 ,法图Lemma 正因如此 ,并进 ,即表示 ,并 .证明完成

表示对象 完成 并环 完成 .通过建议8... For .

提案9假设变量前缀 满足度 ,并发

证明表示 .面向每个 let .有

苏市市 .正因如此 .反之亦然 ,可查找序列 中位数 .等一等 并 .自 ,有 .意指对任意序列 中位数 原封 , .和所有 ,

第一句右手边

第二学期

苏市市

并 .正因如此 .

提议10if变量推理 满足度 ,let ,接二连三 ,并存 ,即为全体 带 ,有 .

证明面向每个 ,由提案九九中存在 中位数 .集成 ,后为 带 ,有

定义11映射 上 与物学空间值并存的半连续性(q.c.) ,存有开放集 带 中位数 连续性

定义12我们说 半连续版 带 qs.

提案13if变量推理 满足度 .接下每个元素 半连续版

证明面向每个 ,并存 中位数 内 .let we选择子序列 中位数

并设置面向全部 ,

因子相容属性6,

正因如此 ,令波波尔集 极化相形相见 连续性,面向所有 , 开放集和所有 , 统一对齐 以持续限制 .

14号提案假设变量前缀 满足度 ,并发

证明等一等

面向每个 , 半连续版本13.自 ,由提案九九有 .正因如此 .

反之, Let 半连续性面向所有 ,定义性

自 并

有 .

面向所有 , 半连续性,因此存在闭合集 中位数 并 连续开 .铁合扩展定理 中位数 并 上 .之后,我们有

正因如此

结果 .

提案15假设 半连续版并存函数 满足 统一操作 并 .并发 ,去哪儿 .

证明面向每个 ,并存 独立 即为全体 ,

So

正因如此 .

3级科尔莫戈罗夫变量参数函数空间标准

定义16等一等 成集索引 并 二进制索引 .我们说 准修改 if for all qs.

证明kolmogorov标准进程索引 带 可变前缀函数空间上,我们优先提供下列母

莱马17等一等 并 令进程对所有人都适用 , .假设固定 存在正常量 并 中位数

并发 接受修改 中位数

面向每一个

证明修复 .面向 ,定义多点集 :

并 .集成 ,并有小 网际网际网际网际网际网际网际网际网际网际网际网际网际网际网际网际网际网际网际网际网际 .面向 ,我们说 if每一构件 小于或等于对应组件 .

集成 .并假设Lemma

易见度 发自某些 开

面向 ,有增量序列 并 中位数 , , 并 , 发自某些 开

let now 并 ,或 或 并无论如何

中位数序列实为有限量顺理成章

正因如此,设置 ,有

原位

面向每一个 ,有

去哪儿 .并特别推理 几乎每一个 , 均匀持续 并有理设置

法图Lemma假设

所以 as.并 是一个修改

定理18等一等 并 令进程对所有人都适用 , .假设存在正常量 并 中位数 并发 接受修改 中位数 面向每一个

证明let集 与Lemma证明相同17.设置

去哪儿 .由Lemma17,我们知道为任何人 , 有限并统一约束 e

正因如此 均匀持续 qs.并设置

与Lemma相似17, qs.并 是一个修改

数据可用性

未使用数据支持此项研究

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突

感知感知

作者感谢福建省自然科学基金会(2016J05008)。