保持非局部生物动力学问题定性性质的稳定数值解

抽象的

研究了生物动力学模型中考虑非局部相互作用现象时的数值偏积分微分方程的求解问题。给出了一个显式有限差分格式，得到了一个保持解的定性性质的数值解。利用高斯求积规则计算方程整体部分的准确性和较低的计算成本。数值分析包括一致性，稳定性和正性，以及数值例子说明了该方法的有效性。

1.介绍

由于FISHER的精髓[8和Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov (KPP) [13]，与局部交互作用相关的扩散logistic模型已成功发展[3.，14，15，20.，21］．在生态环境中，没有真正的理由假设相互作用是局部的[9］．此外，在进化理论中，相互作用不仅是由于种内竞争，也由于随机突变，非局部相互作用方法是必要的[6，11］．

关于非局部生物动力学问题解的存在性和定性性质的重要理论结果已在[4，10，12，18，19］．

本文考虑由部分积分微分反应扩散问题(PIDE)描述的非局部相互作用生物动力学模型;参见[19]： 在哪里是一个有界或无限的域名和非负核函数满足吗 和 ， ，和是否有一些正常数和是否有正的扩散速率，以及初始条件 和边界条件 在哪里表示任意连续函数。为了让大家对一致性问题感兴趣，我们会在这部分学习4，我们假设核函数在整合区域中是可微分的。

从生物学的角度来看，右边的第一项模拟了扩散，右边的第二项包含了纯logistic二次项和平均位置附近某个区域的资源消耗。注意，如果内核DIDAC DELTA功能以原点为中心，（1)恢复了Fisher-KPP方程。

数值分析的问题是合适的，因为最好的模型可能被忽略的数值处理浪费。处理问题的数值方法(1） - （4）在文献中并不广泛。一些相关且易于实施的有价值的例外是[7]，采用伪谱伽辽金方法[16，采用无网格局部径向点插值方法。两篇论文都考虑了有界域的情况，并添加了一个源项 这对检查模拟的准确性很有用。

在本文中，我们发展了一个显式有限差分格式，用于数值计算和分析问题的定性性质的数值解(1） - （4)．就我们对该领域出版物的了解而言，这种分析似乎不容易用其他技术(如有限元、无网格甚至隐式差分法)进行。需要指出的是，除法的积分项是用高斯求积规则处理的，它具有通用性优势，可以同时包括有界和无界域的情况，只是适应求积规则。

数值解的正性是处理人口问题的关键，需要保证。同样重要的是，要检查数值解是否受问题的承载能力限制，与理论解的行为一致[19］．

本文组织如下。部分2给出了连续问题的离散化，得到了显式有限差分格式。部分3.处理数值解的正性、稳定性和定性性质。本节对该方案与PIDE的一致性进行了研究4．最后,部分5数值实验表明，如果步长不满足稳定性要求，结果是错误的。

2.离散化与数值格式构建

在这一节中，我们执行连续问题的离散化，目标是得到一个显式有限差分格式。此后，我们将在适当的有界数值域内工作。让我们考虑数值域 ，与 足够大以至于在这个地区之外的人口几乎可以忽略不计 表示时间范围。让和是正整数，使域名 是分区 网格点表示 ，在哪里 ， ， ， ，和 ， ．步长离散化和核实 和 ，分别。网格点处未知变量的数值逼近 用来表示 ，而对于(1),我们指定 在哪里 ．

近似积分项的 通过精确和计算便宜的高斯求积规则来实现;参见[5]，第2章和第3章.Causs-Hermite或Gauss-Legendre四ratures是根据内核功能的支持分别为无界或紧。由于求积规则的节点不一定是网格的网格点，因此采用双线性插值的方法进行项的计算 ；参见[1), 882页。

根据高斯 - Hermite正交的表达，我们有 在哪里和是重量和和 ， ，分别为高斯-埃尔米特积的节点。

给出一个节点 ， ，让我们考虑一下索引和这样的网格点 验证 双线性插值近似表示为 在哪里

用之前的符号，近似积分项的 采取表格

在内核功能具有紧凑支持的情况下，高斯传奇正交规则是合适的。例如，让我们考虑方支持 ．然后,

通过变量的变换 在(的右边11） 它遵循

将高斯-勒让德求积和双线性插值相似地应用于(8），数值近似(12)以形式 使用高斯-勒让德公式的权重和节点。

关于划分方案的微分部分(1)，让我们考虑时间导数的正逼近和空间导数的中心逼近， 以及关于第二个空间变量的导数的类似表达式 ．从(5)和(15)的显式数值格式(1），（3.）， 和（4)已构造: 使用Numerical域的初始和转移边界条件

3.积极性、稳定性和承载能力

根据[的引理3.1和定理3.219它认为确实存在一个全局的解决方案 为除法问题(1)， (3.)和(4)，假设 和 ．此外，该解还验证了约束条件

本节致力于拟议方案的数值分析，保证了保护理论解决方案的定性特性。在下文中，我们显示在适当的步骤规格条件下数值解决方案是非负的，受承载能力的限制 同意(18)．因此，数值解是有界的，因而具有稳定性。利用时间指数的归纳原理假设归纳假设 ，我们研究是否 也仍然是正确的。

考虑到平等(2)用于论证 ，对于足够大的值 ，那 采用任意值 并假设解在时间层面的有界性 ， ，我们可以根据表达式(16) 时间的水平, 所以 ， ，在时间步长为的条件下:

关于数值解决方案的有界性，以来为非负，从方案(16我们会写字 通过介绍该功能几个实变量，假设对其所有参数是可微的。

求关于的偏导数 ，和 ，

然后，在假设下 功能在这个范围内增加了吗 ，因此下面的不等式成立:

总之，假设 并采取时间步长这样 可以保证 ， ．

备注1。请注意，稳定性和正步长条件与问题维度相关。特别地，对于一维的情况，条件变成

4.一致性

在本节中，我们研究由格式(16)，与问题(1） - （4)．具有相应连续问题的数值方案的一致性意味着当阶梯尺寸离散化趋于为零时，问题的理论解决方法近似于数值方案。因此，数值方案可以与等式一致，而不是另一个方案;参见[17),第二章。因此，用问题来解决数值格式的一致性是很重要的。

让我们考虑（1)，以紧凑的形式如 ，在哪里 和有限差分格式(16),写成 ，在哪里

按照[17),计划是说符合问题吗如果是本地截断错误 ， 趋近于零 ， ，在哪里 是问题的精确解的价值(1） - （4)的分水岭点 ．现在我们假设精确解 连续偏可微四次吗和 ，2乘以关于 ．利用泰勒展开 ，一个得到局部截断错误的表达式 ，与(的微分部分有关的1)： 在哪里

关于本地截断错误 ，与中的积分项有关的(1), 在哪里数值近似是通过使用相应的高斯求积规则和线性插值 利用关系(9)．

可以验证，见[1，即数值近似满足 被表达的价值替换插值值 通过精确的解值 ．

而且， 为相应的二维高斯求积公式的相关求积误差。二维高斯求积规则误差界的估计可在[2]使用划分的差异，假设积分在集成区域中可分辨。

这可以从表示中得到验证和(37)和(38), 和局部截断误差满足

5.数值例子

本节说明问题数值解的行为(1） - （4）使用一些数值实验，利用所提出的计划（16)，在一维和二维空间的情况下。

例1。考虑非局部logistic扩散模型(1） - （4)，带有参数值 ＝ ．初始条件和功能取积分项，分别为

空间步长和时间步长选择为 和 ，分别。取求积的节点数为 并且有足够大的空间来应用稳定截面的结果3.因为最大值不超过0.675和假设（19)验证为 ．根据表达式(27）， 如果 ，在这种情况下，解的正性和稳定性得到了保证。数字1给出了数值解的性质 从 到时间范围 ．请注意，随着时间的推移，数值解决方案接近栖息地承载能力 而被占领的栖息地往往会扩大。

收敛速度也算出了解，这里定义为量 ，在哪里的相对均方根误差 数值解决方案A.是得到解的步长。表格1显示时间阶段大小取得不同值的结果 ．

例2。让我们考虑与前一个例子相同的模型，具有相同的参数值、初始条件、核函数 ，节点数量 ，和时间地平线 ．如果我们选择一个时间步长 ，打破稳定性条件(27)，从图中可以清楚地看到2数值解的性质 变得不稳定，它达到了否定值。

例3。在这个例子中，我们考虑两个无界空间维度的情况。在这里，选择参数以获取值 ＝ ．初始条件 核函数 是作为

注意，有了这些数据，问题呈现出径向对称。空间步长和时间步长选择为 和 ，分别。求积的节点数是 足够大以申请部分结果3.因为最大值不超过值0.022和假设(19)验证为 ．应用(26)时，其正确率和稳定性得到了保证 ，这里满足了。数字3.给出数值解 在时间视界 ．

例4。与示例中的数据相同3.，节点数相同 ，如果我们选择一个时间步长 ，不满足条件的(27)，数值解 变得不稳定，也会达到负值，如图所示4．

例5。在本例中，使用与示例中相同的数据和步长3.和相同的节点数量 ，我们取高斯核函数，表达式如下:

的数值解 稳定且阳性，如图所示5．

数据可用性

没有数据支持本研究。

利益冲突

这项工作的作者声明，这篇论文的发表没有利益冲突。

致谢

这项工作已由Ministerio deCongromíay竞争西班牙语Grant MTM2017-89664-P部分支持。